El potencial eléctrico

Levantar una piedra cuesta trabajo, y ese trabajo no se pierde: queda guardado en la altura, y vuelve como velocidad cuando la piedra cae. En el primer parcial eso se llamó energía potencial gravitatoria. Con las cargas pasa exactamente lo mismo: acercar dos cargas del mismo signo cuesta trabajo, porque se repelen, y ese trabajo queda guardado en la posición. El potencial eléctrico es la herramienta para llevar esa cuenta sin tener que hacer el trabajo de nuevo cada vez.

01 · De la altura al potencial

Qué es una energía potencial. Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que hace para llevar un cuerpo de un punto A a un punto B depende sólo de A y de B, no del camino. Con una fuerza así se puede asignar a cada lugar un número $U$, la energía potencial, de modo que el trabajo de la fuerza sea lo que $U$ baja:

$$W_{A\to B}=-\Delta U=U_A-U_B$$

El peso es conservativo, y cerca del suelo $U=mgh$. Ese número depende de dos cosas mezcladas: del cuerpo (su masa $m$) y del lugar (la altura $h$). Si se divide por la masa queda $gh$, que ya no habla del cuerpo: es la energía que tendría cada kilogramo puesto ahí. A un metro del suelo son 9,8 J por kilogramo, sea una piedra o un piano.

El mismo truco con cargas. La fuerza de Coulomb también es conservativa: depende sólo de la distancia y apunta a lo largo de la recta entre las cargas, igual que la gravedad de un planeta. Así que una carga $q_0$ puesta en un punto, rodeada de otras cargas fijas, tiene una energía potencial $U$. Y esa $U$ es proporcional a $q_0$, por la misma razón que la fuerza lo es. Dividiendo queda algo que depende sólo del lugar:

$$V=\frac{U}{q_0}$$

Eso es el potencial eléctrico $V$ en ese punto: la energía potencial que tendría cada coulomb puesto ahí. La carga $q_0$ se llama carga de prueba: una carga positiva imaginaria, tan chica que no empuja a las demás de su lugar. Sirve para medir y después se va; el potencial existe aunque no haya nada puesto en el punto, igual que la altura existe aunque no haya una piedra.

Lo importante de la definición es lo que $V$ no es: no es un vector. El campo eléctrico le asigna a cada punto una flecha; el potencial le asigna un número, positivo, negativo o cero. Esa diferencia es la que vuelve fáciles las cuentas de potencial.

02 · El potencial de una carga puntual

Una carga $q$ fija en el origen, y la carga de prueba a distancia $r$. La fuerza sobre la de prueba es radial y vale $kq{q}_0/r^2$, con $k=\mathrm{8,99}·{10}^9$ N·m²/C², positiva hacia afuera.

Paso 1: el trabajo del campo. Llevando la carga de prueba de $r_A$ a $r_B$ por la recta radial (cualquier otro camino da lo mismo, porque la fuerza es conservativa):

$$W={\int }_{r_A}^{r_B}\frac{kq{q}_0}{r^2}dr=kq{q}_0(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B})$$

Paso 2: la energía es lo que el trabajo baja. Como $W=U_A-U_B$, la cuenta de arriba dice que $U(r)=kq{q}_0/r$ más una constante que nadie fijó todavía.

Paso 3: elegir dónde vale cero. Sólo las diferencias de energía tienen consecuencias, así que el cero se elige, igual que en el primer parcial se elegía el piso desde donde medir $h$. Con cargas, la elección natural es lejísimos: $U=0$ en el infinito, donde la carga de prueba ya no siente nada. Eso mata la constante.

Paso 4: dividir por la carga de prueba.

$$V(r)=\frac{kq}{r}$$

Tres cosas para mirar. Va con $r$, no con $r^2$: el potencial cae más despacio que el campo. Lleva el signo de $q$: alrededor de una carga negativa el potencial es negativo, y sube hacia cero al alejarse. Y a la misma distancia vale lo mismo en todas las direcciones, así que los puntos de igual potencial forman esferas alrededor de la carga, las equipotenciales.

Para tener una escala: 1 nC a 1 m da 8,99 V. La carga del Ejercicio 9, 15 nC, da 30 V a 4,50 m. Y como $V$ va con $1/r$, las equipotenciales de 29, 30 y 31 V no quedan equiespaciadas: entre 30 y 29 V hay 15,5 cm, y entre 31 y 30 V, 14,5 cm. Cerca de la carga el potencial cambia rápido y se apretujan; lejos, se separan.

