La ISI y el pulse shaping

Cada símbolo sale del transmisor como una copia del pulso $g(t)$, y el pulso dura más que un símbolo. Cuando el receptor mira el símbolo $k$, las colas de los demás todavía están ahí: eso es la interferencia intersimbólica. El pulse shaping es elegir $g$ para que esas colas pasen por cero justo cuando se las mira, gastando el menor ancho de banda posible y sin quedar a merced de un reloj que nunca es perfecto.

01 · La definición

La señal PAM es una fila de pulsos, uno cada $T$, cada uno escalado por su símbolo:

$$s(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{a}_{m}g(t-mT)$$

Se muestrea en el instante del símbolo $k$ y se separa el término de $m=k$ del resto, como en la filmina:

$$s(kT)=\underset{\text{deseado}}{\underbrace{a_{k}g(0)}}+\underset{\text{ISI}}{\underbrace{\sum _{m\ne k}{a}_{m}g(kT-mT)}}$$

La ISI es el segundo término: lo que aportan, en el instante del símbolo $k$, las colas de los pulsos de todos los otros. Con canal $b(t)$, filtro de recepción $f(t)$ y ruido, la cuenta es la misma con el pulso total en lugar de $g$:

$$y(kT)=a_{k}p(0)+\sum _{m\ne k}{a}_{m}p((k-m)T)+n^{\prime }(kT),p=g\ast b\ast f$$

Dos cosas la separan del ruido. Es determinística: depende de qué símbolos se mandaron, no del azar. Y es proporcional a la señal: si se duplica la amplitud se duplican los $a_m$, y la ISI con ellos. Subir la potencia no la achica. Su tamaño se mide con el peor patrón de vecinos, el que hace que cada término reste todo lo que puede:

$$D=\frac{\sum _{m\ne 0}|p(mT)|}{|p(0)|}$$

En PAM-2, con $a_m=\pm 1$, la muestra que debía valer $p(0)$ puede bajar hasta $p(0)(1-D)$ sin una gota de ruido. Con $D\ge 1$ cruza el umbral sola. Con más niveles el mismo $D$ pesa $M-1$ veces más, y por eso la misma ISI que a QPSK le cuesta un decibel a 64-QAM le cierra el ojo: está medido en la nota de la penalidad de ISI.

02 · El criterio de Nyquist, en el tiempo

¿Qué tiene que cumplir $g$ para que $s(kT)=a_k$ para cualquier secuencia de símbolos? La respuesta de la filmina:

$$g(kT)={\delta }_k=\{\begin{array}{ll}1& k=0\\ 0& k\ne 0\end{array}$$

Paso 1: es necesario. Si tiene que valer para toda secuencia, vale para la que tiene $a_0=1$ y todos los demás en cero. Con esa, $s(kT)=g(kT)$, y lo pedido, $s(kT)=a_k$, es 1 en $k=0$ y 0 en el resto: es ${\delta }_k$.

Paso 2: es suficiente. Si $g(kT)={\delta }_k$, el término deseado vale $a_k$ y cada término de la ISI tiene $g((k-m)T)$ con $k-m\ne 0$, que es cero.

Un pulso así se llama pulso de Nyquist. No hace falta que se apague después de $T$: alcanza con que pase por cero en los instantes en que se lee a los demás. Entre esos instantes puede hacer lo que quiera. El rectángulo de un símbolo cumple sin cruzar el cero nunca, porque ya terminó; el sinc cumple cruzándolo una vez por símbolo, para siempre.

