La penalidad de ISI no es un corrimiento

Un canal se cotiza en decibeles. «Este enlace tiene una penalidad de un decibel y medio» es una frase que se dice, se anota en una planilla y se le suma al presupuesto de potencia como si fuera una atenuación más. La forma de la frase promete que la curva de BER se corrió a la derecha y que todo lo demás quedó igual.

No queda igual. El pasabajos que trae por defecto el simulador de la cátedra —FIR de orden 18 con corte en 20 GHz— le cuesta a 64-QAM 0,33 dB si uno se conforma con una BER de $10^{- 1}$ , y 4,14 dB si necesita $10^{- 4}$ . Es el mismo canal, el mismo filtro y la misma constelación: lo único que cambió es cuánto se le pide. La curva no se corrió: se acostó.

Y eso importa justo donde duele, porque la penalidad se mide donde se puede medir —BER alta, simulaciones cortas— y se usa donde no se puede —BER baja, que es donde el sistema tiene que funcionar—. Medida a $10^{- 1}$ y extrapolada como un desplazamiento fijo hasta $10^{- 6}$ , la penalidad de este canal queda corta por seis decibeles y medio, que son cuatro veces y media la potencia.

Lo que sigue tiene cuatro partes: qué le hace este canal al pulso; por qué el daño no puede ser un corrimiento, que es una cuenta de dos líneas y no una observación empírica; la tabla, medida de dos maneras independientes; y por qué la simulación que uno puede correr no alcanza para verla.

01 · El canal corta señal

Los parámetros son los del simulador: BR = 32 GBd, sobremuestreo NOS = 2 —o sea fs = 64 GHz—, raíz de coseno realzado de rolloff 0,5 con 61 coeficientes, y el canal que arma canal_MQAM.m con fir1(18, bw/(fs/2)) y bw = 20e9. Una raíz de coseno realzado de rolloff $β$ ocupa, de un lado del origen:

B = \frac{(1 + β) \cdot BR}{2} = \frac{1,5 \cdot 32}{2} GHz = 24 GHz

El canal corta en 20. Le está cortando cuatro gigahertz a una señal que ocupa veinticuatro, no una guarda que sobraba. El corte normalizado que ve fir1 es 20/32 = 0,625 de la frecuencia de Nyquist de muestreo, y el filtro tiene 19 coeficientes porque el orden es 18.

Lo primero que hay que sacar del camino es lo que no cuesta. El ruido se inyecta antes del canal y el canal lo filtra junto con la señal, así que la atenuación de banda no se paga en relación señal a ruido: el filtro adaptado recupera exactamente la misma que en el caso ideal, salvo por un resto de 0,091 dB que aparece porque el ruido dejó de ser blanco y un filtro adaptado sobre ruido coloreado ya no es óptimo —que es la lámina del filtro blanqueador, y otra unidad—. Nueve centésimas de decibel. Todo lo demás de la factura es interferencia entre símbolos.

02 · La ISI es proporcional al símbolo; el ruido no

El pulso que el decisor efectivamente muestrea es el de la cadena entera: transmisor, canal y filtro adaptado a los dos. Muestreado en los instantes de símbolo da una secuencia de coeficientes $p_{k}$ , y la muestra que llega al slicer es

y_{n} = p_{0} a_{n} + \sum_{k \neq 0} p_{k} a_{n - k} + w_{n}

Con canal ideal la sumatoria del medio es cero —eso es el criterio de Nyquist— y la única molestia es $w_{n}$ . Con este canal no lo es. Normalizando al pico, $c_{k} = p_{k} / p_{0}$ , los coeficientes que sobreviven son simétricos y estos:

k	±1	±2	±3	±4	±5	±6	±7	suma de módulos
c_k	0,0330	−0,0147	−0,0009	0,0056	−0,0072	0,0016	0,0001	0,1275