03 · Varias cargas: se suman números

Con varias cargas vale la superposición: el potencial total en un punto es la suma de lo que pone cada carga, como si las otras no estuvieran. Pero acá se suman números, no flechas:

$$V=\sum _i\frac{k{q}_i}{r_i}$$

con $r_i$ la distancia de la carga $i$ al punto. Sin componentes, sin ángulos, sin dibujar nada: cada término es una distancia y una carga con su signo. Es la gran ventaja sobre el campo, donde cada término es un vector que hay que descomponer.

En el Ejercicio 2 hay tres cargas en fila: 1 µC en $x=0$, −2 µC en 0,5 m y 3 µC en 1 m. El potencial en el lugar de la del medio, por las otras dos, que están las dos a 0,5 m:

$$V=\frac{k(1\mu \text{C})}{\mathrm{0,5}\text{m}}+\frac{k(3\mu \text{C})}{\mathrm{0,5}\text{m}}=\mathrm{71,9}\text{kV}$$

El campo en ese mismo punto apunta una carga hacia la derecha y la otra hacia la izquierda, y hay que restar. El potencial no: las dos cargas son positivas y los dos términos suman. Lo que se descarta es la carga que está en el punto: el potencial «en la posición de una carga» es siempre el que ponen las demás.

04 · La diferencia de potencial

Como el cero se eligió, el valor de $V$ en un punto suelto es una convención. Lo que tiene consecuencias es la diferencia de potencial entre dos puntos, $\Delta V=V_B-V_A$, que no cambia aunque se mueva el cero. Multiplicada por una carga $q$, es el cambio de su energía potencial al ir de A a B, y de ahí salen los dos trabajos:

$$\begin{array}{c}\Delta U=q\Delta V\\ W_{\text{campo}}=-q\Delta V\end{array}$$

Una carga positiva que se suelta va hacia donde $V$ baja, como la piedra va hacia donde baja la altura: ahí el campo hace trabajo positivo y la carga gana velocidad. Una negativa hace lo contrario: cae hacia donde $V$ sube. El trabajo de quien empuja, y qué pasa con el signo cuando las cargas son varias, es el tema de la nota de la energía potencial eléctrica.

El Ejercicio 6 es esta cuenta al revés: una partícula alfa, de carga $2e$, gana 8,35·10⁻¹⁸ J de energía cinética cruzando el espacio entre dos placas. La diferencia de potencial que cruzó es

$$\Delta V=\frac{W}{q}=\frac{\mathrm{8,35}·{10}^{-18}\text{J}}{\mathrm{3,2}·{10}^{-19}\text{C}}=\mathrm{26,1}\text{V}$$

05 · El campo es la pendiente del potencial

El campo y el potencial no son dos cosas independientes: uno se saca del otro. Moviendo la carga de prueba un tramito $dx$ a lo largo del eje $x$, el campo hace el trabajo $q_0{E}_{x}dx$, y por la sección anterior ese trabajo es $-q_{0}dV$. Igualando y dividiendo por $q_{0}dx$:

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

Leído en castellano: si se dibuja $V$ en función de $x$, la componente del campo es la pendiente de esa curva, cambiada de signo. El campo apunta hacia donde el potencial baja, y es más intenso donde la curva es más empinada. Por eso las líneas de campo cruzan las equipotenciales en ángulo recto: a lo largo de una equipotencial $V$ no cambia, y el campo no tiene componente en esa dirección.

En un campo uniforme, como entre dos placas paralelas, la pendiente es la misma en todos lados y la derivada se vuelve un cociente: $E=\Delta V/d$. Las placas del Ejercicio 6 están a 5 cm, así que sus 26,1 V dan

$$E=\frac{\mathrm{26,1}\text{V}}{\mathrm{0,05}\text{m}}=522\text{V/m}$$

y 522 V/m es lo mismo que 522 N/C: un voltio por metro es un newton por coulomb, las dos unidades del campo.

De la pendiente sale lo que más se confunde en los ejercicios. Donde el campo es cero, el potencial no tiene por qué serlo: lo que es cero ahí es la pendiente, y la curva está horizontal, en un máximo o un mínimo. Y donde el potencial es cero, el campo no tiene por qué serlo: la curva puede cruzar el cero bien inclinada. El widget es para ver las dos cosas.

Arranca con el Ejercicio 10: una carga y otra del triple, del mismo signo, a 1 m. Antes de mover nada, apostá: ¿hay algún punto entre las dos donde $V=0$? Después llevá P hasta donde la recta punteada quede horizontal y mirá cuánto vale el potencial ahí. Por último poné la carga de la derecha en −3 nC y buscá dónde la curva corta el cero: fijate qué pasa con la flecha.

