La carga y la ley de Coulomb

Pasás un peine de plástico por el pelo seco y después lo acercás a unos papelitos: los levanta. Frotás dos globos contra un suéter y, colgados de un hilo, se apartan uno del otro. En los dos casos aparece una fuerza entre objetos que no se tocan, que no es el peso y que puede tanto atraer como repeler. Esa fuerza es la eléctrica, y lo que la produce se llama carga. Esta nota arranca de ahí: qué es la carga, cuánto vale la fuerza entre dos cargas, y qué hacer cuando hay más de dos.

01 · La carga eléctrica

La carga eléctrica es una propiedad de la materia, como la masa, que decide cómo un cuerpo empuja y es empujado eléctricamente. A diferencia de la masa, viene en dos clases, que por convención se llaman positiva y negativa. La regla que las distingue es una sola:

Cargas del mismo signo se repelen; cargas de signo opuesto se atraen.

La materia ordinaria está hecha de átomos, y cada átomo tiene un núcleo con protones (carga positiva) rodeado de electrones (carga negativa), en igual número: el átomo entero es neutro, su carga total es cero. Cuando frotás el peine contra el pelo no se fabrica carga: algunos electrones pasan del pelo al peine. El peine queda con electrones de más, carga negativa; el pelo, con electrones de menos, carga positiva. Cargar un cuerpo es mover electrones de un lado a otro.

La carga se mide en coulombs, con el símbolo $\mathrm{C}$. Un coulomb es muchísima carga, y en los problemas aparecen sus fracciones: el microcoulomb, $1\mathrm{\mu }\mathrm{C}={10}^{-6}\mathrm{C}$, y el nanocoulomb, $1\mathrm{n}\mathrm{C}={10}^{-9}\mathrm{C}$. Antes de meter un dato en una fórmula, se pasa a coulombs.

Dos hechos sobre la carga se usan todo el tiempo, aunque casi nunca se nombren.

Está cuantizada. Toda carga que se observa es un múltiplo entero de una carga mínima, la del protón, que se escribe $e$:

$$q=ne,e=\mathrm{1,6}·{10}^{-19}\mathrm{C}$$

con $n$ entero, positivo o negativo. El electrón tiene carga $-e$ y el protón $+e$, exactamente opuestas. Como $e$ es tan chica, un microcoulomb son 6,25·10¹² electrones: en la escala de un problema la carga parece continua, y la cuantización sólo importa cuando se habla de una partícula sola, como el electrón del Ejercicio 1 del práctico.

Se conserva. En un sistema aislado, la suma de todas las cargas —con su signo— no cambia nunca. Frotar, tocar o conectar sólo la redistribuye: si el peine ganó $-5\mathrm{n}\mathrm{C}$, el pelo perdió exactamente eso y quedó con $+5\mathrm{n}\mathrm{C}$.

Una última palabra antes de la ley. Una carga puntual es un cuerpo cargado cuyo tamaño es despreciable frente a las distancias del problema, de modo que se lo puede tratar como un punto con una carga $q$. Es el mismo modelo que la partícula de la mecánica, y es lo que el práctico quiere decir con «partícula» o «pequeña esfera».

02 · La ley de Coulomb, en módulo

Dos cargas puntuales $q_1$ y $q_2$, quietas, separadas por una distancia $r$. Cada una ejerce sobre la otra una fuerza dirigida a lo largo de la recta que las une, y su módulo —el tamaño de la fuerza, siempre positivo, en newtons— es

$$F=k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2}$$

Las barras son el valor absoluto: el módulo no lleva signo, y el signo de las cargas se usa aparte, para decidir si la fuerza atrae o repele. $k$ es la constante de Coulomb, que se escribe también con la permitividad del vacío ${\epsilon }_0$:

$$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=\mathrm{8,99}·{10}^9\frac{\mathrm{N}·{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{C}}^2}$$

con ${\epsilon }_0=\mathrm{8,85}·{10}^{-12}{\mathrm{C}}^2/(\mathrm{N}·{\mathrm{m}}^2)$. Las dos formas son el mismo número; la segunda, con el $4\pi$ a la vista, es la que vuelve cuando aparece la ley de Gauss.

