Dos alambres opuestos y un punto arriba

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. Dos alambres rectos y largos, cada uno con su campo magnético en círculos alrededor, de módulo ${\mu }_{0}I/(2\pi d)$. El campo en P es la superposición de los dos: dos flechas que se suman como vectores.

La figura. El enunciado no dice cuál de los dos lleva la corriente saliendo. La figura pone el de la izquierda saliendo de la hoja (⊙) y el de la derecha entrando (⊗); con la elección contraria el resultado es el mismo con el sentido dado vuelta. En la hoja los dos alambres son puntos, a $\pm 5$ cm del origen, y P está en $(0,10)$ cm.

El dato llave: la simetría. P está a la misma distancia de los dos y las corrientes son iguales, así que las dos flechas miden lo mismo. Y son imágenes en espejo una de la otra, con un detalle: como las corrientes van al revés, una gira para un lado y la otra para el otro. En un espejo respecto del eje vertical, una flecha que gira antihorario se ve girando horario. Así que el espejo de la flecha del ⊙ es justo la flecha del ⊗: las componentes horizontales son opuestas y se cancelan, las verticales son iguales y se suman. El resultado tiene que ser vertical.

Qué esperar. Cada alambre está a algo más de 10 cm, y 1 A a 10 cm da 2 µT; cada flecha debería ser un poco menos. Como sólo sobrevive la parte vertical de cada una, y las flechas son casi horizontales (los radios son casi verticales), el total debería ser menos que una sola flecha.

03 · La resolución

Paso 1: la distancia. Del alambre de la izquierda a P hay 5 cm en horizontal y 10 cm en vertical:

$$r=\sqrt{5^2+{10}^2}\text{cm}=\mathrm{11,18}\text{cm}$$

Lo mismo para el de la derecha. Esa es la $d$ de la fórmula, no los 10 cm de altura.

Paso 2: el módulo de cada flecha.

$$B_1=B_2=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}=\frac{2·{10}^{-7}·1}{\mathrm{0,1118}}=\mathrm{1,79}\text{µT}$$

Paso 3: dibujar las dos flechas en P. Cada una perpendicular a su radio. El radio del ⊙ va de abajo a la izquierda hacia arriba a la derecha; su campo gira antihorario, y en P eso es hacia arriba y a la izquierda. El radio del ⊗ va de abajo a la derecha hacia arriba a la izquierda; su campo gira horario, y en P eso es hacia arriba y a la derecha.

Paso 4: las componentes. Acá está la única cuenta con trampa. La flecha es perpendicular al radio, así que el ángulo que forma con la horizontal es el que el radio forma con la vertical: el de un triángulo de 5 cm de cateto opuesto y 10 cm de adyacente, 26,6°. Entonces, para cada flecha,

$$\begin{array}{c}{B}_{\text{horizontal}}=B·\frac{10}{\mathrm{11,18}}=\mathrm{1,60}\text{µT}\\ B_{\text{vertical}}=B·\frac{5}{\mathrm{11,18}}=\mathrm{0,80}\text{µT}\end{array}$$

Con $x$ hacia la derecha e $y$ hacia arriba: ${\overrightarrow{B}}_1=(-\mathrm{1,60};\mathrm{0,80})$ µT y ${\overrightarrow{B}}_2=(\mathrm{1,60};\mathrm{0,80})$ µT.

Paso 5: sumar.

$$\overrightarrow{B}=(-\mathrm{1,60}+\mathrm{1,60};\mathrm{0,80}+\mathrm{0,80})\text{µT}=(0;\mathrm{1,60})\text{µT}$$

En P el campo vale 1,60 µT, vertical, hacia arriba: alejándose de la línea de los alambres. Con el ⊙ a la derecha y el ⊗ a la izquierda, el mismo módulo hacia abajo.

04 · El chequeo

Las unidades. ${\mu }_{0}I/r$ es (T·m/A)·A/m = T.

Una fórmula para cualquier altura. Con los alambres a $\pm a$ y P a altura $y$, cada flecha aporta su módulo por $a/r$ en vertical, y las dos juntas dan

$$B(y)=2·\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}·\frac{a}{r}=\frac{{\mu }_{0}Ia}{\pi (a^2+y^2)}$$

Con $a=5$ cm e $y=10$ cm da otra vez 1,60 µT. En $y=0$, entre los dos alambres, da 8 µT: el doble de los 4 µT que pone cada uno a 5 cm, porque ahí las dos flechas apuntan igual y se suman enteras. Y lejos cae como $1/y^2$, más rápido que el de un alambre solo: a 1 m son 0,0200 µT, ochenta veces menos que a 10 cm. De lejos, dos corrientes opuestas casi se cancelan.

Qué pasaba con el mismo sentido. Si los dos salieran, las flechas en P serían $(-\mathrm{1,60};\mathrm{0,80})$ y $(-\mathrm{1,60};-\mathrm{0,80})$: ahora se cancelan las verticales y queda 3,20 µT horizontal, hacia la izquierda. El sentido de las corrientes decide qué componente sobrevive.

05 · Lo que se lleva

Primero las flechas, después las cuentas. Dibujar en P la flecha de cada alambre, perpendicular a su radio y con el sentido de la mano derecha, dice antes de calcular nada qué componente se cancela. Con eso la cuenta se reduce a una componente por alambre.

El ángulo de la flecha es el del radio con la otra dirección. Como la flecha está girada 90° respecto del radio, el seno y el coseno se intercambian. Escribir la proporción con los catetos, 5/11,18 o 10/11,18, evita equivocarse de función.

Se suman flechas. Sumando los módulos habría dado 3,58 µT, más del doble del resultado. El modelo, con un widget para mover los alambres y el punto, está en el campo de un alambre.