El flujo por cuatro superficies

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

No hay ninguna cuenta que hacer con el campo. Las cuatro superficies son cerradas, y para una superficie cerrada la ley de Gauss dice que el flujo —cuánto campo la atraviesa, contando positivo lo que sale y negativo lo que entra— es la carga que queda adentro dividida por ${\epsilon }_0$:

$$\Phi =\frac{q_{\text{enc}}}{{\epsilon }_0}$$

Eso tiene tres consecuencias que conviene decir antes de mirar la figura. La forma no importa: las curvas retorcidas de S₁ y S₂ están para distraer, y una esfera alrededor de las mismas cargas daría lo mismo. Las cargas de afuera no cuentan: crean campo sobre la superficie, pero cada línea suya que entra vuelve a salir. Y el signo se respeta: $q_{\text{enc}}$ es una suma con signo, y una superficie que encierra cargas puede dar cero.

El ejercicio entero se reduce a una sola decisión por superficie: qué puntos quedan adentro. Con curvas así de irregulares el ojo se equivoca, y hay un criterio que no falla: trazar desde la carga una semirrecta cualquiera y contar cuántas veces cruza la curva. Impar, adentro; par, afuera. Cada cruce es una entrada o una salida, y para terminar afuera, lejos, hay que haber salido una vez más de las que se entró.

Y un control antes de empezar: la única carga positiva es $+Q$, y la total es $-2Q$. Ninguna superficie puede dar más que $Q/{\epsilon }_0$, y una que encierre todo tiene que dar $-2Q/{\epsilon }_0$.

03 · La resolución

1. S₁. La curva rodea a $-2Q$ y a $+Q$; su borde de abajo pasa entre $+Q$ y $-Q$, y el entrante de la derecha no alcanza a dejar afuera a ninguna. Encierra $$q_{\text{enc}}=-2Q+Q=-Q$$ $${\Phi }_1=-\frac{Q}{{\epsilon }_0}$$ Negativo: entra más campo del que sale.
2. S₂. Su borde de arriba pasa entre $-2Q$ y $+Q$, así que encierra a $+Q$ y a $-Q$: $$q_{\text{enc}}=Q-Q=0$$ $${\Phi }_2=0$$ Hay dos cargas adentro, y el flujo neto es cero porque se compensan.
3. S₃. Es la más grande y rodea a las tres: $$q_{\text{enc}}=-2Q+Q-Q=-2Q$$ $${\Phi }_3=-\frac{2Q}{{\epsilon }_0}$$
4. S₄. Queda toda a la izquierda de la columna de cargas: no encierra ninguna. $$q_{\text{enc}}=0$$ $${\Phi }_4=0$$ Cero también, pero por otra razón: no hay nada adentro.

04 · El chequeo

Unidades. $Q/{\epsilon }_0$ es C dividido C²/(N·m²), o sea N·m²/C: la unidad del flujo.

Los controles de la sección 02. S₃ encierra todo y da $-2Q/{\epsilon }_0$, la carga total. Ninguna da positivo, porque ninguna encierra a $+Q$ sola. Y S₃ encierra lo mismo que S₁ más $-Q$: $-Q/{\epsilon }_0-Q/{\epsilon }_0=-2Q/{\epsilon }_0$, cierra.

La lectura de la figura. El punto más dudoso es $+Q$, que tiene cerca el borde de abajo de S₁, el de arriba de S₂ y el derecho de S₄. Ninguno lo toca: el más próximo le pasa a más de cuatro veces el radio del punto dibujado. La figura no deja ninguna carga sobre una superficie.

05 · Lo que se lleva

Flujo cero no quiere decir campo cero. Sobre S₄ el campo no se anula en ningún punto: las tres cargas de al lado lo atraviesan, entrando por un lado y saliendo por otro, y lo que entra es exactamente lo que sale. Sobre S₂ tampoco: adentro hay dos cargas que crean campo, y las líneas que salen de $+Q$ y no terminan en $-Q$ cruzan la superficie para afuera y vuelven a entrar. La ley de Gauss habla del total, no de cada punto: es la tesis de Gauss vale siempre y casi nunca alcanza.

Y en el parcial, la decisión que se cobra es la de este ejercicio: cuando piden un flujo por una superficie cerrada, no se calcula nada del campo. Se cuentan las cargas de adentro con su signo, y la forma de la superficie, por rara que sea, no entra.