El slicer tira información que está ahí

Un canal discreto de dos taps, $h = [1, 0,5]$ , sobre PAM-2 y a 10 dB de $E_{b} / N_{0}$ . El decisor de siempre —mirar el signo de cada muestra— deja 1,138 · 10⁻² de tasa de error de bit. Con las mismas muestras, el mismo filtro y el mismo ruido, otra regla deja 1,183 · 10⁻⁵.

Son unas 960 veces menos errores sin tocar una línea del transmisor, del canal ni del filtro adaptado. Lo único que cambia es qué se hace con los números que ya están sobre la mesa. El slicer decide cada muestra por su cuenta, y cuando hay interferencia entre símbolos eso tira información que está ahí: la muestra de al lado lleva un pedazo del símbolo que se está decidiendo, y el slicer no la mira.

Lo que sigue tiene cinco partes: qué son exactamente las dos reglas; por qué la ventaja está en el margen y no en casos que el slicer no pueda resolver —que es la mitad de lo que hay que entender acá—; lo medido; por qué el detector de secuencias recupera casi toda la pérdida; y el precio, que es $M^{L}$ y es el motivo por el que existen Viterbi y BCJR.

01 · Dos reglas sobre las mismas muestras

Después del filtro adaptado y del muestreo a la tasa de símbolo queda una sola secuencia de números. Con un canal que no cumple Nyquist, cada uno lleva su símbolo y un pedazo de los anteriores:

y_{n} = \sum_{t} h_{t} a_{n - t} + w_{n}

La regla de mínima distancia que la unidad viene usando desde la primera lámina, $\hat{a} = \arg \min {| y / E_{h} - a |}^{2}$ , se aplica muestra por muestra. Sobre PAM-2 eso es mirar el signo y nada más:

{\hat{a}}_{n} = signo (y_{n})

Esa regla es óptima cuando cada muestra depende de un solo símbolo. Con interferencia deja de serlo, porque $y_{n}$ no es el único lugar donde aparece $a_{n}$ : también está adentro de $y_{n + 1}$ , multiplicado por $h_{1}$ . La mínima distancia bien planteada no es sobre un símbolo: es sobre la secuencia, porque la secuencia es lo que el canal transformó.

\hat{a} = \arg \min \sum_{n = 1}^{L} {| y_{n} - \sum_{t} h_{t} a_{n - t} |}^{2}

Escrito así no hay nada nuevo: es el mismo criterio de siempre, con $L$ coordenadas en vez de una. Lo único que cambia es el tamaño del alfabeto sobre el que hay que barrer, que pasa de $M$ a $M^{L}$ — y ése es el precio, que tiene su propia sección al final.

El punto que conviene fijar antes de seguir: las dos reglas reciben exactamente los mismos números. No hay un ecualizador, no hay un filtro distinto, no hay más ancho de banda ni más potencia. Todo lo que sigue es la diferencia entre mirar una muestra y mirar cuatro.

02 · El ojo no se cierra: la ventaja está en el margen

Lo primero que uno espera es que el slicer se equivoque porque la interferencia le da vuelta el signo. Con $h = [1, 0,5]$ eso no pasa nunca. Sin ruido, la muestra vale una de cuatro cosas:

y_{n} \in {\pm 1,5, \pm 0,5}

y el signo siempre coincide con el del símbolo propio. Mientras $| h_{1} | < | h_{0} |$ , el eco no alcanza para cruzar el cero: el ojo está abierto y sin ruido el slicer acierta el cien por ciento. Doscientas secuencias al azar con sus doscientos símbolos previos, sin una sola falla.

Lo que la interferencia se lleva no es la decisión: es el margen. La mitad de las veces la muestra queda a 1,5 del umbral y la otra mitad a 0,5, y en un canal ideal estaría siempre a 1. Y como el error lo pone el ruido que se come ese margen, la tasa se parte en dos términos:

BER = \frac{1}{2} Q (\frac{h_{0} + h_{1}}{σ}) + \frac{1}{2} Q (\frac{h_{0} - h_{1}}{σ})

con $σ^{2} = E_{h} / 2 γ$ , $E_{h} = \sum_{t} h_{t}^{2}$ y $γ$ la relación $E_{b} / N_{0}$ en veces. El ruido se escala con la energía del canal, que es la convención que deja la cota sin interferencia en $Q (\sqrt{2 γ})$ , la curva de PAM-2 sobre AWGN de siempre.

