La carga en la esquina del cubo

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Por qué no alcanza con Gauss directo. La ley de Gauss pide la carga encerrada, y esta carga no está ni adentro ni afuera: está sobre la superficie, en una esquina. Además, aunque se supiera el total, el ejercicio pide el flujo de cada cara, y Gauss sólo da totales. Hay que encontrar una simetría que reparta.

La idea que destraba. Cuando la carga está en un lugar incómodo, se completa la figura hasta que quede en un lugar cómodo. Alrededor del vértice entran exactamente ocho cubos iguales al del enunciado, uno por octante, y juntos forman un cubo de lado $2l$ con la carga en el centro. Ese cubo grande es el del Ejercicio 13, y ahí todo es simétrico.

Qué esperar de las caras. El cubo tiene dos clases de caras, que la carga ve de forma muy distinta. Tres pasan por la carga: son los planos $x=0$, $y=0$ y $z=0$. Las otras tres están enfrente, a distancia $l$. El campo de una carga puntual es radial, sale de la carga en línea recta; sobre una cara que contiene a la carga, esas rectas quedan acostadas en la cara misma. Eso ya anticipa un cero.

03 · La resolución

1. El cubo grande. Encierra la carga entera, así que por Gauss $${\Phi }_{\text{total}}=\frac{q}{{\epsilon }_0}=\frac{10·{10}^{-6}}{\mathrm{8,85}·{10}^{-12}}=\mathrm{1,13}·{10}^6\text{N·m²/C}$$
2. Cada cubo chico. Los ocho son idénticos vistos desde la carga —uno es la imagen de otro en un espejo por un plano coordenado—, así que cada uno recibe un octavo: $${\Phi }_{\text{cubo}}=\frac{q}{8{\epsilon }_0}=\mathrm{1,41}·{10}^5\text{N·m²/C}$$ Ese octavo es lo que sale por las seis caras de nuestro cubo, sumadas.
3. Las tres caras que tocan la carga. En un punto de la cara $z=0$, el campo apunta desde el origen hacia ese punto, o sea a lo largo de la cara: no tiene componente $z$. La normal de esa cara es justamente $z$, así que $\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{A}=0$ en cada punto. El campo no es cero ahí —es enorme cerca del vértice—, pero corre rasante: no atraviesa nada. $${\Phi }_{x=0}={\Phi }_{y=0}={\Phi }_{z=0}=0$$
4. Las tres caras lejanas. Se llevan el octavo entero. Y son iguales entre sí: intercambiar los nombres de los ejes lleva una en otra sin mover la carga. Cada una recibe un tercio de un octavo: $${\Phi }_{x=l}={\Phi }_{y=l}={\Phi }_{z=l}=\frac{q}{24{\epsilon }_0}$$ $$=\mathrm{4,71}·{10}^4\text{N·m²/C}$$ Se llega igual mirando sólo el cubo grande: su superficie está hecha de 24 cuadraditos de lado $l$, cuatro por cara, todos iguales vistos desde el centro. Cada uno es una cara lejana de algún cubo chico.
5. Con l = 0,20 m. No cambia nada. En ningún paso entró el lado: ni el total, ni el reparto en ocho, ni el cero de las caras rasantes, ni el reparto en tres. Visto de otro modo: al duplicar el lado, cada cara lejana tiene cuatro veces más área, pero cada punto de ella está el doble de lejos de la carga y el campo ahí es cuatro veces más débil, con la misma inclinación. El producto queda igual.

04 · El chequeo

La suma. Tres caras lejanas por 4,71·10⁴ dan 1,41·10⁵, el octavo; más tres ceros. Ocho octavos dan 1,13·10⁶, el total.

Contra la integral. Integrando la componente normal del campo de la carga sobre la cara $x=l$, en una grilla fina, sale 4,71·10⁴ N·m²/C, y lo mismo con $l=\mathrm{0,20}$ m; sobre $x=0$ sale cero exacto, porque el integrando es cero en cada punto. La medición del widget es esa misma integral.

Unidades. Como en el Ejercicio 13: C sobre C²/(N·m²), N·m²/C.

05 · Lo que se lleva

Completar la simetría. Si la carga está en un lugar sin simetría útil, se arma una figura más grande donde sí la tenga, y se reparte. Con la carga en el medio de una cara harían falta dos cubos, y en el medio de una arista, cuatro: el número de copias es el de cubos que comparten ese punto.

Una cara que contiene a la carga puntual tiene flujo cero, porque el campo corre a lo largo de ella. Es la misma razón por la que en el cilindro de Gauss de una línea cargada las tapas no aportan.

El flujo por una cara depende de la forma, no del tamaño. Lo que fija cuánto recibe es qué porción del cielo ocupa vista desde la carga, y eso no cambia al agrandar todo junto. Por eso la pregunta del final del enunciado tiene respuesta sin hacer cuentas.