03 · El mismo criterio, en frecuencia

El canal y los filtros se describen en frecuencia, y el ancho de banda es lo que se paga. La traducción es ésta:

$$g(kT)={\delta }_k⟺\frac{1}{T}\sum _{m=-\infty }^{\infty }G(f-\frac{m}{T})=1$$

Paso 1: la antitransformada, evaluada en los instantes de símbolo.

$$g(kT)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(f)e^{j2\pi fkT}df$$

Paso 2: partir el eje en tramos de ancho $1/T$. El tramo $m$ va de $(m-\frac{1}{2})/T$ a $(m+\frac{1}{2})/T$, y cambiando $f\to f-m/T$ todos se traen al del origen:

$$g(kT)=\sum _m{\int }_{-1/2T}^{1/2T}G(f-\frac{m}{T})e^{j2\pi (f-m/T)kT}df$$

Paso 3: la exponencial no ve el corrimiento. $e^{-j2\pi mk}=1$ para $m$ y $k$ enteros, así que sale de la suma y la suma entra a la integral:

$$g(kT)={\int }_{-1/2T}^{1/2T}\left[\sum _{m}G(f-\frac{m}{T})\right]e^{j2\pi fkT}df$$

Paso 4: la ida. Si el corchete vale $T$ en todo el tramo, queda $T{\int }_{-1/2T}^{1/2T}{e}^{j2\pi fkT}df$. Para $k=0$ es $T·1/T=1$; para $k\ne 0$ la exponencial da $k$ vueltas enteras en el tramo y su integral es cero. Es ${\delta }_k$.

Paso 5: la vuelta. El corchete es periódico en $f$ con período $1/T$, y el paso 3 dice que $Tg(kT)$ son exactamente sus coeficientes de Fourier. Una función periódica queda determinada por sus coeficientes: si son $T{\delta }_k$, hay uno solo y el corchete es la constante $T$. Dividiendo por $T$ sale el criterio.

Al corchete dividido por $T$ se le dice espectro plegado: es el espectro de la secuencia $g(kT)$, el pulso muestreado a la tasa de símbolo, y es lo que dibuja E_folded_spectrum.m diezmando el pulso total por $N$. Plano si y sólo si no hay ISI. Es el aliasing de la Unidad 2 usado a favor: lo que antes había que evitar, acá tiene que sumar justo. Dos trampas de ese cálculo —plegar módulos en vez del espectro complejo, y olvidarse de que el plegado depende del instante de muestreo— están medidas en la nota del reloj corrido.

04 · El ancho de banda mínimo, y el sinc

Las réplicas están separadas $1/T$ y cada una mide $2W$. Si $W<1/(2T)$, entre dos réplicas vecinas queda un hueco donde la suma vale cero, y el criterio no se puede cumplir con ningún pulso. Ése es el piso: para mandar $1/T$ símbolos por segundo sin ISI hacen falta al menos $1/(2T)$ hertz, o dicho al revés, $1/T=2W$ como máximo.

Con $W=1/(2T)$ justo, las réplicas se tocan borde con borde sin solaparse, así que cada una tiene que ser plana por su cuenta: un rectángulo de altura $T$. Hay un único pulso de Nyquist con el ancho de banda mínimo, y es su antitransformada:

$$g(t)=\frac{\mathrm{sen}(\pi t/T)}{\pi t/T}⟷G(f)=T\text{para }|f|<\frac{1}{2T}$$

En el papel es perfecto. No se usa por dos razones, y la segunda es la que importa. La primera: dura infinito para los dos lados, así que hay que truncarlo, y truncar una pared vertical en frecuencia trae el rizado de Gibbs. La segunda es el reloj. Si el receptor muestrea en $kT+\tau$, con $\epsilon =\tau /T$, el vecino que está a $m$ símbolos ya no cae en un cero:

$$\frac{g((m+\epsilon )T)}{g(\epsilon T)}=\frac{{(-1)}^m\mathrm{sen}(\pi \epsilon )/(\pi (m+\epsilon ))}{\mathrm{sen}(\pi \epsilon )/(\pi \epsilon )}={(-1)}^m\frac{\epsilon }{m+\epsilon }$$

Y el peor caso, sumando los $K$ vecinos más cercanos de cada lado, tiene forma cerrada:

$$D(\epsilon )=\sum _{0<|m|\le K}^{\phantom{K}}\frac{\epsilon }{|m+\epsilon |}\approx 2\epsilon \ln K$$

