La fuerza sobre un cable y el momento magnético

Una carga que se mueve dentro de un campo magnético siente una fuerza perpendicular a su velocidad. Un cable con corriente es eso mismo, multiplicado: una multitud de cargas que avanzan juntas por el metal. Cada una siente su fuerza, el metal no las deja escaparse por los costados, y la suma de todas empuja al cable entero. Es la fuerza que hace andar a cualquier motor eléctrico, y la que en los ejercicios estira dos resortes o empuja una varilla sobre dos rieles.

01 · De la carga al cable

Lo que ya se sabe. Sobre una carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec{v}$ en un campo $\vec{B}$ actúa la fuerza magnética

\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}

El símbolo $\times$ es el producto vectorial: de dos flechas arma una tercera, perpendicular a las dos, de módulo $v B sen φ$ , con $φ$ el ángulo entre ellas. Si $\vec{v}$ y $\vec{B}$ son paralelas, da cero; si son perpendiculares, da el producto de los módulos.

Qué es una corriente, mirada de cerca. Adentro de un cable hay cargas libres que, cuando hay corriente, avanzan todas a lo largo del cable con una velocidad promedio $v_{d}$ , la velocidad de deriva. Es lentísima, del orden de una fracción de milímetro por segundo, pero son muchísimas. Llamemos $n$ a cuántas hay por metro cúbico y $A$ a la sección del cable.

Paso 1: cuántas cargas hay en un tramo. Un tramo recto de largo $L$ tiene un volumen $A L$ , así que lleva $n A L$ cargas.

Paso 2: la fuerza sobre cada una. Todas se mueven igual, así que todas sienten la misma fuerza, $q {\vec{v}}_{d} \times \vec{B}$ .

Paso 3: sumar. La fuerza sobre el tramo es la de una carga por la cantidad de cargas:

\vec{F} = (n A L) q {\vec{v}}_{d} \times \vec{B}

Paso 4: reconocer la corriente. La corriente es cuánta carga cruza una sección por segundo. En un segundo cruzan las cargas que estaban a menos de $v_{d}$ metros de la sección, que son $n A v_{d}$ , así que $I = n q v_{d} A$ . Reagrupando el paso 3, aparece entera:

\vec{F} = I \vec{L} \times \vec{B}

donde $\vec{L}$ es un vector que mide lo que el tramo y apunta en el sentido de la corriente. Ya no aparecen ni las cargas ni su velocidad: alcanza con saber cuánta corriente pasa, por dónde y en qué campo. El módulo es

F = I L B sen φ

con $φ$ el ángulo entre el cable y el campo. Un cable paralelo a $\vec{B}$ no siente nada; uno perpendicular siente $I L B$ , que es el caso de casi todos los ejercicios. Para tener una escala: un metro de cable con 1 A, perpendicular a 1 T, siente 1 N. Un tesla es un campo enorme: el de un imán de heladera anda por los centésimos.

¿Y si las cargas son electrones? En un metal lo son: tienen carga negativa y avanzan al revés de la corriente. Pero en $q {\vec{v}}_{d}$ cambian de signo las dos cosas, y el producto sigue apuntando como la corriente. La fuerza sobre el cable es la misma con cualquiera de los dos portadores: la corriente ya trae el signo adentro.

02 · El sentido, con la mano derecha

Para dibujar campos perpendiculares a la hoja se usa una convención: ⊙ es una flecha que sale de la hoja hacia quien mira (se le ve la punta), y ⊗ una que entra (se le ven las plumas). Una región llena de cruces es un campo uniforme que entra en la hoja.

El sentido de $\vec{L} \times \vec{B}$ lo da la regla de la mano derecha: los dedos de la mano derecha apuntan como la corriente, se los cierra hacia $\vec{B}$ por el ángulo más corto, y el pulgar marca la fuerza. El orden importa: $\vec{B} \times \vec{L}$ da la fuerza al revés.

dedos hacia la derecha, cerrados hacia adentro de la hoja: el pulgar apunta hacia arriba

Cuando la mano se enreda, sirve hacerlo con ejes. Con $x$ hacia la derecha, $y$ hacia arriba y $z$ saliendo de la hoja, los productos de los versores van en rueda: $\hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}$ , $\hat{y} \times \hat{z} = \hat{x}$ , $\hat{z} \times \hat{x} = \hat{y}$ , y al revés cambian de signo. En la figura la corriente va por $\hat{x}$ y el campo por $- \hat{z}$ :

\hat{x} \times (- \hat{z}) = - (- \hat{y}) = \hat{y}

hacia arriba, como dice la mano. Invertir la corriente, o invertir el campo, da vuelta la fuerza; invertir las dos cosas la deja como estaba.

