El flujo y la ley de Gauss

Calcular un campo eléctrico sumando carga por carga es lento, y con una carga repartida en una esfera o en un cable se vuelve una integral fea. La ley de Gauss ofrece un atajo: en vez de mirar el campo punto por punto, mira cuánto campo sale de una superficie cerrada, una cáscara sin agujeros que envuelve una región. Esa cantidad depende sólo de la carga que hay adentro. Cuando la forma del problema es lo bastante simétrica, de ahí se despeja el campo en una línea.

01 · El flujo: cuánto campo atraviesa

La imagen es la de un aro sostenido en el viento. Si el aro mira de frente al viento, lo atraviesa todo el aire que cabe; si se lo pone de canto, no lo atraviesa nada; en ángulo, algo intermedio. Y si el aro es más grande, pasa más. El flujo eléctrico es exactamente esa cuenta, con el campo $\overrightarrow{E}$ en el lugar del viento.

Para escribirla hace falta decir hacia dónde mira la superficie. Eso se hace con el vector área $\overrightarrow{A}$: es perpendicular a la superficie —apunta en la dirección en que la superficie «mira»— y su módulo es el área. Si el campo es el mismo en toda una superficie plana y forma un ángulo $\theta$ con $\overrightarrow{A}$, el flujo es

$$\Phi =\overrightarrow{E}·\overrightarrow{A}=EA\cos \theta$$

Con $\theta =0$ el campo atraviesa de frente y $\Phi =EA$; con $\theta =90°$ el campo pasa rasante, paralelo a la superficie, y el flujo es cero. Se mide en $\text{N·m²/C}$. Un ejemplo con números: el campo de $\mathrm{2,50}·{10}^3\text{N/C}$ que da el Ejercicio 1 del práctico, atravesando un cuadrado de 10 cm de lado inclinado de modo que $\theta =60°$:

$$\Phi =(2500)(\mathrm{0,01})\cos 60°=\mathrm{12,5}\text{N·m²/C}$$

Una forma de verlo que sirve mucho: si se dibujan las líneas de campo con una densidad proporcional a $E$, el flujo es proporcional al número de líneas que cruzan la superficie.

02 · Superficies cerradas, y el signo

Una superficie cerrada es una que encierra un volumen sin agujeros: una esfera, la cáscara de un cubo, una lata con sus dos tapas. En una superficie cerrada hay un adentro y un afuera, y por convención el vector área de cada pedacito apunta hacia afuera. De ahí sale el signo del flujo:

• donde el campo sale de la superficie, $\theta <90°$ y ese pedacito aporta flujo positivo;
• donde el campo entra, $\theta >90°$ y aporta flujo negativo;
• donde el campo pasa rasante, aporta cero.

Como el campo cambia de un punto a otro, la superficie se corta en pedacitos $d\overrightarrow{A}$ tan chicos que en cada uno el campo es constante, y se suman los flujos de todos. El círculo en la integral indica que la superficie es cerrada:

$$\Phi =\oint \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{A}$$

El resultado es el flujo neto: lo que sale menos lo que entra. Contado en líneas, son las que salen menos las que entran.

03 · La ley de Gauss

El caso más simple dice casi todo. Una carga puntual $q$ positiva en el centro de una esfera imaginaria de radio $r$. Por la ley de Coulomb, en cada punto de la esfera el campo vale $kq/r^2$ y apunta hacia afuera, igual que el vector área. Entonces $\theta =0$ en todos lados, el campo es el mismo en toda la esfera y el flujo es campo por área. A una superficie cerrada imaginaria como ésta, que uno elige para contar flujo, se la llama superficie gaussiana.

$$\Phi =\frac{kq}{r^2}·4\pi r^2=4\pi kq=\frac{q}{{\epsilon }_0}$$

El último paso es la definición de ${\epsilon }_0$, la permitividad del vacío: la constante de Coulomb se escribe $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$, con ${\epsilon }_0=\mathrm{8,85}·{10}^{-12}\text{C²/(N·m²)}$.

Lo notable es que $r$ se fue. La esfera chica y la grande reciben el mismo flujo: el campo se debilita como $1/r^2$ y el área crece como $r^2$, y una cosa compensa la otra. En líneas de campo: todas las que salen de la carga cruzan cualquier esfera que la rodee, sea del tamaño que sea. Y lo mismo vale si la superficie es un cubo o una papa: las líneas que salen de la carga tienen que atravesarla igual, una vez cada una, porque no tienen dónde terminar adentro.

Con varias cargas, el campo es la superposición de los campos de cada una, y el flujo también se suma. La carga encerrada $q_{\text{enc}}$ es la suma, con su signo, de todas las cargas que quedan adentro de la superficie. La ley de Gauss dice que, para cualquier superficie cerrada,

$$\Phi =\oint \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{A}=\frac{q_{\text{enc}}}{{\epsilon }_0}$$

Es la cuenta del Ejercicio 13: una carga de 170 µC en el centro de un cubo da un flujo total $q/{\epsilon }_0=\mathrm{1,92}·{10}^7\text{N·m²/C}$, sin haber mirado el lado del cubo ni el campo en ninguna cara.