Esa forma cerrada dice todo lo de esta sección. Los dos términos no pesan igual: en la cola manda el chico, y el chico es el que perdió margen. Asintóticamente el slicer se comporta como si le hubieran inyectado

10 \log_{10} \frac{E_{h}}{{(h_{0} - h_{1})}^{2}} = 6,99 dB

menos de los que de verdad le dieron. Y como es una asíntota, la penalidad crece con la exigencia: 5,91 dB a BER 10⁻², 6,56 a 10⁻⁴ y 6,82 a 10⁻⁹, subiendo despacio hacia los 6,99.

De ahí sale lo que esta nota tiene que dejar claro antes que nada: la ganancia del detector de secuencias no es un piso, es una pendiente. No está resolviendo casos imposibles para el slicer —no hay ninguno—, está recuperando margen. A 4 dB gana 4 veces; a 10 dB, unas 960. El mismo canal y el mismo detector: lo que cambió es cuánto vale un margen.

El ojo se cierra recién cuando el eco le gana al pulso principal. Con $| h_{1} | > | h_{0} |$ el segundo término tiene el argumento negativo, $Q$ se va a 1 y la tasa del slicer se clava en 0,5 por más relación señal a ruido que se le dé: la muestra pasa a llevar el signo del símbolo anterior. El deslizador del widget cruza ese punto, y vale la pena verlo.

03 · Lo medido

PAM-2 sobre $h = [1, 0,5]$ , detector de secuencias por fuerza bruta sobre bloques de $L = 4$ —dieciséis candidatas por bloque— con el símbolo previo conocido. La columna del slicer es la forma cerrada de arriba; la del detector, 4 · 10⁷ símbolos repartidos en cuatro semillas; la cota es $Q (\sqrt{2 γ})$ , la tasa que habría sin ninguna interferencia.

Eb/N0	slicer	secuencias (L = 4)	sin ISI (cota)	secuencias ÷ slicer	slicer ÷ cota	secuencias ÷ cota
4 dB	7,970 · 10⁻²	2,003 · 10⁻²	1,250 · 10⁻²	0,251	6,4	1,60
6 dB	5,178 · 10⁻²	4,270 · 10⁻³	2,388 · 10⁻³	0,0825	21,7	1,79
8 dB	2,803 · 10⁻²	4,080 · 10⁻⁴	1,909 · 10⁻⁴	0,0146	146,9	2,14
10 dB	1,138 · 10⁻²	1,183 · 10⁻⁵	3,872 · 10⁻⁶	1,04 · 10⁻³	2938	3,05

Las dos últimas columnas son la nota entera. El slicer se aleja de la cota sin freno —6,4 veces a 4 dB, 2938 a 10— porque lo que lo separa son casi siete decibeles, y siete decibeles valen cada vez más a medida que la curva baja. El detector de secuencias no se aleja: se queda entre 1,6 y 3,1 veces la cota en los cuatro puntos. O sea que la interferencia le cuesta al slicer un factor que crece sin techo, y al detector de secuencias no le cuesta casi nada.

Conviene decir por qué la columna del detector necesita cuarenta millones de símbolos, porque es donde esta nota casi publica un número que no significa nada. A 10 dB la tasa es $1,2 \cdot 10^{- 5}$ : sobre un registro de 60.000 símbolos eso es menos de un error esperado. Cinco semillas de ese largo dan 0, 0, 0, 1 y 2 errores, o sea tasas 0 · 1,67 · 10⁻⁵ · 3,33 · 10⁻⁵, y con cualquiera de ellas se puede escribir «infinitas veces mejor», «680 veces mejor» o «340 veces mejor» con la misma cara de convencido. Debajo de los cuatro dígitos de 1,183 · 10⁻⁵ hay 473 errores; de ahí sale el ±5 % que tiene ese número, y por eso el factor del primer párrafo es «unas novecientas sesenta» y no una cifra exacta.

La columna del slicer es cerrada por la misma razón al revés: se puede, y cuando se puede no hay motivo para contar errores. El control de que las dos cuentas hablan del mismo experimento es que la simulación la reproduce — a 4, 8 y 10 dB, sobre 2 · 10⁶ símbolos y tres semillas, la medición da entre 7,942 y 7,983 · 10⁻² contra 7,970 cerrado; entre 2,800 y 2,816 · 10⁻² contra 2,803; y entre 1,141 y 1,146 · 10⁻² contra 1,138. Son dos caminos que no comparten una línea: uno suma dos colas gaussianas, el otro cuenta signos.

