Equivalentes en una sola estructura alcanza

El enunciado, textual: «Sean ${\phi }_1,{\phi }_2\in F^{\tau }$. Supongamos $𝐀$ una estructura de tipo $\tau$ tal que $𝐀\models {\phi }_1[\overrightarrow{a}]$ si y solo si $𝐀\models {\phi }_2[\overrightarrow{a}]$, para cada $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$. Sea $\alpha \in F^{\tau }$ y sea $\overline{\alpha }$ = resultado de reemplazar en $\alpha$ una ocurrencia de ${\phi }_1$ por ${\phi }_2$. Acepte sin demostración que $\overline{\alpha }\in F^{\tau }$. Pruebe que entonces (a) $𝐀\models \alpha [\overrightarrow{a}]$ si y solo si $𝐀\models \overline{\alpha }[\overrightarrow{a}]$, para cada $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$.» Es el Ejercicio 14 de la Guía 10 (p. 9–10).

Es el Ejercicio 9 con dos cambios. La hipótesis es más débil: ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ dicen lo mismo en una estructura, no en todas. Y la conclusión también: $\alpha$ y $\overline{\alpha }$ dicen lo mismo en esa estructura. Se reemplaza una sola ocurrencia.

01 · Qué pide, en criollo

Dos fórmulas pueden no ser equivalentes y, sin embargo, decir lo mismo en una estructura particular. Con un tipo que tiene una relación unaria $\mathrm{P}$ y una binaria $\mathrm{R}$, tomemos

$${\phi }_1=\mathrm{P}(\mathrm{X}1){\phi }_2=(\mathrm{X}1\equiv \mathrm{X}1)$$

${\phi }_2$ es verdadera siempre; ${\phi }_1$, sólo cuando $\mathrm{X}1$ vale algo que está en $\mathrm{P}$. No son equivalentes. Pero en una estructura $𝐀$ donde $\mathrm{P}$ se interpreta como todo el universo, las dos son verdaderas para toda asignación, y el ejercicio dice que dentro de $𝐀$ se puede cambiar una por la otra. Con $A=\{0,1\}$, $i(\mathrm{P})=\{0,1\}$ e $i(\mathrm{R})=\{(0,0),(1,1)\}$, la fórmula

$$\alpha =\exists \mathrm{X}1(\mathrm{R}(\mathrm{X}1,\mathrm{X}2)\wedge \mathrm{P}(\mathrm{X}1))$$ $$\overline{\alpha }=\exists \mathrm{X}1(\mathrm{R}(\mathrm{X}1,\mathrm{X}2)\wedge (\mathrm{X}1\equiv \mathrm{X}1))$$

da lo mismo en las cuatro asignaciones $(a_1,a_2)$: las dos fórmulas son verdaderas en las cuatro.

La trampa está en «para cada $\overrightarrow{a}$». Tomemos ahora la estructura $𝐁$ con $B=\{0,1\}$, $i(\mathrm{P})=\{1\}$ e $i(\mathrm{R})=\{(0,0),(0,1)\}$, y la asignación $\overrightarrow{b}$ con $b_1=1$, $b_2=0$. En $\overrightarrow{b}$, ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ son las dos verdaderas, porque $1\in i(\mathrm{P})$. Pero $𝐁⊭\alpha [\overrightarrow{b}]$ y $𝐁\models \overline{\alpha }[\overrightarrow{b}]$: el $\exists \mathrm{X}1$ busca un $a$ con $(a,0)\in i(\mathrm{R})$, el único es $a=0$, y ahí ${\phi }_1$ es falsa y ${\phi }_2$ verdadera. Que ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ coincidan en $\overrightarrow{b}$ no dice nada de lo que pasa en ${\downarrow }_1^0(\overrightarrow{b})$, que es donde el cuantificador las evalúa.

02 · Las herramientas

Se pueden usar sin enunciar los lemas Menú y la lectura única. Lo demás se enuncia, y se prueba salvo lo que la guía acepta sin prueba.

Las cláusulas de la relación ⊨ (Guía 10, p. 4), para $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$: (3) $𝐀\models (\phi \wedge \psi )[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ y $𝐀\models \psi [\overrightarrow{a}]$; (4) $𝐀\models (\phi \vee \psi )[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$ o $𝐀\models \psi [\overrightarrow{a}]$; (5) $𝐀\models (\phi \to \psi )[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀⊭\phi [\overrightarrow{a}]$ o $𝐀\models \psi [\overrightarrow{a}]$; (6) $𝐀\models (\phi \leftrightarrow \psi )[\overrightarrow{a}]$ sii se dan las dos o no se da ninguna de $𝐀\models \phi [\overrightarrow{a}]$, $𝐀\models \psi [\overrightarrow{a}]$; (7) $𝐀\models \neg \phi [\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀⊭\phi [\overrightarrow{a}]$; (8) $𝐀\models \forall x_i\phi [\overrightarrow{a}]$ sii para cada $a\in A$, $𝐀\models \phi [{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$; (9) $𝐀\models \exists x_i\phi [\overrightarrow{a}]$ sii hay un $a\in A$ con $𝐀\models \phi [{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$.

