Práctico 4 · Ejercicio 2 · tres pares, tres fuerzas de Coulomb, y cada una se usa dos veces: por eso las fuerzas sobre las tres cargas suman cero, y los campos y los potenciales no.
Es el primer ejercicio del práctico con más de una carga, y por eso el primero donde hace falta la superposición: la fuerza sobre una carga es la suma de las fuerzas que le hace cada una de las otras, calculada como si las demás no estuvieran. Pide tres cosas distintas sobre las mismas tres cargas —fuerza, campo y potencial— y la diferencia entre ellas es lo que vale la pena llevarse.
Tres cargas q1 = 1 µC, q2 = −2 µC y q3 = 3 µC se colocan en línea de manera que la carga negativa queda entre las otras dos y separadas 50 cm entre cargas sucesivas.
(a) Encuentre la fuerza resultante sobre cada carga y dibújelas. (b) Calcule y dibuje el vector campo eléctrico E⃗ en la posición de cada carga. (c) Calcule el potencial eléctrico en el lugar en que se encuentra cada carga debido a las otras dos.
El modelo. Son cargas puntuales quietas, así que entre cada par vale la ley de Coulomb: el módulo de la fuerza es , la dirección es la de la recta que las une —acá, el eje x para todas— y el sentido sale de los signos: iguales se repelen, opuestas se atraen. Con tres cargas hay tres pares: 1–2, 2–3 y 1–3.
Qué esperamos. Mirando sólo los signos y las distancias, antes de una sola cuenta:
El orden de magnitud. Dos cargas de 1 µC a 1 m se hacen N. Con cargas de unos pocos µC a medio metro, las fuerzas van a andar entre centésimos y décimos de newton.
La llave. No hace falta calcular seis fuerzas. La fuerza que le hace a y la que le hace a tienen el mismo módulo y sentidos opuestos: es la tercera ley de Newton, y en Coulomb se ve directo porque la fórmula es simétrica en y . Se calculan tres módulos, uno por par, y cada uno se usa dos veces, con signos opuestos.
Para (b) y (c) hacen falta dos ideas más. El campo eléctrico en un punto es la fuerza que sentiría ahí una carga de prueba positiva, dividida por esa carga: . El campo «en la posición de una carga» es el que hacen las otras: el de la carga misma no está definido ahí. Y el potencial es un número, no una flecha: se suma con signo, sin componentes.
Eje x hacia la derecha, con en el origen, en 0,5 m y en 1 m. Primero los tres módulos, con N·m²/C²:
1–2 y 2–3 son de signos opuestos: se atraen. 1–3 son del mismo signo: se repelen. Ahora cada carga recibe dos de esas fuerzas, y el signo de cada una sale de hacia dónde apunta, no de la fórmula:
Leído renglón por renglón: es atraída hacia la derecha por y repelida hacia la izquierda por ; es atraída hacia la izquierda por y hacia la derecha por ; es atraída hacia la izquierda por y repelida hacia la derecha por . Los tres sentidos son los que se anticiparon.
Las tres suman cero.
No es casualidad de estos números. Mirá los tres renglones de arriba: aparece una vez con y otra con , y lo mismo y . Cada par aporta una fuerza y su reacción, y al sumar sobre todo el sistema se cancelan de a dos. Vale para cualquier cantidad de cargas, en cualquier posición: las fuerzas internas de un sistema suman cero, y por eso un sistema de cargas no se empuja a sí mismo. Mové en el widget y mirá la última fila.
Corré hacia la izquierda y las tres fuerzas cambian de tamaño, y hasta de sentido, pero la suma no se mueve de cero. Hay una posición donde se anula: a 0,366 m de , donde la atracción de desde cerca empata con la de , tres veces más cargada, desde más lejos. Ahí no se mueve, y aun así y sienten fuerzas iguales y opuestas. Es la misma cuenta que encuentra dónde se anula el campo entre dos cargas del mismo signo, de razón 1 a 3.
El camino corto es dividir cada fuerza por la carga que la siente, porque y la de esa fórmula es justamente la de las otras dos:
El de , por el otro camino. Conviene sacar uno directo de las fuentes, sin pasar por la fuerza, para no arrastrar un error de (a). En la posición de , la positiva hace un campo que se aleja de ella —hacia la derecha— y la positiva uno que se aleja de ella —hacia la izquierda—:
que da los mismos N/C: hacia la izquierda.
Lo que hay que dibujar. En y , que son positivas, el campo apunta igual que la fuerza. En , que es negativa, al revés: la fuerza va hacia la derecha y el campo hacia la izquierda. El campo dice qué le pasaría a una carga positiva puesta ahí; a la negativa le pasa lo contrario. En el widget, el botón «Campo» da vuelta la flecha del medio y deja las otras dos con el mismo sentido.
Y los campos no suman cero, ni tendrían por qué: son el campo en tres puntos distintos, cada uno hecho por un par de cargas distinto. La cancelación de (a) venía de la tercera ley, que es sobre fuerzas entre pares; el campo no tiene reacción.
El potencial de una carga puntual a distancia es , con el signo de , y el de varias es la suma de esos números. Sin flechas, sin componentes, sin decidir sentidos: la carga entra con su signo y ya.
Los paréntesis valen , y por C/m, y por eso los tres potenciales son por números redondos. está en el potencial más alto, positivo, porque sus dos vecinas son positivas; y , en potenciales negativos, porque para cada una la negativa del medio, cerca y de 2 µC, pesa más que la otra positiva, lejos.
El potencial no dice hacia dónde se mueve nada. es el más grande de los tres y la fuerza sobre no es la más grande; y tienen el mismo signo y las fuerzas sobre y tienen sentidos opuestos. La fuerza depende de cómo cambia el potencial alrededor de la carga, no del valor en el punto.
Unidades. da N·m²/C² · C² / m² = N. Dividido por una carga, N/C. da N·m/C = J/C = V.
La suma cero. Es el control más barato del ejercicio: si las tres fuerzas no suman cero, hay un signo mal puesto. No controla los módulos —un mal calculado se cancela igual—, así que no reemplaza revisar cada par.
Un caso límite. Si fuera cero, sobre y quedaría sólo la repulsión del par 1–3: N, iguales y opuestas, como dos cargas solas.
El orden de magnitud. Centésimos y décimos de newton, como se esperaba. Los sentidos, los tres anticipados.
Una fuerza por par, usada dos veces. Con cargas hay módulos para calcular, no . El módulo sale de Coulomb con valores absolutos; el sentido, del dibujo.
Las fuerzas internas suman cero; los campos y los potenciales, no. Es tercera ley, y sirve de control en cualquier ejercicio de fuerzas entre cargas.
Campo en una carga = campo de las otras. Y sobre una carga negativa, la fuerza va contra el campo. Es la confusión de signo más común del bloque.
El potencial se suma como números. Por eso, cuando un ejercicio pide las dos cosas, el potencial es la parte rápida: lo explica el campo con flechas, el potencial con números.