Treinta y tres milésimas de pico en el vecino inmediato no parece nada, y por sí solo no lo es. Lo que lo vuelve grave es con qué se lo multiplica. Los $a_{n - k}$ son símbolos, y en una PAM de $\sqrt{M}$ niveles por dimensión el más grande vale $\sqrt{M} - 1$ veces la mitad de la distancia de decisión. En el peor patrón de símbolos, lo que queda del ojo es

d = 1 - (\sqrt{M} - 1) \sum_{k \neq 0} | c_{k} |

Y ahí está toda la nota, en una resta. El ruido se suma a la muestra; la ISI le achica la distancia. Un término aditivo y un término multiplicativo no se combinan en un corrimiento: cuanto más chico es el ruido, más pesa la parte que no depende de él. Con $\sum_{k \neq 0} | c_{k} | = 0,1275$ :

M	peor caso de ISI	ojo que queda	techo de la penalidad	el ojo se cierra abajo de
4	0,1275	0,8725	1,18 dB	13,91 GHz
16	0,3825	0,6175	4,19 dB	18,02 GHz
64	0,8925	0,1075	19,37 dB	19,72 GHz

La última columna es la que da miedo. El canal que el simulador trae puesto está a 0,3 GHz de cerrarle el ojo a 64-QAM. A 20 GHz el peor patrón de símbolos deja abierto el 10,75 % de la distancia de decisión; tres décimas más angosto y no queda nada, y ninguna cantidad de potencia arregla eso. Para QPSK, en cambio, el mismo canal deja el 87 % del ojo y el techo de la penalidad es poco más de un decibel. La misma distorsión, la misma cuenta y tres respuestas separadas por dieciocho decibeles.

De dónde salen esos coeficientes ya está medido en la Unidad 4: el filtro adaptado deja de ser de Nyquist en cuanto el canal no es ideal, porque la salida del adaptado es una autocorrelación y nada obliga a ${| H_{c} |}^{2}$ a cumplir el criterio. Allá el resultado se leyó en la forma del pulso: la ISI pasaba de −72,7 dB a −31,2 dB con un pasabajos de por medio. Acá se lee la misma cosa en la factura, que es la BER, y se ve que la factura no es un número: es una curva.

03 · Medirla es el problema

A Eb/N0 alto la BER que hay que medir es $10^{- 7}$ , y una simulación corta no la ve. Así que en vez de contar errores se calcula la BER de la forma que la ISI permite calcularla exacto, que no es tratarla como ruido:

La interferencia $u = \sum_{k \neq 0} c_{k} a_{n - k}$ es una suma de variables discretas independientes, así que su distribución exacta sale de convolucionar las distribuciones de cada término. No hace falta suponerla gaussiana, y suponerla gaussiana estaría mal: es acotada, y el hecho de que sea acotada es lo que decide si el ojo se cierra o no.
Para cada valor de $u$ se calcula la probabilidad de error exacta de la PAM con la media corrida en $u$ y los umbrales donde siempre estuvieron, pesada por la distancia de Hamming de las etiquetas Gray. Es la misma enumeración que la teoría sobre AWGN, con un sesgo adentro.
Y se promedia sobre la distribución de $u$ . El único parámetro libre es el paso de la grilla: entre 601 y 19 201 puntos el resultado se mueve menos del 0,2 %, y podando los coeficientes menores a $10^{- 3}$ —de 33 a 10— se mueve otro tanto.