Es la serie armónica, y no converge. Con el reloj corrido un décimo de símbolo, medido en MATLAB: 0,5882 con 10 vecinos por lado, 1,0399 con 100, 1,4995 con 1000 y 1,9599 con 10 000. Cada década suma, en el límite, $2\epsilon \ln 10=\mathrm{0,4605}$; las diferencias medidas son 0,4517, 0,4596 y 0,4604. En PAM-2 el ojo se cierra cuando $D$ llega a 1, y eso pasa al contar 82 vecinos de cada lado; con el reloj corrido la mitad, $\tau =\mathrm{0,05}T$, hacen falta 12 330. Ningún error de reloj es lo bastante chico: con suficientes símbolos atrás, el sinc junta la basura de todos. Es el Problema 5-5 del Barry–Lee: la apertura horizontal del ojo del sinc es cero.

05 · El coseno realzado

La salida es gastar un poco más que el mínimo. Con ancho de banda por encima de $1/(2T)$ las réplicas se solapan, y alcanza con que lo que le falta a una en el flanco se lo ponga la vecina. La familia que usa la cátedra, con rolloff $0\le \alpha \le 1$:

$$g(t)=\underset{\text{sinc}}{\underbrace{\left(\frac{\mathrm{sen}(\pi t/T)}{\pi t/T}\right)}}\underset{\text{ventana}}{\underbrace{\left(\frac{\cos (\alpha \pi t/T)}{1-{(2\alpha t/T)}^2}\right)}},W=\frac{1+\alpha }{2T}$$ $$G(f)=\{\begin{array}{ll}T& |f|\le \frac{1-\alpha }{2T}\\ T{\cos }^2\left[\frac{\pi T}{2\alpha }(|f|-\frac{1-\alpha }{2T})\right]& \frac{1-\alpha }{2T}<|f|\le \frac{1+\alpha }{2T}\\ 0& |f|>\frac{1+\alpha }{2T}\end{array}$$

Paso 1: los ceros son los del sinc. El primer factor se anula en todo $kT$ con $k\ne 0$. El segundo vale 1 en el origen y es finito en todos lados: su denominador se anula en $t=\pm T/(2\alpha )$, pero ahí se anula también el coseno, el límite del factor es $\pi /4$ y el pulso vale $\frac{\pi }{4}\mathrm{sinc}(1/2\alpha )$. Así que $g(kT)={\delta }_k$ para cualquier $\alpha$. Es de Nyquist por el tiempo.

Paso 2: lo mismo, por la frecuencia. Con $\alpha \le 1$ sólo se tocan dos réplicas vecinas, y basta mirar el flanco. Se escribe $f=\frac{1}{2T}-x$ con $0\le x\le \frac{\alpha }{2T}$; la réplica corrida está en $\frac{1}{2T}+x$. Metidas en el tramo del medio, los argumentos del coseno salen $\frac{\pi }{4}\mp y$ con $y=\pi Tx/(2\alpha )$, y

$${\cos }^2(\frac{\pi }{4}-y)+{\cos }^2(\frac{\pi }{4}+y)={\mathrm{sen}}^2(\frac{\pi }{4}+y)+{\cos }^2(\frac{\pi }{4}+y)=1$$

porque los ángulos son complementarios. La suma de las dos réplicas es $T$ en todo el flanco: el flanco es simétrico respecto de $1/(2T)$, y lo que baja uno lo sube el otro. De ahí el nombre: describe el espectro, un medio coseno «levantado» sobre el eje, no el pulso.

Paso 3: las colas. El sinc decae como $1/t$. La ventana, para $t$ grande, decae como $1/t^2$. El producto queda acotado por

$$|g(t)|\le \frac{1}{\pi |t/T||1-{(2\alpha t/T)}^2|}\sim \frac{T^3}{4\pi {\alpha }^2|t{|}^3}$$

A diez símbolos del centro la envolvente del sinc vale $1/(10\pi )=\mathrm{0,032}$; con $\alpha =\mathrm{0,5}$, noventa y nueve veces menos, $\mathrm{3,2}·{10}^{-4}$. Con colas $1/t^3$ la suma del peor caso va como $\sum 1/m^3$, que converge: el reloj corrido sigue costando, pero cuesta una cantidad finita, que ya no depende de cuántos símbolos hayan pasado. El precio está en la otra columna: $W$ crece de $1/(2T)$ a $1/T$ al ir de $\alpha =0$ a $\alpha =1$: un exceso de $\alpha ·100$ % sobre el mínimo. A los 32 GBd de los scripts, $\alpha =\mathrm{0,5}$ ocupa 24 GHz de cada lado en vez de 16.

