La espira de dos metros

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. Una espira en un campo uniforme no siente fuerza neta, pero sí un torque: $\tau =\mu B\mathrm{sen}\theta$, con el momento magnético $\mu =NIA$ y $\theta$ el ángulo entre la normal de la espira y el campo. Es una sola espira: $N=1$.

Los dos datos que hay que traducir. «Dos metros de circunferencia» es el perímetro, el largo del cable, y el momento pide el área: hay que pasar por el radio. «Paralelo al plano de la espira» dice dónde está el campo respecto del plano, y el ángulo de la fórmula se mide desde la normal, que es perpendicular al plano: $\theta =90°$.

Qué esperar. Un círculo de 2 m de perímetro tiene unos 30 cm de radio y encierra unos 0,3 m². Con 17 mA el momento es del orden de $\mathrm{0,017}·\mathrm{0,3}\approx 5·{10}^{-3}$ A·m², y el torque, con 0,8 T, unos milinewton por metro. Una espira con una corriente chica: torque chico.

03 · La resolución

Paso 1: el radio. El perímetro de un círculo es $2\pi r$:

$$r=\frac{2\text{m}}{2\pi }=\frac{1}{\pi }\text{m}=\mathrm{0,318}\text{m}$$

Paso 2: el área.

$$A=\pi r^2=\pi ·\frac{1}{{\pi }^2}=\frac{1}{\pi }\text{m²}=\mathrm{0,318}\text{m²}$$

El mismo número que el radio, pero no la misma cosa: uno son metros y el otro metros cuadrados, y coinciden sólo porque el perímetro vale justo 2.

Paso 3: el momento magnético.

$$\mu =NIA=1·\mathrm{0,017}·\mathrm{0,318}=\mathrm{5,41}·{10}^{-3}\text{A·m²}$$

Su dirección es perpendicular al plano de la espira; para qué lado, lo decide el sentido de la corriente, que el enunciado no da. El módulo no depende de eso.

Paso 4: el torque. Con el campo en el plano, $\theta =90°$ y $\mathrm{sen}\theta =1$:

$$\tau =\mu B=\mathrm{5,41}·{10}^{-3}·\mathrm{0,8}=\mathrm{4,33}·{10}^{-3}\text{N·m}$$

Es el torque más grande que este campo le puede hacer a esta espira. Gira la espira alrededor de un diámetro perpendicular al campo, para llevar $\overrightarrow{\mu }$ hacia $\overrightarrow{B}$.

04 · El chequeo

Las unidades. A·m²·T = A·m²·N/(A·m) = N·m, que es torque.

Los casos límite. Si el campo fuera perpendicular al plano, la normal quedaría paralela a él, $\theta =0$, y el torque sería cero: la espira ya estaría en equilibrio. Con el campo en el plano está en el otro extremo, el máximo.

La forma importa. El mismo alambre de 2 m doblado en un cuadrado de 50 cm de lado encierra 0,25 m², y daría 3,40·10⁻³ N·m. El círculo es la figura que más área encierra con un perímetro dado, así que es la que más torque saca de un mismo cable.

El error que este dato invita. Usar los 2 m como si fueran el área da 2,72·10⁻² N·m, más de seis veces la respuesta. Las unidades lo delatan: metros no son metros cuadrados.

05 · Lo que se lleva

El ángulo de la fórmula es con la normal. Antes de escribir el seno, traducir lo que dice el enunciado: «paralelo al plano» es 90° con la normal y torque máximo; «perpendicular al plano» es 0° y torque cero; «a 60° del plano» es 30° con la normal.

El momento pide área. Si el dato es un perímetro o un diámetro, primero el radio, después $\pi r^2$. Y si son $N$ vueltas, multiplicar por $N$.

Para ver cómo cambia el torque con el ángulo, y por qué con el campo en el plano es máximo aunque las fuerzas sobre los lados no cambien, está el widget de la nota de la fuerza sobre un cable.