03 · Una espira no se traslada

Una espira es un cable cerrado sobre sí mismo, formando un lazo por el que circula la corriente: un rectángulo, un círculo. En un campo uniforme, cada lado siente su fuerza $I \vec{L} \times \vec{B}$ , pero los lados opuestos llevan la corriente en sentidos opuestos, así que sus fuerzas también son opuestas. La suma da cero. Y no por casualidad del rectángulo: recorriendo cualquier lazo cerrado, los vectores $\vec{L}$ de los tramos suman cero, porque se vuelve al punto de partida, y entonces

\sum I {\vec{L}}_{i} \times \vec{B} = I (\sum {\vec{L}}_{i}) \times \vec{B} = 0

Una espira en un campo uniforme no se traslada. Pero que la fuerza neta sea cero no quiere decir que no pase nada. La figura muestra una espira rectangular en el plano de la hoja, con el campo también en el plano, hacia la derecha:

el lado izquierdo sale de la hoja, el derecho entra: la espira gira alrededor del eje

Los lados de arriba y de abajo son paralelos al campo y no sienten nada. Los otros dos sienten fuerzas iguales y opuestas, pero no sobre la misma recta: una empuja el lado izquierdo hacia afuera de la hoja y la otra el derecho hacia adentro. Dos fuerzas así forman un par, y un par no traslada: hace girar.

04 · El torque y el momento magnético

Qué es un torque. Lo que hace girar no es la fuerza sola sino la fuerza por su brazo: la distancia del eje de giro a la recta sobre la que actúa la fuerza. Es por qué una puerta se abre fácil empujando lejos de las bisagras y no se mueve empujando en ellas. Esa cantidad, fuerza por brazo, es el torque $τ$ , en N·m.

La espira rectangular. Sean $a$ el largo de los dos lados paralelos al eje y $b$ el de los otros dos, y sea $θ$ el ángulo entre el campo y la normal de la espira, la recta perpendicular a su plano. En la figura de arriba $θ = 90 °$ : la normal sale de la hoja y el campo está en ella.

Paso 1: las fuerzas. Al girar alrededor del eje, los lados $a$ siguen siempre perpendiculares a $\vec{B}$ , así que cada uno siente $F = I a B$ en cualquier posición. Los lados $b$ sienten fuerzas a lo largo del eje, iguales, opuestas y sobre la misma recta: no hacen nada.

Paso 2: el brazo. Cada lado $a$ está a $b / 2$ del eje, pero la fuerza no siempre es perpendicular a esa distancia. Mirando la espira de canto, el brazo es $(b / 2) sen θ$ : el máximo cuando el campo está en el plano de la espira, cero cuando es perpendicular a ella.

Paso 3: sumar los dos lados. Los dos torques hacen girar para el mismo lado, así que se suman:

τ = 2 \cdot I a B \cdot \frac{b}{2} sen θ = I (a b) B sen θ

y $a b$ es el área $A$ de la espira. Con una bobina de $N$ vueltas iguales, cada vuelta pone lo suyo y el torque se multiplica por $N$ .

Paso 4: lo que importa de la espira, en un solo número. Todo lo que la espira aporta queda junto en el momento magnético:

μ = N I A τ = μ B sen θ

en A·m². Es un vector: perpendicular a la espira, con el sentido que da la mano derecha cuando los dedos se cierran siguiendo la corriente; en la figura, la corriente va antihoraria y $\vec{μ}$ sale de la hoja. En forma vectorial, $\vec{τ} = \vec{μ} \times \vec{B}$ , y $θ$ es el ángulo entre $\vec{μ}$ y $\vec{B}$ . La cuenta se hizo con un rectángulo, pero vale para una espira plana de cualquier forma, con $A$ su área: un círculo de radio $r$ pone $A = π r^{2}$ .

Qué hace ese torque. Gira la espira para llevar $\vec{μ}$ hacia $\vec{B}$ . Con $θ = 0$ ya llegó: el torque es cero y, si se la tuerce un poco, vuelve; es un equilibrio estable. Con $θ = 180 °$ el torque también es cero, pero el menor empujón la da vuelta. Y con $θ = 90 °$ , el campo en el plano de la espira, el torque es el máximo, $μ B$ . Una aguja de brújula hace exactamente esto: es un momento magnético que se alinea con el campo. Un motor de corriente continua es una espira a la que se le invierte la corriente cada media vuelta, justo antes de llegar al equilibrio, para que siga girando.

