Gauss en cinco casos

Es el ejercicio que arma el repertorio: los cinco resultados se usan después sin volver a deducirlos, y el problema de Gauss del parcial —una esfera con una densidad que cambia con el radio— es el caso (c) con otra integral. Las herramientas están en El flujo y la ley de Gauss.

01 · Antes de hacer cuentas

Las densidades. Cuando la carga está repartida, se dice cuánta hay por unidad de largo, de área o de volumen. La densidad lineal $\lambda$ es carga por metro de línea, en C/m; la superficial $\sigma$, carga por metro cuadrado de superficie, en C/m²; la volumétrica $\rho$, carga por metro cúbico, en C/m³. «Uniforme» quiere decir que la densidad es la misma en todos lados.

Qué esperamos. En (a) tiene que volver la ley de Coulomb: si no, algo está mal. En (b) y (c), desde afuera, una carga repartida con simetría esférica no se distingue de una carga puntual en el centro: afuera los dos van a dar $kq/r^2$. Adentro es donde difieren. En (d) y (e) se puede adivinar la forma con las unidades. $\lambda /{\epsilon }_0$ está en N·m/C, así que para llegar a N/C hay que dividir por una longitud, y la única que hay es $r$: la línea tiene que dar algo como $1/r$. $\sigma /{\epsilon }_0$ ya está en N/C, y no hay ninguna otra longitud en el problema: el campo de una lámina infinita no puede depender de la distancia.

Qué es la llave. En los cinco casos la carga tiene una simetría —esférica, cilíndrica o plana— que fija la dirección del campo y lo hace constante sobre una superficie elegida a propósito. Eso es lo que hay que ver primero; la cuenta viene sola.

02 · El método, una vez

Los tres pasos de siempre. Uno: una superficie gaussiana con la forma de la simetría, que pase por el punto donde se quiere el campo. Dos: argumentar que en la parte de la superficie que cuenta el campo es constante y la cruza de frente, y que en el resto pasa rasante. Así el flujo es $E·A$. Tres: la ley de Gauss, y despejar:

$$E(r)=\frac{q_{\text{enc}}(r)}{{\epsilon }_{0}A(r)}$$

El trabajo de verdad está en $q_{\text{enc}}(r)$: la carga que queda adentro de la superficie de radio $r$, que no siempre es toda. Si la carga está en volumen, se suma $\rho$ por cada pedacito de volumen encerrado. Con simetría esférica conviene cortar la esfera en cáscaras finas: una de radio $r^{\prime }$ y espesor $d{r}^{\prime }$ tiene volumen $dV=4\pi r^{\prime 2}d{r}^{\prime }$, y

$$q_{\text{enc}}(r)={\int }_0^r\rho (r^{\prime })4\pi r^{\prime 2}d{r}^{\prime }$$

La prima en $r^{\prime }$ separa la variable que recorre la carga del radio $r$ de la superficie, que es el límite de la integral. Los widgets usan $q=1\text{nC}$, $R=\mathrm{0,1}\text{m}$, $\lambda =1\text{nC/m}$ y $\sigma =1\text{nC/m²}$.

03 · (a) La carga puntual

Superficie: una esfera de radio $r$ centrada en la carga. Simetría: todos los puntos de esa esfera están a la misma distancia de la carga y ninguno es distinto de otro, así que $E$ vale lo mismo en todos; la única dirección que la carga distingue es la radial, así que el campo es radial y cruza la esfera de frente. Carga encerrada: $q$, para cualquier $r$.

$$E·4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}\Rightarrow E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\frac{kq}{r^2}$$

Es Coulomb, como tenía que ser. Hacia afuera si $q>0$, hacia la carga si $q<0$.

04 · (b) El cascarón esférico

Un cascarón delgado es una cáscara esférica de radio $R$ con la carga $q$ repartida uniformemente sobre ella. Que sea conductor no cambia nada acá: en un conductor la carga se va a la superficie, y la superficie es justo donde ya estaba. Superficie y simetría: las mismas que en (a), una esfera concéntrica de radio $r$. Ahora hay dos casos, según la esfera gaussiana quede adentro o afuera del cascarón.