De dónde sale la forma en el tiempo a partir de ese espectro, por qué cumple Nyquist con cualquier rolloff y qué pasa cuando el canal no es plano está en la nota del coseno realzado.

06 · Qué compra el rolloff

El rolloff no cambia nada con el reloj en su lugar: todos los cosenos realzados dan ISI cero en $\tau =0$. Lo que compra es tolerancia al error de muestreo. Medido en MATLAB sobre la fórmula continua, con 1000 vecinos de cada lado, el peor caso $D$ para tres corrimientos y el ancho del ojo de PAM-2 —el intervalo de instantes en el que $D<1$—:

En rojo, donde el ojo ya está cerrado. La fila del sinc va en gris porque no es un número: con 1000 vecinos da esto, con más da más, y el ancho del ojo sigue bajando —0,337 T con 10 vecinos, 0,192 T con 100, 0,134 T con 1000, 0,102 T con 10 000— hacia cero. Las demás filas sí son propiedades del pulso: con $\alpha =\mathrm{0,5}$ el ancho del ojo da 0,7855 T con 10 vecinos y 0,7842 T con 100 y con 1000. La última fila tiene forma cerrada: con $\alpha =1$ el pulso tiene ceros además en $\pm 3T/2,\pm 5T/2,\dots$ y vale $1/2$ en $\pm T/2$, así que a medio símbolo el vecino iguala al propio y el ojo se cierra justo ahí: ancho $T$.

Dos lecturas. La primera: el rolloff se paga lineal en banda y rinde mucho al principio. De 0 a 0,25 el ancho del ojo pasa de tender a cero a más de medio símbolo, con un 25 % más de banda. La segunda: con $\alpha =\mathrm{0,1}$ un cuarto de símbolo de error ya cierra el ojo de PAM-2, y con $\alpha =\mathrm{0,25}$ no. Los sistemas reales andan entre 0,1 y 0,5; los scripts de la cátedra usan 0,5. En $\tau =T/4$ y $\alpha =\mathrm{0,5}$ el símbolo propio baja a 0,8872 y el vecino más grande queda a −10,58 dB de él, los mismos números que da el coseno realzado con el reloj corrido una muestra.

07 · La raíz, repartida entre transmisor y receptor

Con filtro de recepción, lo que tiene que ser de Nyquist es el pulso total, no el del transmisor. En la notación de la filmina:

$$p(t)=g(t)\ast b(t)\ast f(t),\sum _{m}P(f-\frac{m}{T})=T$$

El receptor quiere, además, la mayor relación señal a ruido en el instante de decisión, y eso lo da el filtro adaptado, $f(t)=g(-t)$ para un pulso real. Con canal ideal, $b=\delta$, el producto en frecuencia es un módulo al cuadrado:

$$P(f)=G(f)G^{\ast }(f)=|G(f){|}^2⟹G(f)=\sqrt{G_{\mathrm{RC}}(f)}$$

Si el total tiene que ser un coseno realzado, al transmisor no le queda otra que mandar su raíz, y el receptor pone la otra mitad. En el tiempo, la raíz de coseno realzado que arma root_raised_cosine.m:

$$g_{\mathrm{RRC}}(t)=\frac{\mathrm{sen}(\pi (1-\alpha )t/T)+4\alpha (t/T)\cos (\pi (1+\alpha )t/T)}{\pi (t/T)(1-{(4\alpha t/T)}^2)},g_{\mathrm{RRC}}(0)=1+\alpha (\frac{4}{\pi }-1)$$

