Antes de decidir, preguntá qué clase de objeto es

La Guía 9 vuelve a los términos y a las fórmulas, pero ya no como algo que se escribe a ojo: les da una definición matemática precisa. La idea que la atraviesa está en su página 2, dicha por la propia guía como lo más importante: un término de tipo $τ$ , como objeto matemático, es una palabra. Los dos primeros ejercicios son VoFoI, como los de la Guía 8: de cada enunciado hay que decir si es verdadero, falso o impreciso, y justificarlo. Impreciso no es una manera suave de decir falso. Un enunciado es impreciso cuando alguna de sus expresiones no denota ningún objeto, y entonces no queda nada que pueda ser verdadero o falso.

La mayoría de los catorce ítems se decide antes de hacer una sola cuenta, preguntando qué clase de objeto hay a cada lado: una infinitupla no es un conjunto, una palabra no es un número, y $Dom (t)$ y $Var \cap t$ no denotan, porque $t$ es una palabra. Otros piden leer la definición de $T_{k}^{τ}$ sin apurarse. Y uno solo, el 2(h), pide otra cosa: mirar adentro de la palabra. Es el adelanto de lo que la guía prueba en el Ejercicio 11.

01 · Las consignas

Ejercicio 1. V o F o I, justifique.

(a) $(x_{1}, x_{2}, \dots) = Var$
(b) Si $v \in Var$ , entonces $Ti (v) = n -UPLA$ , para algún $n \in 𝐍 - {1}$
(c) Si $n \in 𝐍$ , entonces la variable $x_{n}$ es una palabra de longitud $n + 1$
(d) $Var - {X} = 𝐍$
(e) $Var - {X} = {1, \dots, 9, 10, 11, \dots, 19, 20, 21, \dots}$
(f) $𝐍 = {1, \dots, 9, 10, 11, \dots, 19, 20, 21, \dots}$

Ejercicio 2. V o F o I, justifique.

(a) si $τ$ es un tipo, entonces $Ti (T^{τ}) = CONJUNTO$
(b) Hay exactamente dos términos cerrados de tipo $({0, 1}, {s, i}, \emptyset, {(s, 2), (i, 2)})$ .
(c) Hay exactamente dos términos cerrados de tipo $({0, 1}, {\max, \min}, \emptyset, {(\max, 2), (\min, 2)})$ .
(d) $T^{(\emptyset, \emptyset, \emptyset, \emptyset)} = Var$
(e) $T^{τ} = ⋃_{k \geq 6} T_{k}^{τ}$
(f) Sea $t$ un término no cerrado. Sea $n$ la cantidad de ocurrencias de $X$ en $t$ . Entonces $Dom (t) = {Var}^{n}$
(g) Si $τ$ es un tipo, entonces $T_{c}^{τ} = {t \in T^{τ} : Var \cap t = \emptyset}$
(h) Sea $τ$ un tipo. Si $f \in F_{2}$ y $α, β$ son palabras tales que $f (α, β) \in T^{τ}$ , entonces $α, β \in T^{τ}$

02 · Antes de decidir: qué clase de objeto hay a cada lado

El apunte reparte los objetos matemáticos en categorías: NUMERO, CONJUNTO, PALABRA, 0-UPLA, 2-UPLA, 3-UPLA, …, INFINITUPLA. No hay 1-uplas, y los símbolos quedan adentro de las palabras. La función $Ti$ le asigna a cada objeto su categoría: $Ti (𝐍) = CONJUNTO$ , $Ti ((1, 2, 3)) = 3 -UPLA$ . Lo que la vuelve una herramienta es que las categorías son disjuntas: ningún número es una palabra, ninguna palabra es una 3-upla, ningún conjunto es una infinitupla. Una función o una relación no tienen categoría propia, porque son conjuntos de pares. Entonces, si los dos lados de una igualdad caen en categorías distintas, la igualdad es falsa, y no hace falta saber nada más de ellos.

Para usarlo hay que saber qué clase de objeto es cada cosa de la guía. Las variables son palabras. $Var$ es un conjunto concreto de palabras sobre el alfabeto de la $X$ , los numerales itálicos y los numerales negrita:

Var = {X 1, X 2, \dots, X 9, X 10, X 11, \dots, X 19, X 20, X 21, \dots}

La $n$ -ésima, que se abrevia $x_{n}$ , es la $X$ seguida de la escritura decimal de $n$ , con todos los numerales en itálica menos el último, que va en negrita. La de la guía es $x_{341} = X 341$ , una palabra de longitud cuatro. Los términos también son palabras. Dado un tipo $τ$ , se arman por niveles,

T_{0}^{τ} = Var \cup C T_{k + 1}^{τ} = T_{k}^{τ} \cup {f (t_{1}, \dots, t_{n}) : f \in F_{n}, n \geq 1, t_{1}, \dots, t_{n} \in T_{k}^{τ}}

donde $f (t_{1}, \dots, t_{n})$ es la concatenación del nombre $f$ , un paréntesis que abre, los argumentos separados por comas y un paréntesis que cierra. $T^{τ}$ es la unión de todos los niveles, y un término es cerrado si ninguna $x_{i}$ es subpalabra suya. La definición entera, con la razón de la negrita del final, está en Variables y términos de tipo τ.