Un último detalle de método, porque cambia el número y conviene que esté dicho: el detector recibe de regalo el símbolo anterior al bloque. Sin ese regalo —encadenando cada bloque con su propia decisión del bloque previo— la tasa empeora un 7 % a 4 dB y un 4 % a 10 dB, medido sobre 2 · 10⁷ símbolos. No mueve ninguna conclusión, pero es la diferencia entre un detector de laboratorio y uno que se pueda construir.

Mirarlo

El widget arranca con el canal ideal, $h = [1]$ , que es la posición donde no hay nada que ver: sin interferencia las dos reglas dan exactamente lo mismo y el detector de secuencias no compra nada — las tres curvas del panel de arriba están una encima de la otra. Subí el eco. Las curvas se separan, la del slicer se despega primero, y el panel de abajo empieza a mostrar bloques donde la secuencia que el slicer arma no es la de menor distancia. Y cuando $h_{1}$ pasa de 1, mirá qué le pasa al slicer: deja de ser un decisor.

El panel de abajo es el mecanismo entero en un dibujo. Las dieciséis barras son las dieciséis secuencias que el detector prueba, con su distancia al bloque recibido, y la que gana es siempre la de arriba. Cuando el slicer se equivoca, la secuencia que él arma está más abajo en esa lista — o sea que la evidencia de que se equivocó estaba en las muestras, y él no la usó. No hizo falta información nueva: hizo falta mirar cuatro números juntos en vez de uno por vez.

04 · Por qué llega a la cota: la distancia mínima

Que el detector de secuencias se quede a un factor tres de la curva sin interferencia no es casualidad ni suerte del canal elegido. Lo decide una sola cantidad. Dos secuencias distintas se confunden con probabilidad $Q (d / 2 σ)$ , con $d$ la distancia entre lo que el canal produce con una y con la otra. La que manda en la cola es la menor de todas, y para un canal de dos taps vale exactamente

d_{mín}^{2} = 4 E_{h}

y la alcanza el error más tonto posible: equivocarse en un símbolo y acertar todos los demás. Enumerando los eventos de error de hasta ocho símbolos sobre seis canales distintos —incluidos $[1, 1]$ y $[0,5, 1]$ , con el ojo justo en el borde y cerrado— el mínimo da $4 E_{h}$ en los seis, sin excepción. Y ahí está el remate, porque con $σ^{2} = E_{h} / 2 γ$ la energía del canal se cancela:

Q (\frac{d_{mín}}{2 σ}) = Q (\frac{2 \sqrt{E_{h}}}{2 \sqrt{E_{h} / 2 γ}}) = Q (\sqrt{2 γ})

La asíntota del detector de secuencias es la curva sin interferencia, sea cual sea el canal. Asintóticamente la interferencia entre símbolos no cuesta decibeles: cuesta cálculo. Conviene decir qué no dice eso — no dice que la tasa sea igual, sino que las dos curvas corren con la misma pendiente, separadas por un factor que sale de cuántos eventos de error hay a esa distancia mínima.

El factor 3,05 que se mide a 10 dB con $L = 4$ sale casi todo de otra cosa: de que el bloque se corta. El último símbolo de un bloque deja parte de su energía en la primera muestra del bloque siguiente, que el detector no está mirando, así que se lo decide con menos evidencia que a los otros tres. Y se ve dónde caen los errores: de los 473 que sostienen la fila de 10 dB, el reparto por posición dentro del bloque es 9,7 · 9,1 · 12,7 · 68,5 %. Si el corte no hiciera nada, serían cuatro veces 25.

De ahí que alargar el bloque ayude, y que ayude cada vez menos. Barriendo $L$ a 10 dB, mismo canal y mismos 4 · 10⁷ símbolos:

L	2^L candidatas por bloque	tasa a 10 dB	÷ cota	errores que la sostienen
2	4	2,010 · 10⁻⁵	5,19	804
3	8	1,458 · 10⁻⁵	3,76	583
4	16	1,183 · 10⁻⁵	3,05	473
6	64	9,175 · 10⁻⁶	2,37	367
8	256	8,025 · 10⁻⁶	2,07	321

La columna del medio baja y se acuesta, que es lo que tiene que hacer si el problema son los bordes: con bloques más largos hay menos bordes por símbolo, y lo que queda es la multiplicidad de la distancia mínima, que ya no depende de $L$ . Pero mirá las dos columnas de los extremos juntas. Pasar de $L = 4$ a $L = 8$ multiplica el trabajo por dieciséis y compra un factor 1,5. Ése es exactamente el mal negocio que la sección siguiente generaliza.