Adentro, $r<R$: la esfera gaussiana no encierra nada, porque toda la carga está más afuera.

$$E·4\pi r^2=0\Rightarrow E=0$$

Afuera, $r>R$: encierra toda la carga, y la cuenta es la de (a): $E=kq/r^2$. En $r=R$ el campo salta de cero a $kq/R^2$.

Que adentro dé cero no quiere decir que las cargas del cascarón no hagan campo ahí: cada pedazo hace el suyo, y las contribuciones se cancelan. Gauss lo dice sin sumarlas: la simetría obliga a que el campo sea radial y constante sobre la esfera de radio $r$, y con flujo cero eso sólo se cumple con $E=0$.

05 · (c) La esfera con carga uniforme

Ahora la carga $q$ llena todo el volumen de una esfera de radio $R$, con la misma densidad en todos lados. Esa densidad es la carga sobre el volumen:

$$\rho =\frac{q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$$

Superficie y simetría: otra vez una esfera concéntrica de radio $r$, con el mismo argumento. Afuera, $r>R$: encierra toda la carga y $E=kq/r^2$, igual que en (a) y (b).

Adentro, $r<R$: la esfera gaussiana encierra sólo la parte de la carga que está a menos de $r$ del centro. Con la integral de la sección 02 y $\rho$ constante:

$$q_{\text{enc}}(r)={\int }_0^r\rho 4\pi r^{\prime 2}d{r}^{\prime }=\rho \frac{4}{3}\pi r^3=q\frac{r^3}{R^3}$$

Tiene sentido: con densidad uniforme, la fracción de carga encerrada es la fracción de volumen encerrado. Gauss:

$$E·4\pi r^2=\frac{q{r}^3}{{\epsilon }_0{R}^3}\Rightarrow E=\frac{kq}{R^3}r$$

Adentro el campo crece lineal con $r$: cero en el centro, donde las cargas de alrededor tiran parejo en todas direcciones, y máximo en la superficie. Ahí las dos fórmulas dan lo mismo, $kq/R^2$: el campo es continuo, sin salto. El salto del cascarón venía de que toda la carga estaba concentrada en una superficie; acá no hay ninguna superficie con carga.

06 · (d) La línea infinita

Una línea recta infinita con densidad lineal $\lambda$. Simetría: como la línea no termina nunca, ningún punto a lo largo de ella es distinto de otro, y girando alrededor de ella tampoco cambia nada. El campo sólo puede depender de la distancia $r$ a la línea y tiene que apuntar perpendicular a ella, hacia afuera: cualquier componente a lo largo de la línea elegiría un sentido, y la línea no distingue ninguno.

Superficie: un cilindro de radio $r$ y largo $L$ con la línea como eje. Por la cara lateral, de área $2\pi rL$, el campo sale de frente y vale lo mismo en toda ella. Por las dos tapas el campo pasa rasante, paralelo a ellas: flujo cero. Carga encerrada: el pedazo de línea de largo $L$, $\lambda L$.

$$E·2\pi rL=\frac{\lambda L}{{\epsilon }_0}\Rightarrow E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}=\frac{2k\lambda }{r}$$

El largo $L$ se cancela, como tiene que ser: es un invento de uno. Y sale el $1/r$ que anunciaban las unidades.

07 · (e) La lámina infinita

Un plano infinito con densidad superficial $\sigma$. Simetría: el plano se ve igual desde cualquier punto a la misma distancia, así que el campo sólo puede depender de la distancia y tiene que ser perpendicular al plano. De los dos lados apunta alejándose, si $\sigma >0$, y vale lo mismo: el plano no distingue un lado del otro.