Y antes de preguntar si un enunciado es verdadero hay que preguntar si denota. $Dom (f)$ tiene sentido si $f$ es una función; $A \cap B$ , si $A$ y $B$ son conjuntos. Escritas sobre otra clase de objeto, esas expresiones no son falsas: no nombran nada. Eso da un orden para cada ítem. Primero, ¿cada expresión denota? Si alguna no, es I. Después, ¿los dos lados son de la misma categoría? Si no, es F. Recién entonces se mira el contenido.

03 · Ejercicio 1, ítem por ítem

Todo denota: $Var$ , la infinitupla, $𝐍$ y los conjuntos de numerales son objetos bien definidos. Ninguno de los seis es impreciso, y los seis son falsos.

(a) F. $(x_{1}, x_{2}, \dots)$ es una infinitupla y $Var$ es un conjunto: $Ti ((x_{1}, x_{2}, \dots)) = INFINITUPLA$ y $Ti (Var) = CONJUNTO$ . Objetos de categorías distintas no son iguales. La infinitupla enumera a $Var$ —su $i$ -ésima coordenada es el $i$ -ésimo elemento de $Var$ —, pero enumerar un conjunto no es serlo.

(b) F. Cada $v \in Var$ es una palabra, así que $Ti (v) = PALABRA$ , y eso no es ninguna $n$ -UPLA. La tentación es leer $X 12$ como la 3-upla de sus tres símbolos. Una palabra no es la upla de sus símbolos: el apunte insiste en que palabras, uplas y conjuntos son objetos de distinto tipo, y por eso $ε$ , la 0-upla y $\emptyset$ son tres objetos diferentes.

(c) F. $x_{n}$ es la $X$ más la escritura decimal de $n$ , así que su longitud es uno más la cantidad de dígitos de $n$ . Contraejemplo: $x_{2} = X 2$ tiene longitud 2, no 3. La igualdad pediría que $n$ tenga $n$ dígitos, y eso sólo pasa con $n = 1$ . Que valga para un $n$ no la salva: el enunciado dice «si $n \in 𝐍$ », o sea para todos.

(d) F. Acá los dos lados son conjuntos, así que el $Ti$ de los lados no alcanza: se baja un piso y se mira el de sus elementos. $X$ es una palabra de longitud 1 y toda variable tiene longitud 2 o más, así que $X \notin Var$ y $Var - {X} = Var$ , un conjunto de palabras. $𝐍$ es un conjunto de números. $X 1$ está a la izquierda y no a la derecha.

(e) F. El ítem está armado para una lectura equivocada: tomar $Var - {X}$ como «sacarle la $X$ a cada variable». Con esa lectura daría exactamente el lado derecho, que es el conjunto de las colas de las variables. Pero ese «−» es la diferencia de conjuntos, y como en (d) da $Var$ . Los dos lados son conjuntos de palabras, y aun así no son iguales: todo elemento de la izquierda empieza con $X$ y ninguno de la derecha. $X 1$ sobra a la izquierda, y $1$ sobra a la derecha.

(f) F. El lado derecho es el mismo conjunto de palabras de (e), y $𝐍$ es un conjunto de números. El número uno no es la palabra $1$ : $Ti (1) = NUMERO$ y $Ti (1) = PALABRA$ . Las palabras de numerales denotan números en notación decimal, pero no son números. El apunte lo dice para los numerales comunes, que son los que se usan en los tipos, y con los itálicos y los negritas es lo mismo.

04 · Ejercicio 2, de (a) a (e): lo que dice la definición

(a) V. $T^{τ}$ es una unión de conjuntos de palabras, o sea un conjunto: $Ti (T^{τ}) = CONJUNTO$ . Es el único de los catorce ítems que la categoría decide a favor.