El control de que la cuenta está bien hecha es contarla contra una simulación donde la simulación sí puede medir. Trescientos mil símbolos, la cadena de la cátedra armada pieza por pieza, el retardo buscado por correlación y la escala del lazo medida por mínimos cuadrados:

M	Eb/N0	teórica	calculada con ISI	simulada	errores	razón calculada	penalidad
16	6 dB	2,787·10⁻²	3,143·10⁻²	3,157·10⁻²	37.886	1,13	0,28 dB
16	9 dB	4,390·10⁻³	6,247·10⁻³	6,340·10⁻³	7.608	1,42	0,45 dB
16	12 dB	1,387·10⁻⁴	4,119·10⁻⁴	4,567·10⁻⁴	548	2,97	0,76 dB
16	15 dB	1,842·10⁻⁷	4,779·10⁻⁶	8,333·10⁻⁶	10	25,95	1,23 dB
64	6 dB	8,382·10⁻²	8,994·10⁻²	9,007·10⁻²	162.131	1,07	0,37 dB
64	12 dB	9,724·10⁻³	1,762·10⁻²	1,776·10⁻²	31.977	1,81	1,09 dB
64	15 dB	7,725·10⁻⁴	4,403·10⁻³	4,379·10⁻³	7.882	5,70	1,85 dB

La cuenta y el conteo son dos caminos que no comparten una línea: uno integra una convolución de distribuciones discretas contra una $Q$ exacta, el otro tira símbolos al azar y los cuenta. Repitiendo cada corrida con ocho semillas —2,4 millones de símbolos por fila— coinciden dentro del 1,3 %: 1,003 a 9 dB, 1,013 a 12 y 0,999 para 64-QAM a 12 dB. Con una sola semilla se ven apartamientos de hasta el 11 %, y la fila de 12 dB de la tabla es uno de ésos: 548 errores tienen un 4,3 % de desvío de Poisson, y el 11 % es dos desvíos y medio. No hay nada sistemático ahí; hay una tirada.

La última fila de 16-QAM sí está marcada, porque es de otra clase. A 15 dB, trescientos mil símbolos dan diez bits errados. Diez. Sobre ocho semillas la cuenta va de 4 a 10, y la razón medida contra la teoría salta de 18,1 a 45,2 sin que nada físico cambie. El valor exacto es 25,95. Cualquiera de esos ocho números, publicado solo y con tres cifras, se lee como una medición; ninguno lo es. La penalidad en decibeles aguanta mucho mejor —las mismas ocho corridas dan entre 1,1 y 1,5 dB— porque es el logaritmo de una cosa que depende logarítmicamente de la BER, y ése es el argumento entero a favor de informar decibeles y no razones.

Mirarlo

El widget arranca con el canal en 30 GHz, que es la posición donde no hay nada que ver: el pasabajos está por encima de los 24 GHz que ocupa el pulso, la curva con canal se apoya sobre la teórica y los puntos simulados caen encima de las dos. Cerrá el ancho de banda despacio y mirá de qué lado se despega la curva azul. No baja pareja: se queda pegada a la izquierda y se levanta a la derecha. Abajo están las dos constelaciones a la entrada del slicer, a la misma Eb/N0 y con el mismo ruido: la de la izquierda sin canal, la de la derecha con el canal que elegiste. Lo que el texto no puede mostrar es que las nubes de la derecha no son más grandes — son varias nubes chiquitas apiladas, una por patrón de símbolos vecinos, y el ojo se cierra porque se acercan entre sí, no porque el ruido haya crecido.

Hay una posición del deslizador que vale la pena buscar con 64-QAM puesto: 19,5 GHz. Medio gigahertz por debajo del canal que el simulador trae de fábrica, la lectura del ojo se pone en rojo y dice cerrado, y la curva azul deja de bajar. Ahí ya no hay penalidad que cotizar: hay patrones de símbolos que el decisor no puede acertar aunque se apague el ruido. Con 16-QAM seleccionada, el mismo deslizador aguanta hasta 18,0 GHz; con 4-QAM, hasta 13,9. El canal no tiene un ancho de banda mínimo: tiene uno por constelación.