El que cumple Nyquist es el producto, no cada factor. La raíz sola deja un 9,335 % de interferencia en el vecino a $\alpha =\mathrm{0,5}$, y no es un resto de truncar: por qué, y por qué el ojo a la salida del transmisor sale cerrado a propósito, está en la nota del pulso que llega. El par, con los 101 taps de la cátedra, baja a $\mathrm{2,3}·{10}^{-4}$, que es lo que cuesta cortar las colas. Y en cuanto el canal deja de ser un impulso el filtro adaptado se adapta a $g\ast b$, el producto pasa a ser $|G{|}^2|B{|}^2$, y nada obliga a eso a ser de Nyquist: es la nota del filtro adaptado.

08 · El diagrama de ojo

Se corta la señal a la salida del filtro de recepción en tramos de dos símbolos, sincronizados con el reloj de símbolo, y se dibujan todos encima. Es lo que muestra un osciloscopio disparado con ese reloj. Cada traza es un patrón distinto de vecinos; si el pulso es de Nyquist, en el instante de muestreo todas pasan por los niveles exactos y el ojo queda abierto. La filmina lee tres cosas: la apertura vertical (a), inmunidad al ruido; la horizontal (b), inmunidad al error de fase del reloj; y la pendiente de las trazas (c), sensibilidad al jitter.

Las tres salen de una cuenta. Paso 1: muestreando corrido $\tau$, la muestra es

$$y(kT+\tau )=a_{k}p(\tau )+\sum _{j\ne 0}{a}_{k-j}p(\tau +jT)$$

Paso 2: en PAM-2, con $a_k=+1$, la traza más baja es la de los vecinos que restan todo lo que pueden, $a_{k-j}=-\mathrm{signo}p(\tau +jT)$. Paso 3: con $a_k=-1$ es la misma cuenta con el signo cambiado. La distancia entre las dos es la apertura vertical:

$$\text{apertura}(\tau )=2(p(\tau )-\sum _{j\ne 0}|p(\tau +jT)|)=2p(\tau )(1-D(\tau ))$$

(a) es esta cuenta en $\tau =0$; (b) es el ancho del intervalo de $\tau$ donde es positiva, la última columna de la tabla; (c) es su pendiente. Un detalle que el dibujo esconde: las trazas de un ojo simulado salen de datos al azar, y el peor patrón de $2K$ vecinos aparece con probabilidad $2^{-2K}$. Con colas cortas no importa, porque los vecinos lejanos no pesan. Con el sinc es justo al revés: el ojo dibujado parece abierto y el de peor caso no existe.

Con el reloj en su lugar no hay nada que ver: el ojo está abierto entero para cualquier rolloff, y la curva de abajo toca 2 en el centro. Al correr el instante, el ojo empieza a pagar, y cuánto paga lo decide $\alpha$. Lo que conviene probar es bajar el rolloff a 0 con el reloj corrido y comparar las dos lecturas de peor caso: con cualquier $\alpha >0$ contar 10 vecinos o 1000 da casi lo mismo, y con el sinc no. La curva de abajo se angosta hasta una espina, mientras las trazas de arriba, que salen de datos al azar, siguen pareciendo un ojo.

09 · El análisis en MATLAB

La cátedra arma los pulsos con sus funciones, raised_cosine.m y root_raised_cosine.m. MATLAB trae rcosdesign, que hace lo mismo con otra convención, y conviene saber pasar de una a otra. El análisis completo, con los parámetros de B_basic_tx.m; lo que figura como comentario es la salida real de correrlo en R2026a, con los scripts de la clase en el path.