(b) F. El tipo es el de los reticulados acotados de la Guía 8, y es un tipo legítimo: sus nombres usan numerales comunes, y los que un tipo no puede usar son los itálicos y los negritas de las variables. «Exactamente dos» suena a $0$ y $1$ , y es lo que sale pensando en valores. Pero un término es una palabra, y hay infinitas palabras cerradas. Leídas de afuera hacia adentro como términos de este tipo:

Término	Longitud	Nivel
$0$ , $1$	1	0
$s (0, 0)$	6	1
$s (s (0, 0), 0)$	11	2
$s (s (s (0, 0), 0), 0)$	16	3
$s (s (s (s (0, 0), 0), 0), 0)$	21	4

Si $t$ es un término cerrado de nivel $k$ , $s (t, 0)$ es uno cerrado de nivel $k + 1$ , cinco símbolos más largo, así que ninguno se repite. Para refutar alcanzan tres: $0$ , $1$ y $s (0, 0)$ . Contados por nivel, los términos cerrados de $T_{0}^{τ}$ , $T_{1}^{τ}$ , $T_{2}^{τ}$ y $T_{3}^{τ}$ son 2, 10, 202 y 81 610. Y evaluados en la cadena $0 < 1$ , con $s$ como máximo e $i$ como mínimo, los 81 610 dan dos valores. En cualquier reticulado acotado pasa lo mismo, porque ${0, 1}$ es cerrado por $s$ e $i$ : el «dos» de la consigna cuenta valores, y lo que pregunta son términos. Es la tesis de Un término es una palabra, no un valor, de la Guía 6.

(c) F. El mismo argumento con otros nombres: $0$ , $1$ , $\max (0, 0)$ (ocho símbolos, nivel 1), $\max (\max (0, 0), 0)$ (quince, nivel 2), y así. Los conteos por nivel son los mismos 2, 10, 202 y 81 610, porque no dependen de cómo se llamen las funciones. Que $\max (0, 0)$ parezca «valer» $0$ no cambia nada: un tipo no fija ninguna estructura, y $\max$ es una palabra de tres símbolos que todavía no significa nada.

(d) V. $(\emptyset, \emptyset, \emptyset, \emptyset)$ es un tipo, el que no tiene ningún nombre. Con $C = F = \emptyset$ , $T_{0}^{τ} = Var \cup \emptyset = Var$ . Si $T_{k}^{τ} = Var$ , el conjunto de las $f (t_{1}, \dots, t_{n})$ es vacío porque no hay ningún $f$ , y $T_{k + 1}^{τ} = Var$ . Por inducción todos los niveles son $Var$ , y su unión también. Leídas como términos del tipo vacío, $X 1$ , $X 12$ y $X 341$ son de nivel 0, y $s (X 1, X 2)$ no lee: $s$ no es un nombre de función del tipo.

(e) V. Lo que hace dudar es que $T_{0}^{τ}$ , …, $T_{5}^{τ}$ no aparecen en la unión. No hace falta que aparezcan: por definición $T_{k}^{τ} \subseteq T_{k + 1}^{τ}$ , así que todos están adentro de $T_{6}^{τ}$ . La unión está contenida en $T^{τ}$ de entrada. Para la otra inclusión, si $t \in T^{τ}$ hay un $m$ con $t \in T_{m}^{τ}$ ; si $m \geq 6$ ya está, y si $m < 6$ , la cadena da $t \in T_{6}^{τ}$ . $X 1$ tiene nivel 0 y está en $T_{6}^{τ}$ : el nivel de un término es el menor $k$ que lo contiene, no el único.

05 · Ejercicio 2, (f) y (g): $t$ es una palabra

(f) I. $t$ es una palabra, no una función, así que $Dom (t)$ no denota ningún objeto. El resto del enunciado está bien: «la cantidad de ocurrencias de $X$ en $t$ » es un número, y ${Var}^{n}$ es un conjunto. Alcanza con una expresión que no denota para que el ítem entero sea impreciso. Una función con dominio aparece recién cuando se fija una estructura y el término se evalúa en ella, y el enunciado no nombra ninguna.

(g) I. $t$ es una palabra, no un conjunto, y la intersección sólo está definida entre conjuntos: $Var \cap t$ no denota. Lo que el enunciado quiere decir es la definición de cerrado —ninguna $x_{i}$ es subpalabra de $t$ —, y ésa sí denota y es verdadera. Pero el veredicto es sobre lo que está escrito. Corregirlo en la cabeza y contestar V es la manera más segura de perder el ítem.

06 · Ejercicio 2 (h): la coma que separa no tiene por qué ser la principal

(h) F. Es el único ítem donde la categoría no ayuda: $α$ y $β$ son palabras, $f (α, β)$ es una palabra, y todo denota. Lo que hay que ver es que $f (α, β)$ no dice dónde termina $α$ . Es la concatenación de $f$ , un paréntesis que abre, $α$ , una coma, $β$ y un paréntesis que cierra, y en una palabra con varias comas cualquiera de ellas puede hacer de esa coma.

