La corriente y la ley de Ohm

En electrostática, adentro de un conductor el campo es cero y las cargas están quietas. Para que se muevan hace falta mantener una diferencia de potencial entre las dos puntas del cable: entonces hay campo adentro, las cargas caen hacia el potencial bajo, y algo tiene que volver a subirlas para que la cosa no se termine. Ese algo es la batería, y todo circuito de corriente continua es esta vuelta: la batería sube la carga, la carga baja por el resto del circuito y entrega en el camino la energía que la batería le dio.

01 · La corriente: carga por segundo

La corriente que pasa por un cable es cuánta carga cruza una sección del cable por unidad de tiempo:

I = \frac{d Q}{d t}

Se mide en amperes: $1 A = 1 C/s$ . Una corriente de 2 A es un coulomb cada medio segundo pasando por cualquier corte del cable.

El sentido. En un metal lo que se mueve son electrones, que van del potencial bajo al alto. Pero por convención la corriente se dibuja en el sentido en que se moverían cargas positivas: afuera de la batería, del borne + al −, del potencial alto al bajo. Es la corriente convencional, y no cambia ningún resultado: una carga negativa que va hacia la izquierda transporta la misma carga neta que una positiva que va hacia la derecha.

La carga no se gasta. En corriente continua la carga no se amontona en ningún lado, así que lo que entra a un tramo de cable sale por el otro extremo. En un circuito de una sola vuelta, la corriente es la misma en todos los puntos: antes y después de cada resistencia, adentro y afuera de la batería. Lo que se gasta a lo largo del recorrido es energía, no corriente.

02 · La resistencia y la ley de Ohm

Para empujar carga por un material hay que mantener una diferencia de potencial $V$ entre sus puntas. La resistencia de ese tramo es cuánta diferencia de potencial hace falta por cada ampere que pasa:

R = \frac{V}{I}

Se mide en ohms, $1 Ω = 1 V/A$ . Una resistencia de 4 Ω pide 4 V por cada ampere: con 8 V entre sus puntas pasan 2 A.

Esa fórmula es una definición y vale para cualquier cosa. La ley de Ohm es la observación de que, para un metal a temperatura constante, $R$ no depende de cuánta tensión se le ponga: si se duplica $V$ , se duplica $I$ . Con eso, $V = I R$ es una recta y $R$ es una propiedad del objeto, que se escribe en el dibujo del circuito al lado de su símbolo. En el práctico, todas las resistencias son de este tipo.

Adentro de una resistencia el potencial baja. La carga que la cruza en el sentido de la corriente pierde $I R$ voltios de potencial, como el agua que baja por un caño con rozamiento pierde altura. Por eso se habla de la caída de tensión en una resistencia: es $I R$ , y va del lado por donde entra la corriente (alto) al lado por donde sale (bajo).

De qué depende R. Un cable de largo $L$ y sección $A$ tiene

R = \frac{ρ L}{A}

con $ρ$ la resistividad, que depende sólo del material. Más largo, más resistencia: la carga tiene más camino que recorrer frenada. Más grueso, menos: hay más lugar por donde pasar. Un metro de cable de cobre de 1 mm² ( $ρ = 1,72 \cdot 10^{- 8}$ Ω·m) tiene 0,0172 Ω: por eso los cables de un circuito se dibujan sin resistencia. El mismo alambre de nicromo, cien veces más resistivo, tiene 1 Ω, y con 2,5 m de ese alambre se arma la estufa del Ejercicio 10. La proporcionalidad con $L$ es la que se usa ahí: cortar el alambre por la mitad deja dos de $R / 2$ .

03 · La batería, una bomba de carga

Afuera de la batería la carga positiva baja de potencial: va del borne + al −. Adentro tiene que hacer lo contrario, subir del − al +, y eso no lo hace el campo eléctrico, que la empuja hacia abajo: lo hace la química de la pila, como una bomba que sube agua a un tanque. El trabajo que hace la batería por cada coulomb que sube es su fuerza electromotriz, o fem, $ε$ . No es una fuerza: es energía por unidad de carga, y se mide en voltios.