%% 1. El coseno realzado con rcosdesign: alfa = 0.5, 25 símbolos, N = 4
BR = 32e9;  N = 4;  fs = N*BR;             % los parámetros de B_basic_tx.m
alfa = 0.5;  span = 25;                    % span en SÍMBOLOS, no en taps
g = rcosdesign(alfa, span, N, 'normal');   % span*N + 1 = 101 taps
c = (numel(g) + 1)/2;                      % el centro, t = 0
fprintf('%d taps, energia %.4f, pico %.4f\n', numel(g), sum(g.^2), g(c))
% 101 taps, energia 1.0000, pico 0.5345

%% 2. Los ceros en los múltiplos de T: cada N muestras desde el centro
k = [-12:-1, 1:12];
fprintf('max |g(kT)| / g(0) = %.1e\n', max(abs(g(c + N*k))) / g(c))
% max |g(kT)| / g(0) = 0.0e+00

%% 3. Contra la función de la cátedra (normaliza a suma 1, no a energía 1)
h = raised_cosine(BR/2, fs, alfa, 101, 0);
fprintf('max |g/g(0) - h/h(0)| = %.1e\n', max(abs(g/g(c) - h/h(c))))
% max |g/g(0) - h/h(0)| = 3.0e-05

%% 4. ISI con el instante corrido: N = 20 para poder correr de a T/20
N20 = 20;  g20 = rcosdesign(alfa, 40, N20, 'normal');  c20 = (numel(g20) + 1)/2;
for d = [0 1 2 5]                          % corrimiento de d muestras: tau = d*T/20
    m = c20 + d;                           % la muestra que lee el símbolo
    i = mod(m-1, N20)+1 : N20 : numel(g20); % todas las del mismo peine...
    v = g20(i(i ~= m));                    % ...menos la propia, por índice
    fprintf('tau = %.2f T: g = %.4f, mayor vecino %6.2f dB, peor caso %.4f\n', ...
        d/N20, g20(m)/g20(c20), 20*log10(max(abs(v))/g20(m)), sum(abs(v))/g20(m))
end
% tau = 0.00 T: g = 1.0000, mayor vecino   -Inf dB, peor caso 0.0000
% tau = 0.05 T: g = 0.9953, mayor vecino -27.46 dB, peor caso 0.0986
% tau = 0.10 T: g = 0.9813, mayor vecino -20.75 dB, peor caso 0.2003
% tau = 0.25 T: g = 0.8872, mayor vecino -10.58 dB, peor caso 0.5482

%% 5. El sinc (alfa = 0): más largo, peor
for sp = [40 400]
    s = rcosdesign(0, sp, N20, 'normal');  cs = (numel(s) + 1)/2;  m = cs + 2;   % tau = 0.1 T
    i = mod(m-1, N20)+1 : N20 : numel(s);  v = s(i(i ~= m));
    fprintf('sinc, span %3d: peor caso con tau = 0.1 T: %.4f\n', sp, sum(abs(v))/s(m))
end
% sinc, span  40: peor caso con tau = 0.1 T: 0.7170
% sinc, span 400: peor caso con tau = 0.1 T: 1.1775

%% 6. La raíz repartida: RRC en el Tx y RRC en el Rx
r = rcosdesign(alfa, span, N, 'sqrt');
fprintf('sin cuarto argumento da la raiz: %d\n', isequal(rcosdesign(alfa, span, N), r))
p = conv(r, r);  cp = (numel(p) + 1)/2;
fprintf('RRC sola:  ISI %.3f %%\n', 100*max(abs(r(c + N*k)))/r(c))
fprintf('RRC * RRC: ISI %.1e\n', max(abs(p(cp + N*[-25:-1, 1:25])))/p(cp))
% sin cuarto argumento da la raiz: 1
% RRC sola:  ISI 9.335 %
% RRC * RRC: ISI 2.3e-04

%% 7. El ojo, como en B_basic_tx.m
rng(1);  a = 2*randi([0 1], 2000, 1) - 1;  % PAM-2
y = upfirdn(a, g, N);                      % sobremuestrea y filtra de una vez
retardo = span*N/2;                        % 50 muestras: el pico del símbolo 1
eyediagram(y(retardo + 1 + N*100 + (0:4000)), 2*N, 2, N)