Con $q=1$ nC y $3q$, el campo se anula a 0,366 m de la chica, donde el potencial no vale cero sino 67,1 V: es el punto más bajo de la curva entre las dos cargas. Con dos cargas positivas, $V$ es suma de dos términos positivos y no se anula nunca a distancia finita. Con $q$ y $-3q$ se da vuelta: el potencial se anula en 0,25 m, entre las cargas, y en −0,5 m, del lado de la chica; en 0,25 m el campo vale 192 N/C, nada de cero. El campo se anula en un solo punto, a 1,366 m de la chica por afuera, y ahí el potencial vale −4,82 V.

Las dos lecturas del campo salen de cuentas distintas: una suma los dos vectores de Coulomb, la otra mide cuánto cambia el potencial en un milímetro. Que coincidan en cualquier lugar donde pongas P es la relación $E_x=-dV/dx$ funcionando.

06 · El voltio y el electronvoltio

La unidad del potencial es el voltio: $1\text{V}=1\text{J/C}$, un joule por cada coulomb. Una pila de 1,5 V le da 1,5 J a cada coulomb que la atraviesa. De ahí sale la otra unidad del campo, el voltio por metro, que es lo mismo que el newton por coulomb.

Para partículas sueltas el joule es enorme, y se usa el electronvoltio: la energía que gana una carga $e$ al caer una diferencia de potencial de un voltio.

$$1\text{eV}=(\mathrm{1,6}·{10}^{-19}\text{C})(1\text{V})=\mathrm{1,6}·{10}^{-19}\text{J}$$

Es cómodo porque la cuenta se hace sola: un electrón que parte del reposo y cruza 100 V gana 100 eV, sin multiplicar nada. Pasado a joules y a velocidad, con $K=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$, sale a 5,93·10⁶ m/s, un 2 % de la velocidad de la luz. La partícula alfa de la sección 04 tiene carga $2e$, y sus 26,1 V le dan 52,2 eV.

07 · En los ejercicios

La receta para el potencial en un punto P es corta: para cada carga, la distancia a P (casi siempre un Pitágoras); después $k{q}_i/r_i$ con su signo, y se suman. Los errores que aparecen:

1. Descomponer en componentes. El potencial no tiene dirección. Si aparece un coseno en una cuenta de $V$, algo se mezcló con el campo.
2. Perder el signo. Una carga negativa resta. Es el error más caro, porque da un número del tamaño correcto.
3. Elevar al cuadrado. El potencial va con $1/r$; el campo y la fuerza, con $1/r^2$.
4. Confundir los ceros. $E=0$ es pendiente nula; $V=0$ es altura nula. Se buscan por separado, y en el Ejercicio 10 caen en lugares distintos.
5. Las unidades de la carga. nC, µC y mC son ${10}^{-9}$, ${10}^{-6}$ y ${10}^{-3}$ C. Con milicoulombs a metros de distancia el potencial anda por los millones de voltios: es mucha carga.

El ejercicio que junta todo esto con la energía es el de traer una tercera carga: el potencial en un punto, y después cuánto cuesta poner una carga ahí.

Para tener a mano

1. $V=U/q_0$: energía potencial por unidad de carga. Un número en cada punto, no un vector. Se mide en voltios, J/C.
2. Carga puntual: $V=kq/r$, con $V=0$ en el infinito y el signo de $q$.
3. Varias cargas: $V=\sum k{q}_i/r_i$, con signo y sin componentes. En la posición de una carga, sólo las demás.
4. $\Delta U=q\Delta V$ y $W_{\text{campo}}=-q\Delta V$. Las positivas caen hacia donde $V$ baja; las negativas, hacia donde sube.
5. $E_x=-dV/dx$: el campo apunta hacia donde $V$ baja. Uniforme: $E=\Delta V/d$. $E=0$ no implica $V=0$, ni al revés.
6. $1\text{V/m}=1\text{N/C}$; $1\text{eV}=\mathrm{1,6}·{10}^{-19}\text{J}$.

Para leer más

Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 24, «Potencial eléctrico»: las secciones 24.1 a 24.4 siguen este mismo orden. Sears y Zemansky, volumen 2, capítulo 23, «Potencial eléctrico», con muchos ejemplos resueltos de cargas puntuales. Alonso y Finn, volumen 2, capítulo 14, las secciones del potencial eléctrico y de las relaciones energéticas en un campo eléctrico.