La ley vale para cualquier superficie cerrada, pero sólo entrega el campo cuando la simetría lo deja constante y perpendicular sobre ella. En un cubo da el flujo total esté donde esté la carga, y no dice el campo en ningún punto de sus caras.
Una carga de 170 µC adentro de un cubo de 80 cm de lado. La ley de Gauss contesta en un renglón cuánto campo atraviesa el cubo: 1,92·10⁷ N·m²/C, y da lo mismo dónde esté la carga mientras esté adentro. Es el enunciado más fuerte de la electrostática, y en este cubo no sirve para la pregunta que uno casi siempre quiere hacer: ¿cuánto vale el campo acá? Las dos cosas son ciertas a la vez, y entender por qué es entender cuándo usar Gauss y cuándo no.
El flujo. Imaginá el campo como algo que atraviesa una superficie, igual que la lluvia atraviesa una ventana abierta. Lo que pasa por un pedacito de superficie de área depende de cuánto campo hay y de cuán de frente le pega: si el campo cruza perpendicular, pasa todo; si corre rasante, paralelo a la superficie, no pasa nada. Eso es el producto escalar del campo con el vector área , que mide y apunta perpendicular a la superficie, hacia afuera:
con el ángulo entre el campo y la normal. Sumado sobre toda la superficie es el flujo eléctrico , en N·m²/C. Cuenta positivo lo que sale y negativo lo que entra.
La superficie cerrada es una que encierra un volumen sin dejar agujeros: una esfera, un cubo, una papa. Para ella el flujo se escribe con un círculo en la integral, , que quiere decir «sobre toda la cáscara». La carga encerrada, , es la suma con signo de las cargas que quedan adentro. Y la ley de Gauss las ata:
con C²/(N·m²). Vale para cualquier superficie cerrada, de cualquier forma, con las cargas de afuera puestas donde sea. La razón cabe en una línea: el campo de una carga puntual cae como y el área que hay a distancia crece como , así que lo que atraviesa un pedazo de superficie sólo depende de qué porción del cielo ocupa visto desde la carga, no de lo lejos que esté. Una superficie cerrada alrededor de la carga ocupa el cielo entero, sea esfera o papa. Y a una carga de afuera, cada línea de campo que le entra a la superficie le vuelve a salir: aporta cero al total.
Si el total está clavado, la pregunta siguiente es cómo se reparte. Con la carga en el centro, las seis caras son idénticas vistas desde ella y se llevan un sexto cada una: 3,20·10⁶ N·m²/C. Pero si la carga se corre, una cara le queda más cerca y le ocupa más cielo, y la de enfrente menos.
Lo medí integrando la componente normal del campo de la carga puntual sobre cada cara, en una grilla fina, y lo crucé con la fórmula cerrada del ángulo sólido de un rectángulo: coinciden en las cuatro cifras de la tabla. Las columnas son la fracción del flujo total que atraviesa cada cara; las posiciones van en unidades del lado , con el origen en el centro del cubo.
| carga en | +x | −x | +y | −y | +z | −z | suma |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| el centro | 0,167 | 0,167 | 0,167 | 0,167 | 0,167 | 0,167 | 1,000 |
| (0,25; 0; 0) | 0,295 | 0,100 | 0,151 | 0,151 | 0,151 | 0,151 | 1,000 |
| (0,45; 0; 0) | 0,455 | 0,070 | 0,119 | 0,119 | 0,119 | 0,119 | 1,000 |
| (0,25; 0,25; 0,25) | 0,248 | 0,086 | 0,248 | 0,086 | 0,248 | 0,086 | 1,000 |
| (0,1; 0,2; −0,3) | 0,169 | 0,112 | 0,224 | 0,096 | 0,086 | 0,313 | 1,000 |
La columna de la suma es la ley de Gauss, y es la única que no se mueve. Todo lo demás cambia con la posición, y mucho: con la carga a 0,05 de la cara +x, esa cara se lleva el 45,5 % del flujo —8,74·10⁶ N·m²/C— y la de enfrente el 7,0 %, 6,5 veces menos. Gauss no tiene nada que decir sobre esas columnas: es una ecuación, y la incógnita que fija es una sola, la suma.
