La partícula alfa entre placas

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. Las placas hacen un campo uniforme, que apunta de la placa positiva a la negativa. La partícula alfa, dos protones y dos neutrones, tiene carga positiva $2e$: la fuerza $q\overrightarrow{E}$ va en el sentido del campo, hacia la placa negativa, que es justo adonde llega. La fuerza es constante y la partícula arranca quieta, así que va en línea recta con aceleración constante: un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, el del primer parcial.

Qué dato es la llave. El campo no se conoce, y la masa y la carga solas no lo dan. Lo que lo da es el tiempo. Con la distancia $x$ y el tiempo $t$, la cinemática da la aceleración sin saber nada de electricidad. Recién ahí entra Newton, $qE=ma$, y convierte esa aceleración en campo. El camino es $(x,t)\to a\to E\to W,\Delta V$.

La masa. La masa de una partícula alfa es la de cuatro nucleones de $\mathrm{1,67}·{10}^{-27}$ kg cada uno: $m=\mathrm{6,68}·{10}^{-27}\text{kg}$, y así se usa en las cuentas. El chequeo de la sección 04 muestra qué pasa con otra unidad.

Qué esperar. Todos los signos son positivos: el campo empuja a favor del movimiento, así que su trabajo es positivo, y la placa de partida está a mayor potencial que la de llegada. Del orden de magnitud: $2x/t^2$ es $\mathrm{0,1}/(4·{10}^{-12})$, algo de ${10}^{10}$ m/s². Y el peso, como en todo problema con núcleos, se va a poder despreciar: se comprueba al final.

03 · La resolución

(a) El campo. Desde el reposo, la distancia recorrida en un tiempo $t$ es $x=\frac{1}{2}a{t}^2$. Despejando, con $x=\mathrm{0,05}$ m y $t=2·{10}^{-6}$ s:

$$a=\frac{2x}{t^2}=\frac{2·\mathrm{0,05}}{{(2·{10}^{-6})}^2}=\mathrm{2,5}·{10}^{10}\text{m/s²}$$

La única fuerza que importa es la eléctrica, así que por la segunda ley $qE=ma$:

$$E=\frac{ma}{q}=\frac{\mathrm{6,68}·{10}^{-27}·\mathrm{2,5}·{10}^{10}}{\mathrm{3,2}·{10}^{-19}}=522\text{N/C}$$

perpendicular a las placas, de la positiva a la negativa.

(b) El trabajo. La fuerza $qE$ es constante y va en la dirección del desplazamiento, que mide $x$ entero:

$$W=qEx=\mathrm{3,2}·{10}^{-19}·522·\mathrm{0,05}=\mathrm{8,35}·{10}^{-18}\text{J}$$

Positivo: el campo empuja a favor. Es toda la energía cinética con la que la partícula llega a la placa negativa.

(c) La diferencia de potencial. En un campo uniforme, $\Delta V=Ed$, con la separación $d=x$:

$$V_{+}-V_{-}=Ex=522·\mathrm{0,05}=\mathrm{26,1}\text{V}$$

La placa positiva está 26,1 V por encima de la negativa. Lo mismo sale del trabajo, sin pasar por el campo: el trabajo por unidad de carga es la diferencia de potencial, $\Delta V=W/q$.

04 · El chequeo

Las unidades. $ma/q$ es kg·m/s² sobre C, o sea N/C: un campo. $qEx$ es C·(N/C)·m = N·m = J. $Ex$ es (N/C)·m = J/C = V.

La velocidad de llegada. $v=at=5·{10}^4$ m/s: rápido para nuestra escala, nada para una partícula; muy lejos de la velocidad de la luz, así que la mecánica de Newton alcanza.

El peso. $qE=\mathrm{1,67}·{10}^{-16}$ N y $mg=\mathrm{6,55}·{10}^{-26}$ N: la fuerza eléctrica es $\mathrm{2,55}·{10}^9$ veces el peso. Despreciarlo no mueve ninguna cifra.

El orden de magnitud de la masa. El campo es proporcional a la masa, $E=ma/q$, así que un factor mil en la masa pasa entero al resultado. Con $\mathrm{6,68}·{10}^{-27}$ leído en gramos, la masa sería $\mathrm{6,68}·{10}^{-30}$ kg, y saldría $E=\mathrm{0,522}$ N/C con una diferencia de potencial de 26 milivoltios. Lo que delata el problema es la masa misma: serían 7,3 masas de electrón, y un núcleo de helio no puede pesar menos que ocho electrones. Saber de memoria tres masas —electrón ${10}^{-30}$ kg, protón ${10}^{-27}$ kg, alfa cuatro protones— alcanza para cazar este tipo de error en cualquier enunciado o en la propia cuenta.

05 · Lo que se lleva

La partícula mide el campo. Cuando el problema da una distancia y un tiempo, la cinemática da la aceleración, y $qE=ma$ la vuelve campo. Es el camino inverso del de siempre, y en el parcial aparece así: datos de movimiento, pregunta eléctrica.

El trabajo y la tensión no necesitan la masa. $W=q\Delta V$: una vez conocida la diferencia de potencial, la energía que gana cualquier carga es la carga por la tensión. Esta partícula, de carga $2e$, atraviesa 26,1 V y gana 52,2 eV. Un electrón entre las mismas placas, soltado en la negativa, ganaría la mitad, 26,1 eV, aunque su masa sea 7300 veces menor.

El modelo, las fórmulas y por qué el campo entre placas es el mismo en todos lados están en la nota de la carga en un campo uniforme.