El electrón entre placas

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Hacia dónde. El campo uniforme apunta de la placa positiva a la negativa: hacia arriba. El electrón tiene carga negativa, así que la fuerza $-e\overrightarrow{E}$ va al revés: hacia abajo, hacia la placa positiva. La figura pone la entrada $(0,0)$ pegada a la placa negativa, así que el electrón tiene la separación $h$ entera para bajar.

Qué modelo. La fuerza es constante y perpendicular a la velocidad de entrada. A lo largo de las placas no hay fuerza y la velocidad se queda en $3·{10}^6$ m/s; a lo largo del campo, el electrón arranca sin velocidad y con aceleración constante. Es un tiro horizontal, como el de una pelota que rueda de una mesa, con la placa positiva en el lugar del suelo. El peso no entra: la fuerza eléctrica es $\mathrm{3,58}·{10}^{12}$ veces mayor.

Qué pregunta va primero. El inciso (b) pide dos cosas distintas según lo que pase, y la figura dibuja una trayectoria que arranca a curvarse: es un esquema del montaje, no la respuesta. Calcular «el tiempo en que sale» como $L/v$ da un número aunque el electrón nunca salga. La pregunta es otra: en el tiempo que tardaría en cruzar, ¿cuánto bajaría? Si es menos que $h$, sale; si es más, choca antes.

Qué esperar. Para un electrón en 200 N/C, $eE/m_e$ anda por $3·{10}^{13}$ m/s². Cruzar 10 cm a $3·{10}^6$ m/s lleva unos $3·{10}^{-8}$ s, y ese tiempo al cuadrado es casi ${10}^{-15}$ s². La caída es del orden de $\frac{1}{2}·3·{10}^{13}·{10}^{-15}\approx \mathrm{1,5}$ cm: lo mismo que $h$. La pregunta es de verdad, y la deciden las cifras.

03 · La resolución

(a) La aceleración. Por la segunda ley, con la fuerza eléctrica como única fuerza:

$$a=\frac{eE}{m_e}=\frac{\mathrm{1,6}·{10}^{-19}·200}{\mathrm{9,11}·{10}^{-31}}=\mathrm{3,51}·{10}^{13}\text{m/s²}$$

vertical, hacia abajo: hacia la placa positiva, contra el campo.

(b) Paso 1: el tiempo que tardaría en cruzar. La velocidad a lo largo de las placas no cambia, así que recorrer $L=\mathrm{0,1}$ m lleva

$$t_L=\frac{L}{v}=\frac{\mathrm{0,1}}{3·{10}^6}=\mathrm{3,33}·{10}^{-8}\text{s}=\mathrm{33,3}\text{ns}$$

Paso 2: cuánto bajaría en ese tiempo. Midiendo $y$ hacia abajo desde la entrada, el electrón arranca sin velocidad vertical:

$$y_L=\frac{1}{2}a{t}_L^2=\frac{1}{2}·\mathrm{3,51}·{10}^{13}·{(\mathrm{3,33}·{10}^{-8})}^2=\mathrm{1,95}\text{cm}$$

Paso 3: la decisión. $\mathrm{1,95}\text{cm}>h=\mathrm{1,5}\text{cm}$: no le alcanza el lugar. El electrón no abandona la región: choca contra la placa positiva antes de llegar al final, y lo que se pide es dónde.

Paso 4: cuándo choca. Cuando la caída llega a $h$:

$$\frac{1}{2}a{t}^2=h\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{a}}=\sqrt{\frac{2·\mathrm{0,015}}{\mathrm{3,51}·{10}^{13}}}=\mathrm{29,2}\text{ns}$$

Paso 5: dónde. En ese tiempo avanzó, a lo largo de las placas,

$$x=vt=3·{10}^6·\mathrm{2,92}·{10}^{-8}=\mathrm{8,77}\text{cm}$$

El electrón impacta en la placa positiva en $(x,y)=(\mathrm{8,77}\text{cm},\mathrm{1,5}\text{cm})$, con $y$ hacia abajo desde la entrada: a 1,23 cm del final de las placas, a los 29,2 ns. Llega con una velocidad vertical $at=\mathrm{1,03}·{10}^6$ m/s, inclinado 18,9° respecto de las placas.

04 · El chequeo

Las unidades. $eE/m$ es C·(N/C)/kg = N/kg = m/s². $\sqrt{2h/a}$ es la raíz de m/(m/s²) = s².

Que las cuentas no se contradigan. El choque tiene que llegar antes del cruce, y llega: 29,2 ns contra 33,3 ns, y 8,77 cm contra 10 cm. La caída crece con el cuadrado de lo avanzado, así que a 8,77 cm de los 10 tiene que ser ${(\mathrm{0,877})}^2·\mathrm{1,95}=\mathrm{1,50}$ cm: justo $h$.

Qué tan cerca estuvo. Para salir, la caída en el cruce tendría que ser a lo sumo $h$, o sea $v\ge L\sqrt{a/(2h)}=\mathrm{3,42}·{10}^6$ m/s. Con los $3·{10}^6$ del enunciado le falta un 12 %. Dicho al revés: a esa velocidad saldría con un campo de hasta 154 N/C, y hay 200.

La energía. Sólo trabaja la fuerza eléctrica, y sólo con la parte del desplazamiento que va a lo largo del campo: los 1,5 cm de caída. En 200 N/C eso es una diferencia de potencial de $200·\mathrm{0,015}=3$ V, y el electrón gana 3 eV, $\mathrm{4,8}·{10}^{-19}$ J. Entró con $\frac{1}{2}{m}_e{v}^2=\mathrm{4,10}·{10}^{-18}$ J, unos 25,6 eV, así que el choque le suma un 12 % de energía: por eso el ángulo de llegada no es grande.

El peso. En los 33,3 ns que tardaría en cruzar, la gravedad lo bajaría $\mathrm{5,4}·{10}^{-15}$ m. No cambia nada.

05 · Lo que se lleva

Primero preguntar, después calcular. En un problema de carga entre placas, la cuenta que decide es la caída en el tiempo de cruce, $a{L}^2/(2v^2)$, contra el lugar disponible. Recién después se elige qué tiempo calcular: $L/v$ si sale, $\sqrt{2h/a}$ si choca.

El lugar disponible depende de por dónde entra. Acá entra pegado a la placa negativa y tiene $h$. Si entrara por el medio tendría $h/2$ y chocaría todavía antes, a los $\sqrt{h/a}$.

El signo se decide con el dibujo. Primero el campo, de más a menos; después la fuerza, al revés si la carga es negativa. Con eso se sabe contra qué placa va antes de escribir un número.

El modelo completo, con un widget donde se mueven la velocidad, el campo y las placas y se ve si sale o choca, está en la nota de la carga en un campo uniforme.