Truncar de golpe deja siempre un 9% de rizado

El apunte de la cátedra lo dice así: truncar el sinc ideal con una ventana rectangular produce rizado de Gibbs, y con trece o con veinticinco coeficientes el rizado no baja — sólo se concentra. Medido acá, con las mismas funciones que dibujan el widget: con $N=21$ taps el sobrepico es 9,67%; con $N=161$ — ocho veces más taps — es 9,02%. Bajó 0,65 puntos, no 87,5%. Gibbs no se cura con más cómputo: converge a un número y se queda ahí.

La intuición que cualquiera trae de otros problemas numéricos es «más resolución, menos error», y por eso el apunte se toma el trabajo de marcarla como falsa. Acá no hay más resolución que agregar: el problema no es que falten muestras, es la forma de cortar.

01 · Truncar es multiplicar por un escalón

El pasabajos ideal de corte ${\omega }_c$ tiene una respuesta al impulso que es un sinc, infinita hacia los dos lados y no causal: $h_D[n]=\frac{\mathrm{sen}({\omega }_{c}n)}{\pi n}$, que en $n=0$ vale ${\omega }_c/\pi$ por L'Hôpital, sin ningún salto. Para usarlo hay que cortarlo a $N$ muestras y correrlo para que empiece en $n=0$. La manera más obvia de cortar es multiplicar por una ventana $w[n]$ que vale $1$ en las $N$ muestras que se quedan y $0$ en el resto: la ventana rectangular, que no es «no usar ventana» — es la ventana más brusca de todas.

Multiplicar dos señales en el tiempo es convolucionar sus transformadas en frecuencia. La respuesta que sale, $H(e^{j\omega })$, no es la plantilla ideal: es la plantilla ideal emborronada con la transformada de la ventana. Esa transformada tiene un lóbulo principal —que ensancha la transición— y una fila de lóbulos laterales que no se apagan: son ellos los que dibujan el rizado a los dos lados de cada corte, en la banda de paso y en la de rechazo.

Antes de mover nada: si subís los taps ocho veces —de 21 a 161— ¿el sobrepico baja también a un octavo?

Subir los taps casi no baja la altura: 9,67% a 9,02% entre los dos extremos del deslizador, medido sobre los mismos filtros que dibuja el widget. Lo que sí se mueve, y mucho, es el lugar del pico: se acerca al corte cada vez que agregás taps, y la distancia se achica a la mitad cada vez que $N$ se duplica — de 0,10 a 0,05 a 0,025 a 0,0125, en unidades de $\omega /\pi$, entre $N=21$ y $N=161$. El rizado no se cura: se comprime contra el borde. Es exactamente lo que la filmina dibuja con 13 y con 25 coeficientes, sólo que acá con números.

02 · Lo que cura el rizado es la ventana, no el N

Si más taps no bajan el rizado, ¿qué lo baja? Cambiar la ventana. La rectangular corta de golpe: $w[n]$ salta de $0$ a $1$ en el borde, y esa discontinuidad es justo lo que le pega a su transformada los lóbulos altos. Hamming y Blackman no cortan de golpe: bajan gradualmente hasta casi cero en los dos extremos, así que su propia transformada tiene lóbulos mucho más chicos — a costa de un lóbulo principal más ancho, o sea una transición más lenta para el mismo $N$. No hay almuerzo gratis, y el apunte lo dice tal cual: más atenuación de rizado implica transición más lenta.

En la rectangular el primer lóbulo ya es el peor: sus lóbulos decrecen todo el camino, así que medir «el primer pico» o medir «el máximo sobre todo el rango fuera de banda» dan el mismo número. Con Hamming y con Blackman no: hay un mínimo local justo después del lóbulo principal, y después los lóbulos se estabilizan en un piso más alto que ese primer valle. Medir mal —tomar el primer pico como si fuera el peor lóbulo— parece razonable y da un número que miente.

En Hamming la mentira es chica: −46,21 dB contra los −42,53 dB reales, 3,68 dB de margen que no existe. En Blackman es grande: −96,21 dB contra −58,11 dB reales, 38 dB de error — el filtro parece ochenta veces mejor de lo que es. (Ochenta y no mil: un lóbulo lateral es una razón de amplitud, así que 38 dB son ${10}^{38/20}$, no ${10}^{38/10}$.) Es la misma cuenta, con la misma calculadora; lo único que cambia es dónde se para a mirar. Por eso, para medir el lóbulo lateral, hay que barrer todo el rango fuera del lóbulo principal y quedarse con el máximo — nunca con el primero que aparece, que casi nunca es el más alto.