Lo que la fórmula dice se entiende mejor preguntándole qué pasa si se mueve algo:

• Si se duplica una de las cargas, la fuerza se duplica. Si se duplican las dos, se cuadruplica.
• Si se duplica la distancia, la fuerza baja a la cuarta parte; si se reduce a la mitad, se cuadruplica. Es la dependencia con $1/r^2$, la misma que en la gravitación de Newton.
• La fuerza de 1 sobre 2 y la de 2 sobre 1 tienen el mismo módulo, aunque una carga sea mucho mayor que la otra: en la fórmula entran simétricas.

Y para tener una escala: dos cargas de $1\mathrm{\mu }\mathrm{C}$ a un metro se empujan con

$$F=\mathrm{8,99}·{10}^9·\frac{{10}^{-6}·{10}^{-6}}{1^2}=\mathrm{8,99}·{10}^{-3}\mathrm{N}$$

más o menos el peso de un clip de un gramo. Dos cargas de un coulomb a un metro se empujarían con $\mathrm{8,99}·{10}^9\mathrm{N}$, el peso de casi un millón de toneladas: por eso los datos vienen en micro y nanocoulombs.

03 · La ley de Coulomb, como vector

El módulo no alcanza: una fuerza es un vector, una flecha con tamaño, dirección y sentido, y para sumarla con otras hay que tener la flecha entera. La dirección ya está dicha —la recta que une las cargas— y el sentido lo deciden los signos: si se repelen, la fuerza sobre cada una apunta alejándose de la otra; si se atraen, apunta hacia la otra.

Para escribirlo en una fórmula hace falta un versor, que es un vector de módulo 1 que sólo marca una dirección. Sea $\hat{r}$ el versor que apunta desde $q_1$ hacia $q_2$. La fuerza que $q_1$ hace sobre $q_2$ es

$${\overrightarrow{F}}_{1\text{ sobre }2}=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}\hat{r}$$

ahora con los signos de las cargas adentro. Si las dos tienen el mismo signo, el producto $q_1{q}_2$ es positivo y la fuerza sobre $q_2$ apunta como $\hat{r}$, alejándose de $q_1$: repulsión. Si tienen signos opuestos, el producto es negativo y la fuerza apunta al revés, hacia $q_1$: atracción. La regla de los signos sale sola de la fórmula.

Si las cargas están en las posiciones ${\overrightarrow{r}}_1$ y ${\overrightarrow{r}}_2$, el versor es la resta de las posiciones dividida por su largo, y la ley queda escrita sólo con coordenadas:

$${\overrightarrow{F}}_{1\text{ sobre }2}=k{q}_1{q}_2\frac{{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1}{{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|}^3}$$

El cubo de abajo no es un error: un $|\dots |$ va a la ley del $1/r^2$ y el otro normaliza el vector de arriba, que mide $r$.

La fuerza de 2 sobre 1 es exactamente la opuesta, ${\overrightarrow{F}}_{2\text{ sobre }1}=-{\overrightarrow{F}}_{1\text{ sobre }2}$: es un par de acción y reacción, la tercera ley de Newton.

En la práctica, dos caminos que dan lo mismo. O se usa la fórmula vectorial con los signos y las coordenadas, y el sentido sale solo; o se calcula el módulo con valores absolutos y el sentido se decide mirando el dibujo: ¿se atraen o se repelen? Lo que no se puede es mezclar: calcular con los signos y después además dar vuelta la flecha «porque se atraen». Eso invierte el sentido dos veces.

04 · Más de dos cargas: la superposición

Con tres o más cargas, la fuerza sobre una de ellas sale de un hecho experimental que se llama principio de superposición: cada otra carga empuja como si estuviera sola, sin que la presencia de las demás cambie su fuerza, y la fuerza total —la resultante— es la suma vectorial de todas:

$${\overrightarrow{F}}_0={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+\cdots$$

donde ${\overrightarrow{F}}_i$ es la fuerza que la carga $q_i$ hace sobre $q_0$. Una carga no se hace fuerza a sí misma: en la suma entran sólo las otras.

«Suma vectorial» es la parte donde se pierden puntos. Dos flechas no se suman sumando sus largos: se suman poniendo una a continuación de la otra, y la resultante es la flecha que va del principio de la primera a la punta de la segunda. La forma de hacer esa cuenta sin dibujar a escala es descomponer: cada flecha se reemplaza por sus dos componentes, cuánto avanza en $x$ y cuánto en $y$, y las componentes sí se suman como números, cada eje por su lado.