La batería ideal. Si adentro no hay nada que frene la carga, la diferencia de potencial entre los bornes es $ε$ siempre, pase la corriente que pase. Es la que se usa cuando el enunciado no dice otra cosa.

La batería real. Adentro la carga también cruza material, y ese material tiene una resistencia $r$ , la resistencia interna. Se dibuja como una batería ideal con una resistencia chica en serie, metidas las dos en la misma caja:

Recorriendo la batería de − a +, la carga sube $ε$ y baja $I r$ en la resistencia interna. Lo que queda entre los bornes es la tensión en bornes:

V_{a b} = ε - I r

Tres casos para tener a mano. Sin nada conectado no pasa corriente y $V_{a b} = ε$ : por eso un voltímetro en una pila suelta mide la fem. Con una carga $R$ , la misma corriente cruza $r$ y $R$ , y la fem tiene que alcanzar para las dos caídas:

ε = I r + I R \Rightarrow I = \frac{ε}{R + r}

Y en cortocircuito, con un cable entre los bornes ( $R = 0$ ), la corriente es la máxima que la batería puede dar, $ε / r$ , y la tensión en bornes cae a cero.

Un ejemplo con números redondos: una batería de 12 V con $r = 2$ Ω, que es mucho para una de auto pero deja ver el efecto, conectada a una carga de 4 Ω. La corriente es $12 / 6 = 2$ A; adentro se pierden $2 \cdot 2 = 4$ V, y en los bornes quedan 8 V de los 12. En cortocircuito daría 6 A.

04 · La potencia: tres fórmulas y cuál usar

Cada coulomb que baja una diferencia de potencial $V$ entrega $V$ joules; por cada segundo bajan $I$ coulombs. La energía que un elemento recibe por segundo, su potencia, es el producto:

P = V I

Se mide en watts, $1 W = 1 J/s = 1 V·A$ . En una resistencia esa energía se vuelve calor, y con la ley de Ohm se puede escribir de otras dos maneras, reemplazando $V$ o $I$ :

P = V I = I^{2} R = \frac{V^{2}}{R}

Las tres son la misma cantidad. Pero leídas como «qué pasa si cambio $R$ », dicen cosas opuestas: la del medio dice que más resistencia da más potencia, la de la derecha dice que menos. Las dos tienen razón, cada una en su caso, y la que se usa es la que tiene fijo lo que de verdad está fijo:

Si la corriente está fija, como entre resistencias en serie, que comparten la misma $I$ : $P = I^{2} R$ . La que más resistencia tiene es la que más calienta.
Si la tensión está fija, como en algo enchufado a una fuente ideal, o en resistencias en paralelo: $P = V^{2} / R$ . La que menos resistencia tiene es la que más calienta: deja pasar más corriente con la misma tensión.

Es el ejercicio de la estufa: conectada a 50 V, una resistencia más chica calienta más, no menos.

La cuenta de la batería. La fem hace un trabajo $ε$ por coulomb, así que la batería entrega $ε I$ . Multiplicando $ε = I r + I R$ por $I$ se ve adónde va:

ε I = I^{2} r + I^{2} R

una parte calienta la propia batería y el resto llega a la carga. En el ejemplo de 12 V: 24 W generados, 8 W perdidos adentro, 16 W en la carga de 4 Ω.

Arranca con una carga de 16 Ω en la batería de 12 V y 2 Ω. Antes de mover nada, apostá: si bajás $R$ , ¿la carga recibe más potencia o menos? Después bajala de a poco hasta cero, mirando el punto azul y la barra de abajo.

Al principio sube: con menos resistencia pasa más corriente, y la tensión en bornes todavía está cerca de los 12 V. Pero cada ampere de más se come $r$ voltios adentro de la batería, y llega un punto en que la tensión que queda cae más rápido de lo que crece la corriente. El máximo está justo en $R = r$ : con 2 Ω, 3 A y 6 V en bornes, la carga recibe 18 W. Ahí la batería pierde adentro exactamente lo mismo que entrega, y sólo la mitad de lo que genera llega a la carga. En $R = 0$ , con 6 A, la batería genera 72 W y se los queda todos.

