Práctico 5 · Ejercicio 9 · reducir a una sola resistencia, desarmar para encontrar cada corriente, y un último inciso donde el paralelo no puede dar lo que se le pide
Encuentre la resistencia equivalente del circuito mostrado en la figura (y grafique el circuito correspondiente).
(a) ¿Cuál es la corriente que circula por cada resistencia?
(b) ¿Cuál es la potencia total entregada por la batería a cada resistencia y al conjunto total?
(c) Si quisiéramos tener un circuito con resistencias solo en paralelo que mantenga la potencia total entregada, ¿cuál debería ser el valor de la resistencia restante si deseamos mantener la de 0.1 Ω?
Recuerde que: P = I²R, donde P es la potencia entregada e I es la corriente que circula por la resistencia R.
Qué está en serie y qué en paralelo. Las de 3 Ω y 1 Ω tienen las dos puntas en los mismos dos nodos, los puntos negros de la figura: están en paralelo. La de 2 Ω y la de 4 Ω no: la corriente que sale de la batería pasa entera por la de 2 Ω, llega al nodo de arriba, se reparte entre las dos ramas, se vuelve a juntar abajo y pasa entera por la de 4 Ω. Respecto del par, las dos están en serie.
Qué esperar. El paralelo de 3 Ω y 1 Ω es menor que la menor, así que vale menos de 1 Ω, y el total tiene que andar entre 6 y 7 Ω. Con 18 V, la corriente de la batería es algo menos de 3 A. En el par, la de 1 Ω, el camino fácil, se lleva la mayor parte.
El plan. Reducir hasta una sola resistencia, sacar la corriente de la batería, y desarmar repartiendo: la corriente común en lo que está en serie, la tensión común en lo que está en paralelo. Las potencias salen al final, cada una con la corriente de su resistencia.
La resistencia equivalente. Primero el par, producto sobre suma:
Ese 0,75 Ω queda en serie con las otras dos, y el circuito se vuelve una sola vuelta:
El enunciado pide graficar el circuito equivalente. Son dos pasos: el par reemplazado por su equivalente, y después todo junto.
(a) Las corrientes. De la batería sale
y ahora se desarma. En el segundo dibujo de arriba, los 2,67 A pasan por las tres en serie: por la de 2 Ω y por la de 4 Ω circulan 2,67 A. En el 0,75 Ω, esa corriente produce una caída de
y esos 2 V son la tensión de cada rama del par, porque están en paralelo. Cada una toma lo suyo:
con el subíndice que dice de qué resistencia es. La de 1 Ω se lleva tres cuartos de la corriente, como el divisor de corriente anticipa.
(b) Las potencias. Con y la corriente de cada una:
| resistencia | corriente | tensión | potencia |
|---|---|---|---|
| 2 Ω | 2,67 A | 5,33 V | 14,2 W |
| 3 Ω | 0,667 A | 2,00 V | 1,33 W |
| 1 Ω | 2,00 A | 2,00 V | 4,00 W |
| 4 Ω | 2,67 A | 10,67 V | 28,4 W |
| total | 2,67 A | 18,0 V | 48,0 W |
La batería entrega W, y los cuatro números de la columna suman eso. La de 4 Ω es la que más calienta: lleva la corriente entera y es la más grande. La de 3 Ω es la que menos: tiene poca tensión y, con ella, poca corriente.
(c) El circuito sólo en paralelo. El inciso pide conservar «la de 0.1 Ω», y en la figura no hay ninguna resistencia de 0,1 Ω. La lectura que tomamos, y es un supuesto: la batería sigue siendo la de 18 V, el circuito nuevo son dos resistencias en paralelo conectadas directo a ella, una de 0,1 Ω y otra a encontrar, y la potencia total tiene que seguir siendo 48 W.
Con la tensión fija, la potencia es , así que conservar los 48 W es conservar la resistencia equivalente:
Y ahí está el problema. Un paralelo es siempre menor que la menor de sus ramas: con una rama de 0,1 Ω, el conjunto vale menos de 0,1 Ω, nunca 6,75. La cuenta lo dice a su manera:
Da Ω, y una resistencia negativa no existe. No hay ningún valor que funcione: la de 0,1 Ω sola, con los 18 V entre sus puntas, ya disipa W, y cualquier rama que se le agregue en paralelo suma más.
Lo mismo pasa con cualquiera de las cuatro resistencias de la figura: la mayor es de 4 Ω, menos que 6,75. Para que un paralelo disipe 48 W con 18 V, cada rama tiene que ser mayor que 6,75 Ω. Si la que se conserva fuera, por ejemplo, de 10 Ω, la otra tendría que ser de 20,8 Ω.
Las tensiones de la vuelta. Recorriendo desde el borne + por la de 2 Ω, el par y la de 4 Ω: V. Toda la fem se reparte, ni más ni menos.
Las corrientes del nodo. Al nodo de arriba llegan 2,67 A y salen A.
La potencia, por tres caminos. Sumando las cuatro, 48,0 W. Con lo que entrega la batería, , 48 W. Con , 48 W.
Lo que se esperaba. El total cayó entre 6 y 7 Ω, la corriente quedó algo abajo de 3 A, y la de 1 Ω se llevó la mayor parte del par.
Reducir y desarmar, con un dibujo por paso. El equivalente que se pide graficar no es un trámite: en el camino de vuelta, cada dibujo dice qué se reparte. Las que quedaron en serie con la batería llevan su corriente; el par recibe una tensión, , y la reparte en corrientes.
La potencia de cada una, con la corriente de cada una. con la corriente de la batería sólo vale para las que la llevan entera. Y la suma de las potencias tiene que dar lo que entrega la batería: es el chequeo más barato que hay.
Antes de despejar, preguntar si se puede. En el inciso (c), «menor que la menor» decide sin cuentas que ningún paralelo con una rama de 0,1 Ω llega a 6,75 Ω. En serie sí alcanzaría: con 6,65 Ω más se llega. Las dos reglas, con su porqué, están en la nota de las resistencias en serie y en paralelo, con un widget para armar y desarmar.