Superficie: el pastillero, un cilindro que atraviesa el plano, con una tapa de área $A$ a cada lado, a la misma distancia. El campo cruza de frente las dos tapas, saliendo; por la cara lateral pasa rasante. Carga encerrada: el pedazo de plano que el cilindro corta, de área $A$: $\sigma A$.

$$2EA=\frac{\sigma A}{{\epsilon }_0}\Rightarrow E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$$

No depende de la distancia, como anticiparon las unidades. Se lo puede imaginar así: al alejarse, cada pedazo del plano queda más lejos, pero un círculo de radio fijo en el ángulo de visión cubre cada vez más plano. Las dos cosas se compensan exactamente.

08 · El chequeo

Unidades. $kq/r^2$ y $kqr/R^3$ son N·m²/C² por C sobre m²: N/C. $\lambda /({\epsilon }_{0}r)$ es C/m sobre C²/(N·m²) y sobre m: N/C. $\sigma /{\epsilon }_0$ es C/m² sobre C²/(N·m²): N/C. Las cinco dan campo.

Continuidad. En (c), las dos fórmulas coinciden en $r=R$. Con los números de los widgets, 899 N/C en la superficie, y en $R/2$, adentro, 450 N/C: la mitad, porque adentro es lineal. En (b) el salto en $R$ es de 0 a 899 N/C. Ese salto vale $kq/R^2=\sigma /{\epsilon }_0$ con $\sigma =q/(4\pi R^2)$: es el campo justo afuera de un conductor.

Las dos formas de la línea. $1/(2\pi {\epsilon }_0)$ con ${\epsilon }_0=\mathrm{8,85}·{10}^{-12}$ da $\mathrm{1,80}·{10}^{10}$, y $2k$ con $k=\mathrm{8,99}·{10}^9$ también. Con $\lambda =1\text{nC/m}$, a 0,1 m son 180 N/C, y a 0,2 m la mitad.

Casos límite. Un cable de verdad no es infinito, pero visto desde muy cerca, a una distancia mucho menor que su largo, la línea parece infinita y vale (d); desde muy lejos parece una carga puntual y vale (a). Lo mismo una placa finita: de cerca, (e); de lejos, (a). Las fórmulas de las simetrías infinitas son las aproximaciones «de cerca».

09 · Cuando la densidad cambia con el radio

El Problema 2 del Parcial 2 de 2023 es el caso (c) con $\rho (r)=kr$, donde $k$ es una constante del enunciado. Nada del método cambia: sólo la integral de la carga encerrada.

$$q_{\text{enc}}(r)={\int }_0^{r}k{r}^{\prime }4\pi r^{\prime 2}d{r}^{\prime }=\pi k{r}^4$$

La carga total es $Q=\pi k{R}^4$. Adentro, $E·4\pi r^2=\pi k{r}^4/{\epsilon }_0$, y afuera la esfera gaussiana encierra $Q$:

$$E_{\text{int}}=\frac{k{r}^2}{4{\epsilon }_0},E_{\text{ext}}=\frac{k{R}^4}{4{\epsilon }_0{r}^2}$$

Las dos dan $k{R}^2/(4{\epsilon }_0)$ en $r=R$: continuo, como en (c). Adentro crece como $r^2$ y no como $r$, porque la carga se amontona hacia afuera. Resuelto entero, con el gráfico, en La esfera de densidad kr.

10 · Lo que se lleva

• La decisión es la superficie. Esfera para simetría esférica, cilindro para una línea, pastillero para un plano. Elegida bien, la integral del flujo es $E·A$.
• El argumento de simetría se escribe. «Por simetría, E es radial y constante sobre la superficie» es parte de la resolución, no un adorno.
• La carga encerrada depende de r. Adentro de una distribución en volumen, $q_{\text{enc}}(r)=\int \rho dV$ hasta $r$, no la total. Es lo que pide el parcial.
• Afuera de cualquier esfera, carga puntual. $kQ/r^2$ con la carga total, sea cascarón, uniforme o $\rho =kr$.
• Los cinco resultados: $kq/r^2$; 0 adentro del cascarón; $kqr/R^3$ adentro de la esfera uniforme; $\lambda /(2\pi {\epsilon }_{0}r)$; $\sigma /(2{\epsilon }_0)$.