Práctico 4 · Ejercicio 13 · el flujo total sale de Gauss sin mirar el lado, el de cada cara sale de la simetría, y si la carga se corre el total queda y la repartición no.
Una carga q = 170 µC está en el centro de un cubo de lado l = 80 cm. (a) Encuentre el flujo eléctrico a través de toda la superficie del cubo. (b) Encuentre el flujo eléctrico a través de cada cara del cubo. (c) ¿Cambiaría sus respuestas anteriores si la carga no estuviera en el centro? Dé una explicación.
Qué modelo. El cubo es una superficie cerrada y la carga está adentro, así que la ley de Gauss da el flujo total sin calcular el campo en ningún lado: . Que la superficie sea un cubo y no una esfera no cambia nada: la ley vale para cualquier forma.
Qué dato sobra. El lado, 80 cm, no entra en (a). Tampoco en (b). Está en el enunciado para tentar a calcular un área y un campo, y es la primera decisión del ejercicio: no usarlo.
Qué es la llave de (b). Gauss da una sola cosa, el total. Para repartirlo entre las caras hace falta otro argumento, y ése es la simetría: vista desde el centro, cada cara es idéntica a las otras cinco —misma distancia, mismo tamaño, misma orientación respecto de la carga—, así que no hay razón para que una reciba más que otra. Ese argumento depende de que la carga esté en el centro, y por eso (c) pregunta justo eso.
Qué esperar. El flujo sale positivo, porque la carga es positiva y el campo apunta hacia afuera en todas las caras. Y grande: 170 µC es mucha carga y es del orden de , así que el cociente anda por .
El total no cambia. La ley de Gauss sólo mira cuánta carga hay adentro, no dónde. Mientras la carga siga dentro del cubo, el flujo total sigue siendo N·m²/C.
El de cada cara sí. Fuera del centro se rompe la simetría que justificaba dividir por seis: la cara que queda más cerca de la carga la «ve» más grande y recibe más flujo, y la de enfrente menos. Por ejemplo, con la carga corrida un cuarto del lado hacia una cara, integrando el campo cara por cara: esa cara recibe 5,67·10⁶, la de enfrente 1,91·10⁶ y cada una de las cuatro laterales 2,91·10⁶ N·m²/C. Suman , en unidades de : el mismo total.
Unidades. C dividido C²/(N·m²) da N·m²/C, que es la unidad del flujo: campo (N/C) por área (m²).
Coherencia. Seis caras por 3,20·10⁶ dan 1,92·10⁷: las respuestas (a) y (b) son la misma cuenta. Y el orden de magnitud es el que esperábamos.
Un caso límite. Si el cubo fuera el doble de grande, nada cambiaría: ni el total, que no depende del lado, ni el de cada cara, porque la simetría sigue intacta. Cada cara tiene cuatro veces más área, y el campo sobre ella es cuatro veces más débil, por estar el doble de lejos.
La tentación. Dividir el flujo de una cara por su área, 0,64 m², da 5,00·10⁶ N/C, y se lee como «el campo en la cara». No lo es: es el promedio de la componente normal del campo. En el centro de la cara el campo normal vale 9,55·10⁶ N/C, y en sus esquinas 1,84·10⁶ N/C: varía en un factor de más de cinco sobre la misma cara.
Este ejercicio separa dos herramientas que se confunden. Gauss da el total, siempre, con cualquier superficie, y sin preguntar dónde está la carga. La simetría da la repartición, y sólo cuando la hay. En el parcial la pregunta (c) vuelve con otras palabras —una carga fuera del centro, una superficie que no es una esfera— y la respuesta es siempre la misma: el total no se mueve; lo que se reparte por partes, sí.
El mismo cubo con la carga en otro lugar es el Ejercicio 14: ahí la carga está en un vértice, y la simetría vuelve a alcanzar con un truco. Para mover la carga dentro del cubo y ver cómo cambia la repartición mientras el total se queda quieto, está el widget de Gauss vale siempre y casi nunca alcanza.