Los bloques 4 y 5 son las dos columnas de la sección 06 medidas con el filtro que se implementa: con $\alpha =\mathrm{0,5}$, 40 símbolos de filtro ya dan el peor caso de la fórmula continua con 1000 vecinos a una unidad de la cuarta cifra (0,2003 contra 0,2004). Con el sinc, alargar el filtro de 40 a 400 símbolos sube la ISI de 0,717 a 1,178: un filtro más largo es una aproximación mejor a un pulso peor. Lo que muerde:

• Sin cuarto argumento, rcosdesign devuelve la raíz. El valor por omisión de la forma es 'sqrt', no 'normal': el bloque 6 lo comprueba con isequal. Olvidarlo en el bloque 4 da, con el reloj en su lugar, un vecino a −20,60 dB, que es el 9,335 % de la raíz sola, y parece un defecto del coseno realzado.
• span es en símbolos. El filtro sale de span*N + 1 taps, y span*N tiene que ser par: rcosdesign(0.5, 5, 3) tira error. Con span = 25 y $N=4$ salen los 101 taps de la cátedra.
• La normalización es otra. rcosdesign deja energía 1, así que el pico del coseno realzado vale 0,5345 y los niveles del ojo son $\pm \mathrm{0,53}$, no $\pm 1$. Las funciones de la cátedra normalizan a suma 1. Para comparar formas hay que dividir por el pico, como el bloque 3.
• El + 0.0001 de la cátedra. raised_cosine.m le suma ${10}^{-4}$ al rolloff para que ninguna muestra caiga en el $0/0$ de $t=\pm T/(2\alpha )$; rcosdesign pone el límite exacto. La diferencia de forma, $\mathrm{3,0}·{10}^{-5}$, es ese corrimiento y nada más. Y raised_cosine recibe BR/2, no BR.
• La propia se excluye por índice. El peine de un corrimiento son las muestras mod(m-1, N)+1 : N : end, y la del símbolo se saca por su posición. Sacarla por valor falla con un pulso que tiene dos muestras iguales al pico, que es el peor pulso posible.
• eyediagram es del Communications Toolbox. El segundo argumento son las muestras por traza, 2*N para dos símbolos; el tercero, el período del eje; el cuarto corre las trazas: con el vector arrancando en un instante de símbolo, N lo deja en el centro. Las primeras muestras son transitorio del filtro, y por eso se arranca cien símbolos adentro, igual que el yup(500:5000) de la clase.

Para tener a mano

1. $s(kT)=a_{k}g(0)+{\sum }_{m\ne k}{a}_{m}g(kT-mT)$: el segundo término es la ISI. Es determinística y proporcional a la señal; más potencia no la baja.
2. Criterio de Nyquist: $g(kT)={\delta }_k$ si y sólo si $\frac{1}{T}{\sum }_{m}G(f-m/T)=1$. Sale de partir la antitransformada en tramos de $1/T$. Con receptor, se le pide al pulso total $p=g\ast b\ast f$.
3. Ancho de banda mínimo $1/(2T)$, con un único pulso: el sinc. Sus colas caen como $1/t$ y con el reloj corrido $\epsilon$ el peor caso es ${\sum }_m\epsilon /|m+\epsilon |$, que diverge: su ojo tiene ancho cero.
4. Coseno realzado: sinc por una ventana que no toca los ceros; $W=(1+\alpha )/(2T)$; colas $1/t^3$. Cumple en frecuencia porque el flanco es simétrico respecto de $1/(2T)$.
5. El rolloff compra tolerancia al reloj: ancho del ojo de PAM-2 de 0,56 T con $\alpha =\mathrm{0,25}$, 0,78 T con 0,5 y $T$ con 1. Con 0,5 y el reloj un décimo de símbolo corrido, el peor caso es 0,20.
6. La raíz en el transmisor y su adaptado en el receptor dan un coseno realzado total: ISI cero y máxima SNR a la vez. Cumple el producto, no cada mitad.
7. Apertura vertical del ojo de PAM-2: $2(p(\tau )-{\sum }_{j\ne 0}|p(\tau +jT)|)$. La horizontal es donde eso es positivo.
8. rcosdesign(beta, span, sps, forma): span en símbolos, span*sps par, energía 1, y la forma por omisión es 'sqrt'.