Contraejemplo, en el tipo de los reticulados terna, $(\emptyset, {s, i}, \emptyset, {(s, 2), (i, 2)})$ , con $f = s$ . El término $s (s (X 1, X 2), X 3)$ es de nivel 2 y tiene catorce símbolos, con comas en las posiciones 7 y 11. Si la coma que separa es la de la posición 11, $α = s (X 1, X 2)$ y $β = X 3$ , y los dos son términos. Si es la de la posición 7,

α = s (X 1 β = X 2), X 3

y la concatenación $f (α, β)$ vuelve a dar $s (s (X 1, X 2), X 3)$ , que es un término. La hipótesis se cumple y la conclusión no: $α$ tiene un paréntesis que abre y ninguno que cierra, y todo término tiene la misma cantidad de cada uno, que es el Ejercicio 3. Con $β$ pasa lo mismo al revés: ninguno que abre y uno que cierra.

La lectura única no salva el enunciado. Dice que un término se descompone de una sola manera como $f (t_{1}, \dots, t_{n})$ con $t_{1}, \dots, t_{n}$ términos, y acá $α$ y $β$ son palabras cualesquiera. Lo que sí vale es la versión con una hipótesis más: si además se sabe que $β$ es un término, $α$ también lo es. Es el Ejercicio 11, que la escribe $f (α, t)$ con $t \in T^{τ}$ , y abajo se ve por qué hace falta esa hipótesis.

En los cuatro términos de la lista hay diez comas, y en cada término una sola da un corte con las dos piezas términos. Los seis cortes malos no rompen una pieza: rompen las dos. Eso es lo que hace funcionar el Ejercicio 11: si se sabe que $β$ es término, el corte no puede ser malo, porque un corte malo no deja ninguna pieza sana. Y no es la primera coma la que siempre engaña: en $i (X 1, s (X 2, X 3))$ la buena es la primera.

07 · Lo que se lleva a otros ejercicios

Lo que decidió cada ítem, en una tabla:

Ítem	Veredicto	Lo que decide
1(a)	F	infinitupla contra conjunto
1(b)	F	palabra contra n-upla
1(c)	F	la longitud de x₂
1(d)	F	palabras contra números
1(e)	F	diferencia de conjuntos: X1 sobra
1(f)	F	números contra palabras
2(a)	V	unión de conjuntos
2(b), 2(c)	F	palabras, no valores
2(d)	V	sin nombres, sólo variables
2(e)	V	los niveles están encadenados
2(f)	I	Dom de una palabra
2(g)	I	intersección con una palabra
2(h)	F	la coma que separa

La categoría antes que el contenido. En siete de los catorce, el $Ti$ de los lados (o el de sus elementos) decide sin mirar nada más: el (a), el (b), el (d) y el (f) del Ejercicio 1, el (a) del Ejercicio 2 y los dos imprecisos. Es el mismo chequeo que en la Guía 8 separaba $Dom (f)$ de $Dom (i (f))$ , y va a seguir apareciendo cada vez que un enunciado mezcle una palabra con lo que la palabra nombra.

Una hipótesis sobre una concatenación no dice cómo se cortó. El 2(h) vuelve con fórmulas en el 13(a), donde una conjunción $(α \land β)$ puede ser fórmula con $α$ y $β$ que no lo son (Contar paréntesis no alcanza), y su versión verdadera es el Ejercicio 11. Cada vez que una prueba escriba «como $f (α, β)$ es término, $α$ y $β$ lo son», tiene que poder decir por qué.

Lo que hace perder puntos. Contestar F en un ítem impreciso, o I en uno falso: son veredictos distintos. Corregir el enunciado en la cabeza antes de decidir, como en el (g). En (b) y (c), decir «hay infinitos» sin exhibirlos, o exhibir una lista sin decir por qué son palabras distintas. En (c) del Ejercicio 1, dar $n = 1$ como si probara algo. En (e) del Ejercicio 2, olvidar la cadena $T_{k}^{τ} \subseteq T_{k + 1}^{τ}$ , que es todo el argumento. Y en (h), invocar la lectura única, que pide justo lo que no se sabe.

Para tener a mano

Orden para un VoFoI: ¿denota cada expresión? (si no, I) → ¿los lados son de la misma categoría? (si no, F) → recién ahí, el contenido.
Las categorías de $Ti$ son disjuntas. Variables, términos y fórmulas son PALABRAS; $Var$ , $T^{τ}$ y $𝐍$ son CONJUNTOS; $(x_{1}, x_{2}, \dots)$ es una INFINITUPLA.
$X \notin Var$ , así que $Var - {X} = Var$ . $x_{n}$ mide uno más la cantidad de dígitos de $n$ .
Un término es una palabra, no su valor: hay infinitos términos cerrados de reticulados acotados (2, 10, 202 y 81 610 en los niveles 0 a 3) y todos valen $0$ o $1$ .
$f (α, β) \in T^{τ}$ no dice que $α$ y $β$ sean términos: en $s (s (X 1, X 2), X 3)$ , la coma de la posición 7 da $α = s (X 1$ . Hace falta saber que $β$ lo es (Ejercicio 11).