Y conviene ser preciso con qué es lo que llega a la cota, porque el widget deja ver el caso donde no llega. La asíntota es la del detector de secuencias completo, el que mira la transmisión entera; el de bloques cortos paga el borde, y cuánto paga depende del canal. Con $h = [1, 1,1]$ —el ojo cerrado, el eco más grande que el pulso principal— el último símbolo del bloque deja la mayor parte de su energía afuera, y a 10 dB el detector con $L = 4$ se queda a 266 veces de la cota, y con $L = 8$ todavía a 159. Sigue siendo trescientas veces mejor que el slicer, que ahí ni siquiera baja —3,091 · 10⁻¹ contra 1,029 · 10⁻³—; pero la cota, con bloques de ese largo, no la toca. La cota es del criterio, no de esta implementación del criterio.

05 · El precio es M^L

El detector de arriba no tiene ninguna astucia: prueba todas las secuencias posibles del bloque y se queda con la mejor. Son $M^{L}$ , y esa cuenta no perdona. PAM-2 con $L = 3$ son 8 distancias por bloque, que se hacen a mano. 16-QAM con el mismo $L = 3$ son 4096. Y con $L = 4$ , que es lo que usa la tabla de esta nota, 16-QAM pide 65.536 por cada cuatro símbolos.

Con eso queda claro el problema de fondo: la memoria del canal no la elige uno. Un canal con quince taps de eco exige un $L$ del orden de quince para que los bordes no se coman la ganancia, y $16^{15}$ es un número que no se escribe. El barrido exhaustivo sirve para entender el criterio y para medirlo en un caso chico, y no sirve para nada más.

La salida es que la mayoría de esas $M^{L}$ secuencias comparten sus primeros símbolos, y sus distancias parciales se calculan una sola vez. Ahí aparecen Viterbi —que se queda con el mejor camino a cada estado y descarta el resto— y BCJR, que en vez del mejor camino devuelve la probabilidad de cada símbolo. Las dos toman la misma decisión de mínima distancia con un costo que crece con $M^{ν}$ , la memoria del canal, y no con el largo del bloque. La cátedra las nombra y no las desarrolla, y esta nota hace lo mismo — pero después de la tabla de arriba se entiende por qué tienen que existir, que es lo que un nombre suelto no explica.

06 · Y cuándo el slicer sí es óptimo

Queda la pregunta que cierra el curso: si decidir muestra por muestra tira información, ¿por qué se hace siempre? Porque casi siempre no tira nada, y hay una condición exacta que dice cuándo. Lo que llega a los instantes de símbolo después del filtro adaptado es la autocorrelación del pulso total, y el slicer es óptimo exactamente cuando esa autocorrelación es un solo tap:

ρ_{h} (k) = E_{h} \cdot δ_{k}

Y esa condición no es nueva: es el espectro plegado constante, palabra por palabra el criterio de la Unidad 4. Si el plegado de ${| H (f) |}^{2}$ es plano, la autocorrelación muestreada a la tasa de símbolo es un delta, no hay interferencia, y mirar cuatro muestras no le agrega nada a mirar una. Si no lo es, hay memoria y el slicer empieza a pagar. Es «sin ISI no es una propiedad del pulso» volviendo con otro nombre y del otro lado del receptor.

pulso del canal	peor ρ(k ≠ 0) ÷ ρ(0)	rizado del plegado	¿el slicer es óptimo?
raíz de coseno realzado, rolloff 0,5	7,1 · 10⁻⁶	0,007 %	sí
coseno realzado, rolloff 0,5	0,121	57,16 %	no
el canal de esta nota, [1 · 0,5]	0,400	160,00 %	no

La primera fila es el caso normal, y explica por qué el slicer funciona en todas partes: el transmisor manda raíz de coseno realzado y el receptor filtra con la misma raíz, así que el pulso total es un coseno realzado, que es de Nyquist. La autocorrelación da un delta y el slicer no tira nada. Los $7,1 \cdot 10^{- 6}$ de esa fila no son una propiedad del pulso: son el residuo de truncarlo a 801 taps, y con 101 dan 1,4 · 10⁻³. El número correcto es cero, y lo que se mide ahí es cuánto queda del recorte.