La cuenta que lo confirma: con $I = ε / (R + r)$ , la potencia en la carga es

P (R) = I^{2} R = \frac{ε^{2} R}{{(R + r)}^{2}}

que vale cero en $R = 0$ y tiende a cero para $R$ muy grande; derivando e igualando a cero, el máximo cae en $R = r$ y vale $ε^{2} / 4 r$ . Probá otra $r$ : el pico se corre con ella. Con una batería ideal, $r \to 0$ , el pico se va a $R = 0$ y crece sin límite: es $V^{2} / R$ con $V$ fija, la situación de la estufa.

05 · En los ejercicios

En el Práctico 5 esto aparece en tres ejercicios seguidos, cada uno con una de las ideas de arriba.

La misma fuente, dos corrientes. En la resistencia que falta, el Ejercicio 8, la fuente no cambia al agregar una resistencia, así que $ε = I R_{total}$ se escribe dos veces y se iguala. Lo que se supone sin decirlo es que la fuente es ideal.

La potencia de cada resistencia. En el circuito de cuatro resistencias, el Ejercicio 9, primero se encuentran las corrientes y después cada potencia sale de $I^{2} R$ , con la corriente de esa resistencia. La suma tiene que dar $ε I$ , lo que entrega la batería.

Qué está fijo. En la estufa cortada al medio, el Ejercicio 10, la resistividad dice que cada mitad tiene $R / 2$ , y la potencia se calcula con $V^{2} / R$ porque la fuente fija la tensión.

Y la resistencia interna vuelve en el Ejercicio 13, donde una batería de 12 V con 1 Ω adentro carga dos capacitores: ese ohm se suma a la resistencia del circuito como una resistencia más en serie.

06 · Los errores típicos

Elegir la fórmula de potencia por costumbre. $I^{2} R$ y $V^{2} / R$ dan el mismo número si se les pone la $I$ y la $V$ correctas. El error es razonar «si baja $R$ , baja $I^{2} R$ » olvidando que $I$ también cambia.
Confundir fem con tensión en bornes. Coinciden sólo si no pasa corriente o si la batería es ideal. Con corriente, en los bornes hay $ε - I r$ .
Creer que la corriente se gasta. Por una vuelta sin ramas pasa la misma corriente en todos lados. Lo que baja de resistencia en resistencia es el potencial.
Pelearse con el sentido. La corriente convencional va de + a − por afuera de la batería. Si en una cuenta sale negativa, es que va al revés de como se la dibujó, y nada más.
Tomar $R = V / I$ como la ley de Ohm. Eso es la definición de resistencia. La ley es que, para estos materiales, ese cociente no cambia con la tensión.

Para tener a mano

$I = d Q / d t$ , en amperes (C/s). Sentido convencional: el de las cargas positivas, de + a − por afuera. En una vuelta sin ramas, la misma en todos lados.
$V = I R$ , con $R$ constante (ley de Ohm). En una resistencia el potencial cae $I R$ en el sentido de la corriente.
$R = ρ L / A$ : proporcional al largo, inversa a la sección.
Batería real: $V_{a b} = ε - I r$ ; con una carga, $I = ε / (R + r)$ . La carga recibe el máximo, $ε^{2} / 4 r$ , cuando $R = r$ .
$P = V I = I^{2} R = V^{2} / R$ . Corriente fija: más $R$ , más potencia. Tensión fija: menos $R$ , más potencia.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2, capítulo 25, «Corriente, resistencia y fuerza electromotriz»: la corriente en la sección 25.1, la resistividad en la 25.2, la resistencia y la ley de Ohm en la 25.3, la fem y la resistencia interna en la 25.4, y la potencia en la 25.5. El problema 25.78 pide demostrar que la carga recibe el máximo cuando $R = r$ . Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 26, «Corriente y resistencia», con la potencia en la sección 26.6; y la sección 27.1, «Fuerza electromotriz», donde el ejemplo 27.2 hace la derivada del máximo con la misma batería de 12 V y 2 Ω.