Va un ejemplo con todos los pasos. $q_0=+1\mathrm{\mu }\mathrm{C}$ está en el origen; $q_1=+3\mathrm{\mu }\mathrm{C}$ en $(-\mathrm{0,40};0)$ m, y $q_2=-2\mathrm{\mu }\mathrm{C}$ en $(-\mathrm{0,30};\mathrm{0,40})$ m. ¿Cuál es la fuerza sobre $q_0$?

Paso 1: el dibujo y los sentidos. $q_1$ y $q_0$ son positivas: se repelen, y ${\overrightarrow{F}}_1$ empuja a $q_0$ alejándola de $q_1$, hacia $+x$. $q_2$ es negativa: atrae, y ${\overrightarrow{F}}_2$ tira de $q_0$ hacia $q_2$, arriba y a la izquierda. Antes de calcular ya se sabe algo: las dos fuerzas tiran en $x$ para lados opuestos, así que en ese eje se van a restar.

Paso 2: cada módulo, con valores absolutos. La distancia a $q_1$ es $r_1=\mathrm{0,40}$ m; la distancia a $q_2$ es $r_2=\sqrt{{\mathrm{0,30}}^2+{\mathrm{0,40}}^2}=\mathrm{0,50}$ m. Entonces

$$F_1=\mathrm{8,99}·{10}^9·\frac{3·{10}^{-6}·{10}^{-6}}{{\mathrm{0,40}}^2}=\mathrm{0,169}\mathrm{N}$$ $$F_2=\mathrm{8,99}·{10}^9·\frac{2·{10}^{-6}·{10}^{-6}}{{\mathrm{0,50}}^2}=\mathrm{0,0719}\mathrm{N}$$

Paso 3: la dirección de cada una. ${\overrightarrow{F}}_1$ es horizontal. ${\overrightarrow{F}}_2$ apunta de $q_0$ hacia $q_2$, o sea según el vector $(-\mathrm{0,30};\mathrm{0,40})$; dividido por su largo, 0,50, da el versor $(-\mathrm{0,60};\mathrm{0,80})$. Dicho con un ángulo: forma $\alpha =\mathrm{53,1}°$ con el semieje $-x$, con $\cos \alpha =\mathrm{0,60}$ y $\mathrm{sen}\alpha =\mathrm{0,80}$. Las dos descripciones son la misma; la del versor evita la trigonometría cuando las coordenadas ya están.

Paso 4: descomponer. Cada componente es el módulo por el coseno o el seno del ángulo, con el signo que dice el dibujo:

$$\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}_1=(+\mathrm{0,169};0)\mathrm{N}\\ {\overrightarrow{F}}_2=(-\mathrm{0,0719}·\mathrm{0,60};+\mathrm{0,0719}·\mathrm{0,80})\\ =(-\mathrm{0,0432};+\mathrm{0,0575})\mathrm{N}\end{array}$$

Paso 5: sumar eje por eje.

$$\begin{array}{c}{F}_x=\mathrm{0,169}-\mathrm{0,0432}=\mathrm{0,125}\mathrm{N}\\ F_y=0+\mathrm{0,0575}=\mathrm{0,0575}\mathrm{N}\end{array}$$

Paso 6: volver a una flecha. El módulo de la resultante es la hipotenusa de sus componentes, y su ángulo sale de la tangente:

$$|{\overrightarrow{F}}_0|=\sqrt{{\mathrm{0,125}}^2+{\mathrm{0,0575}}^2}=\mathrm{0,138}\mathrm{N}$$ $$\phi =\arctan \frac{\mathrm{0,0575}}{\mathrm{0,125}}=\mathrm{24,6}°$$

sobre el semieje $+x$: hacia la derecha y un poco hacia arriba.

El error típico. Sumar los módulos, $\mathrm{0,169}+\mathrm{0,0719}=\mathrm{0,240}$ N, da un 74 % más que la resultante de verdad. No es un redondeo: es otra cantidad. El largo del camino que hacen las dos flechas puestas una a continuación de la otra no es la distancia entre su principio y su fin, y sólo coinciden si las dos fuerzas apuntan exactamente para el mismo lado. En cualquier otro caso la resultante es más chica que la suma de los módulos, y acá las dos fuerzas tiran en $x$ en sentidos opuestos, así que la diferencia es grande.

