Carga en un campo uniforme

Dos placas planas enfrentadas, una con carga positiva y la otra con la misma carga negativa, hacen entre ellas el campo más simple que existe: el mismo en todos lados. Una carga que entra ahí siente siempre la misma fuerza, y una fuerza constante ya se estudió en el primer parcial: es la del peso. Todo lo que se sabe del tiro vertical y del tiro parabólico vale entre las placas, cambiando $g$ por $q E / m$ .

01 · El campo entre dos placas

Un campo eléctrico le asigna a cada punto del espacio un vector $\vec{E}$ : la fuerza que sentiría ahí una carga de prueba positiva, dividida por su carga. Se mide en N/C. El campo es uniforme en una región si ese vector es el mismo en todos sus puntos: mismo módulo, misma dirección y mismo sentido.

Entre dos placas paralelas con cargas $+ Q$ y $- Q$ , de lados grandes comparados con la separación $d$ , el campo es uniforme salvo cerca de los bordes. Es perpendicular a las placas y apunta de la positiva a la negativa: una carga de prueba positiva es empujada por una y atraída por la otra, y las dos fuerzas van en el mismo sentido. Afuera de las placas los dos aportes se cancelan y el campo es casi cero.

Que no dependa de la distancia a las placas lo explica la ley de Gauss: vista de cerca, cada placa es una lámina infinita con carga por unidad de área $σ = Q / A$ , y una lámina hace un campo $σ / (2 ε_{0})$ que no decae al alejarse. Entre las placas los dos se suman y dan $E = σ / ε_{0}$ .

La otra forma de dar el campo, la que traen casi todos los problemas, es con la tensión entre las placas. El potencial $V$ es la energía potencial por unidad de carga: un número en cada punto, no un vector, medido en voltios ( $1 V = 1 J/C$ ). La placa positiva está a potencial más alto que la negativa, y la diferencia de potencial $Δ V$ entre las dos se reparte parejo a lo largo de la separación:

E = \frac{Δ V}{d}

Por eso el campo también se mide en V/m, que es lo mismo que N/C. Las superficies de igual potencial, las equipotenciales, son planos paralelos a las placas, y el potencial baja $E$ voltios por cada metro que se avanza en el sentido del campo.

02 · Fuerza constante, aceleración constante

Una carga $q$ en el campo siente la fuerza $\vec{F} = q \vec{E}$ . Si $q$ es positiva, la fuerza va en el sentido del campo; si es negativa, como la del electrón, va en contra: hacia la placa positiva. Como $\vec{E}$ no cambia de un punto a otro, la fuerza no cambia mientras la carga se mueve, y por la segunda ley de Newton la aceleración tampoco:

\vec{a} = \frac{q \vec{E}}{m}

Es la situación de un cuerpo bajo su peso: una aceleración constante, de dirección fija. Lo que cambia es el valor. Un electrón, con $e = 1,6 \cdot 10^{- 19} C$ y $m_{e} = 9,11 \cdot 10^{- 31} kg$ , en un campo de 200 N/C:

a = \frac{e E}{m_{e}} = \frac{1,6 \cdot 10^{- 19} \cdot 200}{9,11 \cdot 10^{- 31}} = 3,51 \cdot 10^{13} m/s²

Unas $3,6 \cdot 10^{12}$ veces $g$ . Por eso en estos problemas los tiempos son de nanosegundos ( $1 ns = 10^{- 9} s$ ) o microsegundos, y las distancias, de centímetros.

03 · Por qué el peso no entra

El electrón también pesa, y la cuenta para no tenerlo en cuenta se hace una vez, con los números del problema. Con los de recién:

e E = 3,2 \cdot 10^{- 17} N, m_{e} g = 8,93 \cdot 10^{- 30} N

La fuerza eléctrica es $3,58 \cdot 10^{12}$ veces el peso. El peso no cambia ninguna cifra del resultado: en los 33,3 ns que tarda el electrón del Ejercicio 7 en cruzar las placas, la gravedad lo baja $\frac{1}{2} g t^{2} = 5,4 \cdot 10^{- 15} m$ , contra centímetros que lo baja el campo. Para la partícula alfa del Ejercicio 6 el cociente es $2,55 \cdot 10^{9}$ .

