La bobina entre los polos

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué cambia. La bobina está quieta, su área es fija, el ángulo también: lo único que se mueve es el campo, que baja. Es la primera de las tres maneras de cambiar el flujo, la misma de la bobina que abraza al solenoide, y la ley de Faraday se queda con un término: $\epsilon =-N(dB/dt)A\cos \theta$.

El dato llave es el ángulo. El enunciado dice que el campo forma 60° con el plano de la bobina. La $\theta$ de la fórmula es el ángulo con la normal, la flecha $A$ de la figura, que es perpendicular al plano. Los dos ángulos suman 90°, así que $\theta =30°$. Con 60° el campo estaría más cerca de correr paralelo a la bobina; con 30° la atraviesa casi de frente, y es lo que muestra la figura.

Qué esperar. Quinientas vueltas de unos 50 cm² cada una, con un campo que baja 0,2 T por segundo: $500·\mathrm{0,005}·\mathrm{0,2}=\mathrm{0,5}$ V si el campo entrara de frente, y un poco menos por la inclinación. Del orden del medio voltio.

03 · La resolución

Paso 1: el área. Cada espira es un círculo de 4 cm de radio:

$$A=\pi {(\mathrm{0,04}\text{m})}^2=\mathrm{5,03}·{10}^{-3}{\text{m}}^2$$

Paso 2: cómo cambia el flujo por una espira. Con $A$ y $\theta$ fijos, sólo se deriva $B$, y $dB/dt=-\mathrm{0,2}$ T/s, negativa porque baja:

$$\frac{d\Phi }{dt}=\frac{dB}{dt}A\cos 30°$$ $$\frac{d\Phi }{dt}=-\mathrm{0,2}·\mathrm{5,03}·{10}^{-3}·\mathrm{0,866}=-\mathrm{8,71}·{10}^{-4}\text{Wb/s}$$

Paso 3: la fem de la bobina. Las 500 espiras están en serie:

$$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=-500·(-\mathrm{8,71}·{10}^{-4})=\mathrm{0,435}\text{V}$$

Es constante mientras el campo siga bajando a ese ritmo, y no depende de cuánto vale el campo: sólo de cuánto cambia.

Paso 4: el sentido. Por la ley de Lenz: el campo va de N a S y atraviesa la bobina en el sentido de $A$; el flujo baja; la corriente inducida tiene que hacer, adentro de la bobina, un campo a favor de $B$, para sostener el que se va. Ese campo apunta como $A$, y por la regla de la mano derecha, con el pulgar en el sentido de $A$, los dedos dan la corriente. Mirando la bobina desde el lado del polo N, en la dirección de $A$, la fem y la corriente giran en sentido horario.

Es lo mismo que dice el signo: la fem salió positiva respecto de la normal $A$ elegida, y positiva quiere decir que circula como los dedos de la mano derecha con el pulgar sobre $A$.

04 · El chequeo

El ángulo equivocado. Con 60° en el coseno sale $500·\mathrm{0,2}·\mathrm{5,03}·{10}^{-3}·\mathrm{0,5}=\mathrm{0,251}$ V: un 42 % menos, y un número que se ve igual de razonable. La única defensa es la figura: ¿el campo atraviesa la bobina casi de frente o casi de costado?

Entre los extremos. Con el campo de frente, $\theta =0$, la fem sería 0,503 V; con el campo paralelo al plano, $\theta =90°$, cero. 0,435 V es el 87 % del máximo, que es $\cos 30°$: casi de frente, como en la figura.

Las unidades. T/s por m² es Wb/s, que es V. El número de vueltas no tiene unidades.

05 · Lo que se lleva

Primero, de qué ángulo habla el enunciado. «Con el plano» es el complemento de la $\theta$ de la fórmula. Con el plano va seno; con la normal, coseno. Una figura con la normal dibujada decide la duda en un segundo.

Un campo que baja se defiende. Si el flujo baja, la corriente inducida refuerza el campo, no lo combate. Lenz se opone al cambio, no al campo.

El flujo, Faraday y Lenz desde cero, con un widget donde se puede probar el ángulo con la normal contra el ángulo con el plano, están en la nota del flujo magnético y la ley de Faraday.