Arranca con $q_1$ empujando y $q_2$ tirando casi en la misma dirección: la suma de los módulos y la resultante dan casi lo mismo, y el error no se ve. Llevá $q_2$ por arriba de $q_0$ hasta el otro lado y mirá cómo se separan los dos números rojo y azul. En $(-\mathrm{0,30};\mathrm{0,40})$ m está el ejemplo de arriba. Prendé «una a continuación de la otra» para ver el triángulo: la suma de módulos es el largo del camino quebrado, la resultante es el atajo. Y cambiá el signo de $q_2$: la tabla da vuelta los dos signos de su fila, y nada más.

05 · Cómo aparece en los ejercicios

La ley es una sola, pero en el práctico aparece de tres maneras, y conviene reconocer cuál es antes de empezar.

Cargas en fila. Si todas están sobre una recta, todas las fuerzas son paralelas a esa recta y la superposición se reduce a sumar números con signo: más si la fuerza apunta hacia $+x$, menos si apunta hacia $-x$. Es el caso de tres cargas en fila, el Ejercicio 2, donde además las tres resultantes suman cero: son pares de acción y reacción.

Cargas en el plano. Si no están alineadas, hay que hacer los seis pasos de la sección anterior. Casi siempre la geometría ayuda: en el cuadrado de cuatro cargas, el Ejercicio 4, la simetría cancela las componentes verticales antes de calcular nada. Mirar el dibujo buscando qué se cancela ahorra la mitad de las cuentas.

Coulomb como una fuerza más. Cuando las cargas están en cuerpos con masa que cuelgan, se apoyan o se mueven, la fuerza eléctrica entra en el diagrama de cuerpo aislado al lado del peso, la tensión y la normal, y se resuelve con Newton como siempre. Es el caso de las dos esferas colgadas, el Ejercicio 3.

06 · Los errores típicos

Sumar módulos. Ya está dicho, y es el más caro. La resultante se arma por componentes; el módulo se toma al final, una sola vez.

El signo dos veces. Meter las cargas con signo en $k{q}_1{q}_2/r^2$, obtener un número negativo, y además dibujar la flecha hacia la otra carga «porque se atraen». O un camino o el otro.

Las unidades. Los centímetros a metros y los micro y nanocoulombs a coulombs, antes de reemplazar. Un dato en centímetros que queda al cuadrado en el denominador cambia el resultado en un factor de diez mil.

La $r$ equivocada. $r$ es la distancia entre las dos cargas que interactúan, no la coordenada de una de ellas ni la distancia al origen. Con tres cargas hay tres distancias distintas, y cada fuerza usa la suya.

Olvidar el cuadrado. La distancia va al cuadrado. Si un ejercicio pide qué pasa al duplicar la distancia, la respuesta es «la fuerza se divide por cuatro», no por dos.

Para leer más

Sears y Zemansky, Física universitaria, volumen 2, capítulo 21, secciones 21.1 a 21.3: la carga, los conductores y aislantes, y la ley de Coulomb, con el ejemplo 21.3 de suma vectorial sobre una línea y el 21.4, en el plano. Serway y Jewett, Física, volumen 2, capítulo 22, secciones 22.1 y 22.3. Alonso y Finn, Física, volumen II, capítulo 14, «Interacción eléctrica», para la versión más formal.

Para tener a mano

1. Dos signos: iguales se repelen, opuestos se atraen. La carga está cuantizada, $q=ne$ con $e=\mathrm{1,6}·{10}^{-19}$ C, y se conserva: frotar la mueve, no la crea.
2. Módulo: $F=k|q_1{q}_2|/r^2$, con $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)=\mathrm{8,99}·{10}^9$ N·m²/C². Dirección: la recta que las une.
3. Vector: ${\overrightarrow{F}}_{1\text{ sobre }2}=k{q}_1{q}_2\hat{r}/r^2$, con $\hat{r}$ de 1 hacia 2. La de 2 sobre 1 es la opuesta.
4. Superposición: la fuerza sobre una carga es la suma vectorial de las fuerzas de cada una de las otras, calculadas como si estuvieran solas.
5. Los seis pasos: dibujo y sentidos; módulos con valores absolutos; dirección de cada una; componentes con su signo; suma eje por eje; módulo y ángulo de la resultante.
6. Sumar módulos sólo vale con fuerzas paralelas y del mismo sentido. En el ejemplo da 0,240 N contra 0,138 N.