La regla: con electrones, protones o núcleos en campos de laboratorio, el peso se desprecia, y se dice por qué. Con un cuerpo de verdad la comparación da al revés. Las esferas de 30 g del Ejercicio 3 cuelgan de hilos porque su peso es tan importante como la repulsión. Y una gota de aceite con unos pocos electrones de más puede quedar flotando entre dos placas, con $q E = m g$ : así midió Millikan la carga del electrón.

04 · Desde el reposo: una recta

Si la carga parte del reposo, la fuerza la empuja a lo largo del campo y no hay nada que la desvíe: es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, el del primer parcial, con $a = | q | E / m$ . Midiendo $x$ desde el punto donde se la suelta:

x = \frac{1}{2} a t^{2}, v = a t, v^{2} = 2 a x

Para cruzar toda la separación se pone $x = d$ . Una carga positiva soltada en la placa positiva llega a la negativa, y una negativa soltada en la negativa llega a la positiva. Al revés no se mueven: la placa de la que tendrían que alejarse es la que las atrae. El Ejercicio 6 usa estas fórmulas en el otro sentido: da la distancia y el tiempo, con ellas se despeja $a$ , y con $a$ el campo.

05 · Entrando de costado: una parábola

Si la carga entra con velocidad $v_{0}$ paralela a las placas, o sea perpendicular al campo, cada dirección hace lo suyo. A lo largo de las placas no hay fuerza y esa velocidad se mantiene. A lo largo del campo la carga arranca sin velocidad y con aceleración constante. Con el origen en el punto de entrada, $x$ a lo largo de las placas e $y$ medida hacia donde empuja la fuerza:

x = v_{0} t, y = \frac{1}{2} a t^{2}

Despejando $t = x / v_{0}$ de la primera y reemplazando en la segunda queda la trayectoria, una parábola:

y = \frac{a}{2 v_{0}^{2}} x^{2}

Es un tiro horizontal acostado: una pelota que rueda del borde de una mesa, con la placa en el lugar del suelo y $a$ en el de $g$ . Todo lo del tiro parabólico se traslada: las dos componentes son independientes, una de ellas fija el tiempo y la otra se lo lleva.

La decisión: sale o choca. Entre placas de largo $L$ , la carga tardaría $t_{L} = L / v_{0}$ en cruzarlas, y en ese tiempo se desviaría

y_{L} = \frac{1}{2} a t_{L}^{2} = \frac{a L^{2}}{2 v_{0}^{2}}

Eso se compara con el lugar que tiene para desviarse: la separación $h$ entera si entra pegada a una placa, $h / 2$ si entra por el medio. Si $y_{L}$ es menor, sale, a los $t_{L}$ , con la velocidad inclinada un ángulo $θ$ respecto de las placas, $\tan θ = a L / v_{0}^{2}$ . Si es mayor, choca antes del final, cuando la desviación llega a $h$ :

t_{choque} = \sqrt{\frac{2 h}{a}}, x_{choque} = v_{0} t_{choque}

Hacer la pregunta primero es lo que importa. Si se calcula directo «el tiempo en que sale», sale un número aunque la carga nunca salga.

Arranca con un electrón a $4 \cdot 10^{6}$ m/s, que sale. Bajá la velocidad hasta $3 \cdot 10^{6}$ m/s, que es el Ejercicio 7, y mirá dónde termina la curva punteada. Buscá la velocidad más baja con la que todavía sale, y fijate que con la mitad del campo hace falta menos. Después pasá al protón: la misma carga en valor absoluto y la misma fuerza, pero 1833 veces más masa.