04 · Las cargas de afuera no suman flujo

Una carga que está fuera de la superficie sí produce campo sobre ella, y sí la atraviesa. Pero cada línea de esa carga que entra por un lado tiene que salir por otro: no hay nada adentro donde pueda terminar. Lo que entra cuenta negativo, lo que sale cuenta positivo, y suman cero. El flujo neto de una carga exterior es cero aunque su campo sobre la superficie no lo sea.

Esto es lo que más se confunde. Gauss habla del flujo total, no del campo en cada punto. El campo sobre la superficie es el de todas las cargas, las de adentro y las de afuera; lo que no depende de las de afuera es la suma de $\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{A}$ sobre la superficie entera. Y si $\Phi =0$, eso no dice que el campo sea cero en la superficie: puede estar entrando por un lado y saliendo por otro.

El widget de abajo lo deja comprobar. El círculo es el ecuador de una esfera; las tres cargas están en el plano del dibujo. El flujo se calcula sumando $\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{A}$ sobre doce mil pedacitos de la esfera, con el campo de las tres cargas, sin usar la ley de Gauss en ningún momento.

Arranca sin ninguna carga adentro, cerca de la de +2 nC. Mirá cuánto entra y cuánto sale: son números grandes, y el neto es cero. Agrandá la esfera hasta que la de +2 nC quede adentro y fijate qué pasa con el neto; después seguí agrandándola. Encerrá las de +2 y −1 nC juntas, y probá meter la de −1 nC sola. En ningún caso el neto depende del radio mientras no cruces una carga.

05 · Cómo se usa: los tres pasos

La ley vale siempre, pero sólo sirve para calcular $E$ cuando se puede sacar $E$ afuera de la integral. Eso pasa cuando la distribución de carga tiene una simetría que obliga al campo a ser igual en toda una superficie y a atravesarla de frente. El procedimiento es siempre el mismo.

Paso 1: elegir la superficie según la simetría. La superficie gaussiana no es nada material: se elige con la forma que tiene el campo, y tiene que pasar por el punto donde se quiere conocer $E$.

Paso 2: argumentar que E es constante y perpendicular. Es el paso que se escribe en el parcial. Para la esfera: por simetría, ningún punto de la esfera es distinto de otro, así que $E$ vale lo mismo en todos; y no hay ninguna dirección privilegiada salvo la radial, así que el campo es radial, perpendicular a la superficie. Para el cilindro: sobre la cara lateral el campo es radial y de módulo constante; sobre las tapas es paralelo a ellas y no aporta flujo. Para el pastillero: el campo es perpendicular al plano, atraviesa las dos tapas de frente y pasa rasante por la cara lateral.

Paso 3: despejar. Con $E$ constante y $\theta =0$ en la parte que cuenta, la integral es $E·A$, y queda

$$E·A=\frac{q_{\text{enc}}}{{\epsilon }_0}\Rightarrow E=\frac{q_{\text{enc}}}{{\epsilon }_{0}A}$$

Lo único que cambia de un problema a otro es cuánto vale $q_{\text{enc}}$ para una superficie de radio $r$. Si la carga está repartida con una densidad, hay que integrarla sobre el volumen encerrado. Los cinco casos del Ejercicio 11 están hechos así, uno por uno, en Gauss en cinco casos.

06 · Los errores típicos

• Tomar todo el flujo como E·A sin haber argumentado la simetría. En el cubo del Ejercicio 13 el flujo total es $q/{\epsilon }_0$, pero el campo no es constante sobre las caras ni las cruza de frente: de ahí no sale $E$.
• Leer «flujo cero» como «campo cero». Una superficie sin carga adentro puede tener mucho campo encima; lo que es cero es la suma.
• Contar en $q_{\text{enc}}$ la carga total en vez de la que queda dentro de la superficie de radio $r$. Adentro de una esfera cargada, la superficie gaussiana encierra sólo una parte.
• Sumar el área de las tapas del cilindro alrededor de una línea, o la cara lateral del pastillero: por ahí el campo pasa rasante y no hay flujo.
• Olvidar el signo. Con $q_{\text{enc}}<0$ el flujo es negativo: el campo entra.

Para tener a mano

1. Flujo por una superficie plana con campo uniforme: $\Phi =EA\cos \theta$, con $\theta$ entre el campo y la normal. En una superficie cerrada la normal va hacia afuera: lo que sale suma, lo que entra resta.
2. Ley de Gauss: $\oint \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{A}=q_{\text{enc}}/{\epsilon }_0$, para cualquier superficie cerrada. Con $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$.
3. Las cargas de afuera no aportan flujo neto, pero sí campo sobre la superficie.
4. Para sacar $E$: superficie según la simetría (esfera, cilindro, pastillero); argumentar $E$ constante y perpendicular donde cuenta; $E=q_{\text{enc}}/({\epsilon }_{0}A)$.
5. Sin simetría, Gauss sigue valiendo pero no da el campo: da el flujo.

Para leer más

Sears-Zemansky, vol. 2, capítulo 22, secciones 22.1 a 22.4: el flujo con la imagen del fluido y las aplicaciones a las tres simetrías. Serway-Jewett, vol. 2, capítulo 23, secciones 23.2 a 23.4. Alonso-Finn, vol. 2, capítulo 16, donde la ley de Gauss se deduce también en forma diferencial.