04 · El mismo hecho desde el otro lado

Todo lo de arriba fija la potencia y mira la BER. El barrido que la cátedra dejó corrido en mod_order_snr_sweep.m hace lo contrario: fija diez BER objetivo entre $10^{- 4}$ y $10^{- 1}$ , busca el Eb/N0 que la teoría necesitaría para cada una, y mide qué BER sale de verdad. Un millón de símbolos por punto, treinta puntos. Los extremos, leídos de los resultados guardados:

M	razón a BER 10⁻¹	razón a BER 10⁻⁴	cuánto crece
4	1,027	1,467	× 1,4
16	1,037	3,947	× 3,8
64	1,064	31,36	× 29,5

A 64-QAM el canal casi no se nota con una BER de una décima: un 6 % de más. Cuatro órdenes de magnitud más abajo son treinta y un veces. Es la misma forma que la tabla de la sección anterior, medida con otro instrumento, con tres veces más símbolos y por otra persona.

Reproducir esos treinta puntos con la cadena armada acá costó descubrir una cosa que no estaba a la vista, y que vale más que la tabla. Al principio no cerraban. Con la escala del lazo medida por mínimos cuadrados —que es lo correcto— la razón a $10^{- 4}$ me daba 18,5 para 64-QAM contra los 31,36 guardados: un factor 1,7, demasiado grande para ser ruido de Monte Carlo con miles de errores contados. La diferencia es que el canal baja el pico del pulso de 0,50014 a 0,48326 —un 3,4 %, o sea 0,30 dB de distancia de decisión—, y el slicer de la cátedra no lo compensa: la constelación recibida queda un poco más chica que la grilla de umbrales contra la que se la compara. Metiendo ese factor en la cuenta, los seis números se alinean:

punto del barrido	con la escala medida	sin corregir la ganancia	el barrido guardado
10⁻¹, M = 4	1,029	1,029	1,027
10⁻¹, M = 16	1,034	1,038	1,037
10⁻¹, M = 64	1,054	1,065	1,064
10⁻⁴, M = 4	1,506	1,506	1,467
10⁻⁴, M = 16	3,240	3,976	3,947
10⁻⁴, M = 64	18,52	31,55	31,36

La columna del medio reproduce la de la derecha dentro del 1 % en cinco de seis filas, y en la sexta —la de 4-QAM, que descansa sobre unos trescientos errores— dentro del 3 %. Eso es lo que permite decir, sin tener la función a la vista, que el slicer que falta en el árbol no renormaliza. Dos detalles más de esa tabla, que son la nota otra vez:

Las dos primeras columnas coinciden exactamente en 4-QAM, en las dos filas. No es casualidad ni tolerancia: en QPSK la decisión de mínima distancia es mirar el signo de cada componente, y el signo no cambia al multiplicar por un número positivo. Un error de ganancia le cuesta cero a QPSK y un factor 1,7 en BER a 64-QAM, que es la misma geometría que separa la mínima distancia de la máxima correlación: los criterios se distinguen cuando los símbolos tienen módulos distintos, y en PSK no los tienen.

Y el 0,30 dB de ganancia perdida pesa más que su tamaño. Sumado a los 4,1 dB de penalidad por ISI debería mover poco, y sin embargo multiplica la BER por 1,7. Es la propiedad de la cola de siempre: en la zona donde la curva cae rápido, unas centésimas de decibel son un factor. La contracara es que el mismo error a BER $10^{- 1}$ mueve el número de 1,054 a 1,065, o sea nada. El mismo defecto, medido en los dos extremos de la curva, parece dos defectos distintos.