La segunda fila es el filtro adaptado rompiendo Nyquist: usar el coseno realzado como pulso del canal deja una autocorrelación que ya no es un delta, y con ella el slicer deja de ser óptimo aunque el pulso de partida sí lo fuera. Y la tercera es el canal de esta nota, donde los dos números salen exactos y sin simular: $ρ_{h} = [1,25, 0,5]$ , el plegado es ${| H |}^{2}$ mismo, que va de 0,25 a 2,25 con media 1,25, y $(2,25 - 0,25) / 1,25 = 1,6$ .

Con esto cierra el curso. El arco fue: una señal es una cosa que se muestrea sin perder nada, después una cosa que se filtra, después una cosa a la que hay que darle forma para que no se pise consigo misma, y al final una cosa sobre la que hay que decidir. La última unidad no agregó un bloque nuevo al diagrama: agregó la pregunta de qué es lo óptimo, y la respuesta resultó ser la misma cuenta de mínima distancia en todos lados —sobre un símbolo cuando el pulso cumple Nyquist, sobre una secuencia cuando no—. El criterio nunca cambió; lo que cambia es sobre qué se lo aplica. Y el criterio de Nyquist, que en la Unidad 4 parecía una condición sobre la forma de un pulso, terminó siendo la condición que decide si el receptor más barato del mundo es también el mejor.

Para tener a mano

El slicer aplica mínima distancia muestra por muestra. Con memoria en el canal, la mínima distancia bien planteada es sobre la secuencia. Es el mismo criterio con más coordenadas, no uno nuevo.
Con $| h_{1} | < | h_{0} |$ el ojo no se cierra: sin ruido el slicer acierta siempre. La interferencia se lleva el margen, no la decisión, y por eso la ventaja del detector de secuencias crece con la relación señal a ruido en vez de ser un piso.
La tasa del slicer con dos taps es cerrada: $\frac{1}{2} Q ((h_{0} + h_{1}) / σ) + \frac{1}{2} Q ((h_{0} - h_{1}) / σ)$ . Su penalidad asintótica es $10 \log_{10} [E_{h} / {(h_{0} - h_{1})}^{2}]$ , que con $[1, 0,5]$ son 6,99 dB.
Medido con 4 · 10⁷ símbolos: a 10 dB el slicer da 1,138 · 10⁻² y el detector de secuencias con $L = 4$ da 1,183 · 10⁻⁵, unas 960 veces menos. La cota sin interferencia es 3,872 · 10⁻⁶.
El slicer se aleja de la cota sin freno —6,4 veces a 4 dB, 2938 a 10—; el detector de secuencias se queda entre 1,6 y 3,1 veces en todo el rango.
A 10 dB la tasa del detector es $1,2 \cdot 10^{- 5}$ : con 60.000 símbolos eso es menos de un error esperado, y cinco semillas dan 0, 0, 0, 1 y 2. Una razón sostenida por un error no es una razón.
Para dos taps, la distancia mínima entre secuencias es $d_{mín}^{2} = 4 E_{h}$ y la alcanza un error de un solo símbolo. Con $σ^{2} = E_{h} / 2 γ$ la energía se cancela y queda $Q (\sqrt{2 γ})$ : la asíntota del detector de secuencias es la curva sin interferencia.
El resto de la brecha lo pone el corte del bloque. A 10 dB, ÷ cota: 5,19 con $L = 2$ , 3,05 con 4 y 2,07 con 8 — dieciséis veces más trabajo compra un factor 1,5.
El precio del barrido exhaustivo es $M^{L}$ : 8 para PAM-2 con $L = 3$ , 4096 para 16-QAM con el mismo $L$ , 65.536 con $L = 4$ . Por eso existen Viterbi y BCJR, que pagan $M^{ν}$ y no $M^{L}$ .
$ρ_{h} (k) = E_{h} δ_{k}$ exactamente cuando el espectro plegado es constante. O sea: el slicer es óptimo justo cuando el pulso cumple Nyquist. Es la nota de la Unidad 4 otra vez, del otro lado del receptor.

← Anterior Siguiente → Inicio