Hay un caso en que la repartición sí sale sin integrar, y es cuando la simetría la fija. Con la carga en el centro, las seis caras son la misma: un sexto. Con la carga en un vértice del cubo —el Ejercicio 14 del práctico—, la medición da cero en las tres caras que tocan la carga, porque el campo corre rasante sobre ellas, y 0,0417 en cada una de las tres lejanas: un veinticuatroavo. Las dos respuestas salen de la simetría, no de Gauss.
Volvé a poner la carga en el centro y mirá las cuatro curvas de afuera del cuadrado. Las seis barras son iguales, la situación es la más simétrica que el cubo admite, y aun así el campo sobre una cara no es constante. En el centro de la cara la carga está a y el campo le pega de frente:
En una esquina de la misma cara la carga está veces más lejos, así que el campo vale un tercio, y además llega inclinado: su componente normal es ese tercio por . Queda 1,84·10⁶ N/C, 5,20 veces menos que en el centro de la cara.
Y ahora la cuenta que tienta. Si el flujo por una cara es N·m²/C y el área de la cara es 0,64 m², dividir da 5,00·10⁶ N/C. Ese número es el promedio de sobre la cara, y no es «el campo en la cara»: el campo verdadero va de 1,84·10⁶ a 9,55·10⁶ según dónde mires, y nada en la ley dice en qué puntos vale el promedio. Escribir para el campo en la cara de un cubo es el error de esta nota en una fórmula.
La razón de fondo es de contar incógnitas. El campo sobre una superficie son infinitos números, uno por punto. La ley de Gauss es una ecuación, que fija una cantidad: la integral de todos ellos. De una suma no se recuperan los sumandos, salvo que uno sepa de antemano que son todos iguales.
Para sacar de adentro de la integral hacen falta dos cosas a la vez, sobre toda la superficie elegida o sobre pedazos de ella: que el campo sea perpendicular a la superficie, para que sea , y que tenga el mismo módulo en todos sus puntos, para que salga afuera como factor común. Entonces la integral es y se despeja. En los pedazos donde el campo corre rasante, el aporte es cero y tampoco molesta.
Eso no se puede verificar después de conocer el campo, porque el campo es lo que se busca. Tiene que estar garantizado antes, y lo único que lo garantiza es la simetría de la carga. Hay tres, y la superficie gaussiana de cada una se elige para que copie la simetría:
Son los cinco casos del Ejercicio 11, y no hay un cuarto. El cubo no está en la lista porque no existe una distribución de carga que deje el campo constante y perpendicular sobre sus caras: las esquinas siempre quedan más lejos que los centros. Una carga puntual tiene simetría de sobra, pero es esférica, y el cubo no la copia.
La pregunta que decide es ¿me piden un flujo o un campo? Si piden un flujo por una superficie cerrada —el cubo, las cuatro papas del Ejercicio 12, una esfera—, Gauss contesta directo, con cualquier forma: contar la carga encerrada y dividir por . La forma de la superficie, las cargas de afuera y la posición de las de adentro no entran en la cuenta.
Si piden un campo, primero hay que mirar la simetría. Si es una de las tres, Gauss es el camino corto. Si no —dos o tres cargas sueltas, un cuadrado de cargas, un punto fuera del eje—, el camino es la superposición de los campos de cada carga, y Gauss sólo sirve para controlar el resultado al final. Y si piden el flujo por una cara de una superficie, Gauss sólo alcanza cuando la simetría reparte el total en partes iguales: es la trampa del Ejercicio 13, que pregunta qué cambia si la carga se corre del centro.
Lo que queda de esta nota es una distinción entre dos números que se escriben parecido: y . La ley de Gauss fija el primero sin excepciones y con cualquier superficie; el segundo lo da sólo cuando la simetría ya hizo el trabajo de decir que es el mismo en todos lados. Todo lo demás es superposición.