05 · Extrapolar falla siempre para el lado peligroso

Todo junto, la penalidad de este canal en decibeles, calculada a BER objetivo fija:

BER objetivo	4-QAM	16-QAM	64-QAM
10⁻¹	0,11 dB	0,17 dB	0,33 dB
10⁻²	0,16 dB	0,40 dB	1,39 dB
10⁻³	0,21 dB	0,65 dB	2,73 dB
10⁻⁴	0,26 dB	0,91 dB	4,14 dB
10⁻⁶	0,35 dB	1,38 dB	6,79 dB
el techo	1,18 dB	4,19 dB	19,37 dB

Bajar por una columna es leer la nota. La de 4-QAM sube de 0,11 a 0,35 dB en cinco órdenes de magnitud de BER: para esa constelación, tratar la penalidad como un corrimiento fijo es una aproximación decente y el error de extrapolar es de dos décimas. La de 64-QAM sube de 0,33 a 6,79. Quien mida 0,33 dB a BER 10⁻¹ —que es lo que una simulación de veinte mil símbolos puede medir en un rato— y lo lleve a 10⁻⁶ como si fuera un desplazamiento, va a subestimar la potencia que le hace falta en seis decibeles y medio. Un factor cuatro y medio en potencia, sobre un presupuesto de enlace.

La última fila es el límite y no se cruza nunca, pero tampoco salva: es el peor patrón de símbolos, el que deja el ojo en 10,75 %, y la curva se le acerca despacio porque ese patrón es raro. Lo que la fila dice es que no hay una BER a partir de la cual la penalidad se estabilice en algo razonable. Sigue creciendo mientras haya a dónde crecer.

Y queda dicho de dónde sale todo esto, que es la razón por la que la unidad lo trae. La ISI no apareció por un canal malo ni por un pulso mal elegido: el transmisor manda exactamente la misma raíz de coseno realzado en los dos casos, y el receptor hace exactamente lo que maximiza la relación señal a ruido. Las dos cosas que la lámina pide —máxima SNR y cero ISI— son incompatibles en cuanto el canal no es un impulso, y la tabla de arriba es el precio de haber elegido la primera. Quien quiera las dos necesita un bloque más: un ecualizador, o un decisor que mire más de una muestra, que es lo que viene después.

Para tener a mano

Con BR = 32 GBd y rolloff 0,5, el pulso ocupa $(1 + β) BR / 2 = 24$ GHz de un lado. El canal que trae el simulador corta en 20: no recorta una guarda, recorta señal.
Ese corte cuesta 0,091 dB de relación señal a ruido —el ruido se filtra junto con la señal— y todo el resto de la factura es interferencia entre símbolos.
El ruido se suma a la muestra y la ISI achica la distancia de decisión. Un término aditivo y uno multiplicativo no se combinan en un corrimiento: por eso la penalidad crece cuando el ruido baja.
El peor caso de ISI vale $(\sqrt{M} - 1) \cdot \sum_{k \neq 0} | c_{k} |$ , y acá $\sum | c_{k} | = 0,1275$ : queda el 87 % del ojo en 4-QAM, el 62 % en 16 y el 10,75 % en 64.
El ancho de banda mínimo no es del canal, es de la constelación: el ojo se cierra abajo de 13,91 GHz para 4-QAM, 18,02 para 16 y 19,72 para 64. El canal por defecto está a 0,3 GHz de eso.
Penalidad a BER objetivo, 64-QAM: 0,33 dB a 10⁻¹, 1,39 a 10⁻², 4,14 a 10⁻⁴ y 6,79 a 10⁻⁶, con techo en 19,37. Medirla en el extremo cómodo y extrapolarla como un desplazamiento subestima seis decibeles y medio.
Las razones sim/teórica no convergen a nada —crecen sin límite para cualquier $M$ , porque las dos curvas tienen pendientes distintas— y encima, a BER baja, las mide una simulación con menos de diez errores. La cifra publicable es la penalidad en decibeles.
El pico del pulso baja de 0,50014 a 0,48326 con el canal: 0,30 dB de distancia de decisión que hay que renormalizar. No hacerlo no le cuesta nada a QPSK —la decisión es por signo— y multiplica por 1,7 la BER de 64-QAM a 10⁻⁴.
La ISI es acotada, así que no se la modela como ruido gaussiano: su distribución exacta sale de convolucionar las de cada coeficiente, y sólo así se ve si el ojo queda abierto o cerrado.

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