La resistencia que falta

01 · El enunciado

La corriente en un circuito sencillo en serie de resistencia R₁ es de 5 A. Cuando se intercala una resistencia adicional R₂ de 2 Ω, la corriente se reduce a 4 A. ¿Cuál es la resistencia del circuito original R₁?

02 · Antes de hacer cuentas

Qué falta. El enunciado no dice qué fuente alimenta el circuito. Parece que falta un dato, pero no: lo que importa es que la fuente es la misma antes y después. Esa es la condición que se usa, y vale tanto como un número.

Qué modelo. Una sola vuelta, con todo en serie: la corriente es la misma en todo el circuito y la resistencia total es la suma. Para una fem ideal, la que el enunciado da por sobreentendida, $ε = I R_{total}$ en cada caso.

Qué esperar. Con la tensión fija, la corriente es inversa a la resistencia total. La corriente pasó de 5 a 4 A, así que la resistencia total pasó a ser $5 / 4$ de lo que era: creció un cuarto. Ese cuarto son los 2 Ω agregados, y entonces el circuito original tenía cuatro veces eso.

03 · La resolución

Paso 1: la ecuación de cada circuito. La misma fuente, con las dos corrientes:

\begin{matrix} ε = 5 A \cdot R_{1} \\ ε = 4 A \cdot (R_{1} + 2 Ω) \end{matrix}

Paso 2: igualar. Son dos ecuaciones con dos incógnitas, $ε$ y $R_{1}$ . Igualando los dos lados derechos se va $ε$ :

5 R_{1} = 4 R_{1} + 8 Ω \Rightarrow R_{1} = 8 Ω

Paso 3, de yapa: la fuente. Con $R_{1}$ en la primera ecuación, $ε = 5 \cdot 8 = 40$ V. El enunciado no la pedía, pero sale gratis y sirve para el chequeo.

En general, si al agregar $R_{2}$ la corriente pasa de $I_{1}$ a $I_{2}$ , la misma cuenta da

R_{1} = R_{2} \frac{I_{2}}{I_{1} - I_{2}} = 2 Ω \cdot \frac{4}{1} = 8 Ω

04 · El chequeo

Las corrientes. Con 40 V: $40 / 8 = 5$ A sola, y $40 / 10 = 4$ A con los 2 Ω agregados. Las dos del enunciado.

Las unidades. En la fórmula general, $I_{2} / (I_{1} - I_{2})$ es un cociente de amperes, sin unidades, así que $R_{1}$ sale en ohms.

Los casos límite. Si la corriente casi no hubiera bajado, $I_{2} \to I_{1}$ , la fórmula da $R_{1}$ enorme: tiene sentido, porque 2 Ω de más sólo pasan inadvertidos al lado de una resistencia muy grande. Si hubiera bajado a la mitad, $R_{1} = R_{2}$ : duplicar la resistencia total parte la corriente en dos.

El supuesto. Todo esto pide una fuente ideal. Si la fuente tuviera una resistencia interna $r$ , estaría en serie con todo lo demás, y lo que la cuenta mide es la resistencia total del circuito original, $R_{1} + r = 8$ Ω. Con los datos del enunciado no se pueden separar.

05 · Lo que se lleva

Un dato puede ser una igualdad. Cuando un ejercicio describe el mismo circuito en dos estados y no da la fuente, la fuente es la incógnita que se cancela: se escribe $ε = I R_{eq}$ para cada estado y se igualan. Dos estados, dos ecuaciones, dos incógnitas.

Las proporciones van antes que el álgebra. Con la tensión fija, $I R_{eq}$ no cambia: si la corriente baja un 20 %, la resistencia total sube un 25 %. Dicho así, el 8 Ω sale de cabeza, y el álgebra queda como chequeo.

La fem, la resistencia interna y la ley de Ohm están en la nota de la corriente y la ley de Ohm.