Las dos esferas colgadas

01 · El enunciado

Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con una masa de 30 g, cuelgan en equilibrio como se muestra en la figura. La longitud de cada cuerda es l = 15 cm y el ángulo es θ = 5. Encuentre la magnitud de la carga sobre cada esfera.

El ángulo dice «5» sin unidad; se lee en grados, que es como da un ángulo chico y razonable. La $l$ del texto es la $L$ del dibujo: el largo de cada hilo. Y $a$ es la distancia de cada esfera a la vertical, la mitad de la separación entre ellas.

02 · Antes de hacer cuentas

El modelo. Las esferas son «pequeñas»: se las trata como cargas puntuales separadas por la distancia entre sus centros. Están en equilibrio, quietas, así que sobre cada una la suma de las fuerzas es cero. Es un problema de estática, de los del parcial 1, con una fuerza nueva.

El diagrama de cuerpo aislado. Se aísla una esfera, la de la derecha, y se dibuja todo lo que la toca o actúa sobre ella, igual que en el diagrama de cuerpo aislado. Son tres fuerzas:

el peso $m g$ , vertical hacia abajo;
la tensión $T$ del hilo, a lo largo del hilo, hacia el punto de donde cuelga: inclinada $θ$ respecto de la vertical;
la fuerza eléctrica $F_{e}$ que le hace la otra esfera, dada por la ley de Coulomb: a lo largo de la recta que las une. Las dos cuelgan a la misma altura, así que esa recta es horizontal; y se separan, así que la fuerza es de repulsión: hacia afuera, a la derecha.

Que se repelan dice que las dos cargas tienen el mismo signo, pero no cuál: positivas o negativas, el dibujo es el mismo. Por eso el enunciado pide la magnitud de la carga. Y que sean idénticas permite suponer que llevan la misma carga $q$ .

Qué esperamos. Con un ángulo tan chico, el hilo está casi vertical: la tensión casi no tiene componente horizontal, y la fuerza eléctrica que la equilibra tiene que ser una fracción chica del peso, del orden de $\tan 5 ° \approx 0,09$ veces. El peso es $0,03 \cdot 9,8 \approx 0,3$ N, así que $F_{e}$ tiene que andar por las centésimas de newton.

La llave. Hay dos incógnitas, $T$ y $q$ , y el equilibrio da dos ecuaciones, una por eje. La tensión no se pide: conviene eliminarla, y la forma limpia es dividir una ecuación por la otra. El ángulo hace dos trabajos a la vez: fija cuánto vale $F_{e}$ respecto del peso, y fija a qué distancia están las esferas.

03 · La resolución

Paso 1: los datos en el SI. $m = 30$ g $= 0,030$ kg, $L = 15$ cm $= 0,15$ m, $θ = 5 °$ .

Paso 2: el equilibrio, eje por eje. Con $x$ horizontal hacia la derecha e $y$ vertical hacia arriba, la tensión de la esfera derecha apunta arriba y a la izquierda, con componentes $- T sen θ$ y $+ T \cos θ$ , porque el ángulo se mide desde la vertical.

\begin{matrix} x : F_{e} - T sen θ = 0 \\ y : T \cos θ - m g = 0 \end{matrix}

Paso 3: eliminar la tensión. Pasando los términos con $T$ de un lado y dividiendo la primera por la segunda, $T$ se va:

\frac{T sen θ}{T \cos θ} = \frac{F_{e}}{m g} ⟹ F_{e} = m g \tan θ

F_{e} = 0,030 \cdot 9,8 \cdot 0,0875 = 0,0257 N

En las centésimas de newton, como se esperaba.

Paso 4: la distancia entre las esferas. En la ley de Coulomb va la distancia entre las dos cargas, no el largo del hilo. Cada esfera está a $a = L sen θ$ de la vertical, del cateto opuesto del triángulo que forma su hilo, y la separación es el doble:

d = 2 a = 2 L sen θ = 2 \cdot 0,15 \cdot 0,0872 = 0,0261 m

2,61 cm.

Paso 5: Coulomb, y despejar. Las dos cargas valen $q$ , así que $F_{e} = k q^{2} / d^{2}$ , y

q = d \sqrt{\frac{F_{e}}{k}} = 0,0261 \cdot \sqrt{\frac{0,0257}{8,99 \cdot 10^{9}}}

q = 4,42 \cdot 10^{- 8} C = 44,2 n C

en cada esfera, con signo desconocido: las dos positivas o las dos negativas. Si además se quisiera la tensión, sale de la ecuación en $y$ : $T = m g / \cos θ = 0,295$ N, apenas más que el peso.

Con 15 nC los hilos apenas se abren, 2,4°. Buscá la carga que los lleva a 5,0°: es la del ejercicio. Después duplicala. El ángulo no se duplica: con 88,4 nC llega a 7,9°. Al separarse, las esferas se alejan, y la fuerza que las separa baja con el cuadrado de la distancia; para ángulos chicos sale $θ \propto q^{2 / 3}$ , y $2^{2 / 3} = 1,59$ . Por eso el problema se pide al revés, dando el ángulo: dada la carga, hallar el ángulo exige resolver $\tan θ {sen}^{2} θ = k q^{2} / (4 L^{2} m g)$ , que no tiene despeje, y el widget lo hace numéricamente.

04 · El chequeo

Las unidades. $m \cdot \sqrt{N / (N \cdot m^{2} / C^{2})} = m \cdot C / m = C$ .

Un caso límite. Si $θ \to 0$ , la separación y la fuerza van a cero, y $q$ también: sin carga, los hilos cuelgan verticales. Si las esferas fueran más pesadas, para el mismo ángulo haría falta más fuerza y más carga: $q$ crece como $\sqrt{m}$ .

La aproximación de ángulo chico. Con $θ$ en radianes, $sen θ \approx \tan θ \approx θ = 0,0873$ , y la fórmula queda $q \approx 2 L θ \sqrt{m g θ / k}$ . Da 44,2 nC otra vez: a 5° las tres funciones difieren en menos de un 0,4 %, y los errores se compensan.

¿Es razonable? Decenas de nanocoulombs es la carga típica de un objeto frotado. Y la fuerza eléctrica es menos de un décimo del peso: alcanza para separar las esferas un par de centímetros, no para levantarlas.

05 · Lo que se lleva

Coulomb es una fuerza más. No cambia nada del método del parcial 1: se aísla un cuerpo, se dibujan todas las fuerzas, se elige un sistema de ejes y se escribe Newton en cada eje. La fuerza eléctrica entra en la lista con su módulo $k | q_{1} q_{2} | / r^{2}$ y su sentido sacado del dibujo.

Dividir para eliminar la tensión. Con un hilo inclinado y una fuerza horizontal, el cociente de las dos ecuaciones da $F = m g \tan θ$ de una. Es la misma cuenta del péndulo cónico y del cuerpo colgado con un viento lateral.

La distancia de Coulomb es entre cargas. El error más común de este ejercicio es meter en la ley de Coulomb otra longitud del dibujo. Con $a$ en lugar de $2 a$ sale la mitad, 22,1 nC; con el largo del hilo, $L = 0,15$ m, sale 254 nC, casi seis veces más. La pregunta para no equivocarse es siempre la misma: ¿entre qué dos puntos está la carga?