06 · Trabajo y energía

El trabajo de una fuerza constante es la fuerza por el desplazamiento en su dirección. La fuerza $q \vec{E}$ es constante, así que sobre un desplazamiento $s$ a lo largo del campo hace $W = q E s$ , y lo que la carga avanza de costado no suma nada: en la parábola sólo cuenta cuánto se desvió. Como el potencial baja $E$ voltios por metro en el sentido del campo, $E s$ es justo lo que bajó el potencial entre la partida y la llegada, $V_{i} - V_{f}$ . Si la fuerza eléctrica es la única que trabaja, todo ese trabajo va a la energía cinética $K$ :

Δ K = W = q (V_{i} - V_{f}) = - q Δ V

con $Δ V = V_{f} - V_{i}$ . Es la conservación de la energía con la energía potencial eléctrica $U = q V$ : $Δ K = - Δ U$ . Una carga positiva gana energía cinética yendo hacia potenciales más bajos, y una negativa, hacia potenciales más altos: el electrón corre hacia la placa positiva.

La masa no aparece: para saber cuánta energía gana una carga alcanza con la tensión que atraviesa. Por eso existe el electronvoltio, $1 eV = 1,6 \cdot 10^{- 19} J$ : lo que gana un electrón al atravesar 1 V. Un electrón que arranca del reposo y atraviesa 100 V llega con 100 eV, y su velocidad sale de $\frac{1}{2} m_{e} v^{2} = e \cdot 100 V$ : $v = 5,93 \cdot 10^{6}$ m/s. En el Ejercicio 7 el electrón baja 1,5 cm en un campo de 200 N/C antes de chocar: atraviesa 3 V y gana 3 eV, aunque haya avanzado casi 9 cm.

07 · Los errores típicos

El signo del electrón. Primero se dibuja $\vec{E}$ , de la placa positiva a la negativa; después la fuerza, que para una carga negativa va al revés. Hacerlo en el otro orden es la forma más común de mandar el electrón contra la placa equivocada.

El lugar que tiene para desviarse. Es $h$ si entra pegada a una placa y $h / 2$ si entra por el medio. Hay que mirar la figura, no la letra.

Calcular sin preguntar. «El tiempo en que abandona la región» es $L / v_{0}$ sólo si la abandona. Primero el desvío en el cruce contra el lugar disponible; después, lo que corresponda.

Las unidades. Centímetros a metros, nanosegundos y microsegundos a segundos, la masa en kilogramos. Con números de $10^{- 31}$ y $10^{13}$ un factor mil perdido no se ve a ojo: se ve comparando con lo que se esperaba.

Arrastrar $g$ . En la cinemática del primer parcial la aceleración era $g$ por costumbre. Acá es $q E / m$ , y $g$ sólo aparece para mostrar que no importa.

Para tener a mano

Entre placas paralelas el campo es uniforme, perpendicular a ellas, de la positiva a la negativa: $E = Δ V / d = σ / ε_{0}$ . 1 V/m = 1 N/C.
$\vec{a} = q \vec{E} / m$ , constante. Positiva, con el campo; negativa, contra el campo.
El peso se compara una vez ( $e E / (m_{e} g) = 3,58 \cdot 10^{12}$ a 200 N/C) y se descarta.
Desde el reposo: $x = \frac{1}{2} a t^{2}$ , $v^{2} = 2 a x$ .
De costado: $x = v_{0} t$ , $y = \frac{1}{2} a t^{2}$ . Sale si $a L^{2} / (2 v_{0}^{2})$ es menor que el lugar disponible; si no, choca a los $\sqrt{2 h / a}$ .
$Δ K = - q Δ V$ : sólo cuenta el desplazamiento a lo largo del campo. Un electrón que atraviesa 1 V gana 1 eV.

Para leer más

Sears-Zemansky, Física universitaria, vol. 2 (14.ª ed.): sección 21.4, con el ejemplo 21.7, un electrón entre dos placas; y sección 23.1, el trabajo en un campo uniforme. Serway-Jewett, Física, vol. 2: sección 22.6, movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme, con los ejemplos 22.7 y 22.8; y sección 24.2, diferencias de potencial en un campo uniforme.