En el widget, la espira se ve de canto, mirando a lo largo del eje: los dos lados $a$ , los que sienten fuerza, son los dos puntos de los extremos, con la corriente saliendo por uno (⊙) y entrando por el otro (⊗).

Arranca con la normal paralela al campo. Antes de mover nada, apostá: ¿los dos lados sienten fuerza en esta posición? Después girá la espira de a poco hasta los 90° y mirá qué cambia y qué no. Por último pasá los 180°.

Las fuerzas valen 0,2 N en cualquier posición: $I a B = 2 \cdot 0,2 \cdot 0,5$ . Con $θ = 0$ están ahí, enteras, pero sobre la misma recta vertical que pasa por el eje: brazo cero, torque cero. Lo único que cambia al girar es el brazo, y con él el torque. El momento es $μ = 2 \cdot 0,02 = 0,04$ A·m², y el torque llega a $μ B = 0,02$ N·m en 90°. En 30° es justo la mitad, 0,01 N·m, porque $sen 30 ° = 1 / 2$ . Pasados los 180° el torque cambia de sentido: siempre empuja $\vec{μ}$ hacia $\vec{B}$ por el camino más corto.

05 · En los ejercicios

Hay dos tipos de problema, y los dos empiezan igual: identificar el tramo de cable que está en el campo, con su largo y el sentido de su corriente.

Un tramo recto. El módulo con $I L B sen φ$ , el sentido con la mano derecha, y después Newton con las otras fuerzas del problema. En la barra colgada de dos resortes la fuerza magnética se equilibra con dos resortes, y el sentido de la corriente se elige para que empuje hacia abajo. En la varilla sobre los rieles del parcial 2025 no hay nada que la equilibre: la fuerza acelera la varilla, y el resto es cinemática.

Una espira. Primero el área, después $μ = N I A$ , después el ángulo entre la normal y el campo, y recién ahí $τ = μ B sen θ$ . En la espira de dos metros el dato es el perímetro y el campo es paralelo al plano: el torque es el máximo.

Los errores que aparecen:

El ángulo con el plano. En $τ = μ B sen θ$ , $θ$ se mide desde la normal. «Campo paralelo al plano» es $θ = 90 °$ y torque máximo; «campo perpendicular al plano» es $θ = 0$ y torque cero.
El perímetro por el área. «Dos metros de circunferencia» es el largo del cable, no lo que encierra: hay que pasar por el radio.
Olvidarse de $N$ . Una bobina de 500 vueltas tiene un momento 500 veces el de una vuelta.
Buscar una fuerza neta sobre la espira. En un campo uniforme es cero siempre. Lo que hay es torque.
El largo equivocado. En $I L B$ , $L$ es el tramo por el que pasa corriente y que está dentro del campo. En la varilla sobre rieles es la separación entre los rieles, no el largo de los rieles.
El orden del producto. Es $\vec{L} \times \vec{B}$ , de la corriente hacia el campo. Al revés, la fuerza sale apuntando para el otro lado con el módulo correcto, y es el error más difícil de ver.

Para tener a mano

$\vec{F} = I \vec{L} \times \vec{B}$ , con $\vec{L}$ en el sentido de la corriente: es la suma de las $q \vec{v} \times \vec{B}$ de las cargas que circulan. Módulo $I L B sen φ$ .
El sentido: dedos con la corriente, cerrados hacia $\vec{B}$ , pulgar en la fuerza. ⊙ sale de la hoja, ⊗ entra.
Una espira en un campo uniforme: fuerza neta cero, torque $τ = μ B sen θ$ .
$μ = N I A$ , perpendicular a la espira, por la mano derecha con la corriente. $θ$ es el ángulo entre $\vec{μ}$ y $\vec{B}$ .
El torque lleva $\vec{μ}$ hacia $\vec{B}$ : máximo con el campo en el plano, cero con el campo perpendicular.
$1 T = 1 N/(A·m)$ ; el momento va en A·m² y el torque en N·m.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2, capítulo 27, «Campo magnético y fuerzas magnéticas»: la sección 27.6 es la fuerza sobre un conductor que transporta corriente, y la 27.7, la fuerza y el torque sobre una espira, con la prueba para una espira de cualquier forma; la 27.8 es el motor de corriente continua. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 28, secciones 28.4 («Fuerza magnética que actúa sobre un conductor que transporta corriente») y 28.5 («Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme»).