Lema 8 de la Guía 9 (Ocurrencias de Fórmulas en Fórmulas, p. 13), los incisos que se usan. Sean $\phi ,\psi ,\varphi \in F^{\tau }$. (a) Las fórmulas atómicas no tienen subfórmulas propias. (b) Si $\phi \ne (\psi \eta \varphi )$ y $\phi$ ocurre en $(\psi \eta \varphi )$, entonces tal ocurrencia sucede en $\psi$ o en $\varphi$. (c) Si $\phi \ne \neg \psi$ y $\phi$ ocurre en $\neg \psi$, entonces tal ocurrencia sucede en $\psi$. (d) Si $\phi \ne Qv\psi$ y $\phi$ ocurre en $Qv\psi$, entonces tal ocurrencia sucede en $\psi$. La Guía 9 no los prueba; la prueba está en la sección 04.

Para probarlos se usan dos resultados que la Guía 9 acepta sin prueba: la Proposición 6 (Mordisqueo de Fórmulas, p. 12), «si $\phi ,\psi \in F^{\tau }$ y $x,y,z$ son tales que $\phi =xy$, $\psi =yz$ y $y\ne \epsilon$, entonces $z=\epsilon$ y $x\in T^{*}$; en particular ningún tramo inicial propio de una fórmula es una fórmula», y el «en particular» del Lema 2 (Mordisqueo de Términos, p. 5): si un término es tramo inicial o final de otro término, son iguales.

El Lema 4(b) de la Guía 10 no sirve acá: habla de fórmulas equivalentes, en todas las estructuras, y la hipótesis de este ejercicio es sobre una sola. Cada caso del paso se hace a mano, con la cláusula de $\models$ que corresponde.

03 · La mariposa: la estructura fija, la asignación adentro

La inducción. Como en el Ejercicio 9, en el nivel de $\alpha$: la ocurrencia reemplazada baja por la fórmula con el lema de ocurrencias, y la conclusión sube caso por caso. Si la ocurrencia reemplazada es $\alpha$ entera, $\overline{\alpha }={\phi }_2$ y la conclusión es la hipótesis.

Qué va adentro de ${\mathrm{Enu}}_k$ y qué afuera. $𝐀$, ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ son las del enunciado y no cambian en toda la prueba: se fijan afuera. La asignación, en cambio, va adentro, cuantificada:

${\mathrm{Enu}}_k$: si $\alpha \in F_k^{\tau }$, ${\phi }_1$ ocurre en $\alpha$ y $\overline{\alpha }$ es el resultado de reemplazar en $\alpha$ una ocurrencia de ${\phi }_1$ por ${\phi }_2$, entonces $𝐀\models \alpha [\overrightarrow{a}]$ si y solo si $𝐀\models \overline{\alpha }[\overrightarrow{a}]$, para cada $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$.

La razón es el caso $\alpha =\forall x_i{\alpha }_1$. Para decidir $𝐀\models \forall x_i{\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$, la cláusula (8) mira ${\alpha }_1$ en las asignaciones ${\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})$, una por cada $a\in A$, y la hipótesis inductiva tiene que hablar de esas asignaciones, que no son $\overrightarrow{a}$. Si ${\mathrm{Enu}}_k$ fuera «$𝐀\models \alpha [\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀\models \overline{\alpha }[\overrightarrow{a}]$» para una $\overrightarrow{a}$ fijada antes de la inducción, la hipótesis inductiva diría algo de ${\alpha }_1$ sólo en $\overrightarrow{a}$, y el caso $\forall$ no se podría cerrar.

Y no es una cuestión de redacción: el enunciado con una sola asignación es falso. Es el ejemplo de la estructura $𝐁$ de la sección 01: ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ coinciden en $\overrightarrow{b}$, y $\alpha$ y $\overline{\alpha }$ no. Por eso también la hipótesis del ejercicio dice «para cada $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$»: el caso $\forall$ la usa en ${\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})$, igual que a la hipótesis inductiva.

El cuantificador sólo molesta si cambia una variable que importa. Con $\forall \mathrm{X}2$ delante de una fórmula donde ${\phi }_1=\mathrm{P}(\mathrm{X}1)$ sólo mira $\mathrm{X}1$, las asignaciones ${\downarrow }_2^a(\overrightarrow{a})$ le dan a $\mathrm{X}1$ el mismo valor que $\overrightarrow{a}$, y en $𝐁$ la comparación fila por fila sigue funcionando. Abajo se ve la tabla de las asignaciones $(a_1,a_2)$ de una estructura de dos elementos, con las cuatro fórmulas evaluadas.

En $𝐀$ las columnas de ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ son iguales, y entonces también las de $\alpha$ y $\overline{\alpha }$, con cualquiera de las tres $\alpha$: es el ejercicio. En $𝐁$ difieren en las filas con $a_1=0$. Con $\exists \mathrm{X}1$ delante aparecen filas, las de $a_1=1$, donde ${\phi }_1$ y ${\phi }_2$ coinciden y $\alpha$ y $\overline{\alpha }$ no: el cuantificador las evaluó en otra fila.

04 · Las ocurrencias, probadas

Dos hechos previos. Por el Menú, toda fórmula empieza con $($, con un símbolo de un nombre de relación, con $\neg$ o con un cuantificador; los nombres del tipo no usan nexos, paréntesis, la $X$ ni numerales itálicos o negritas, así que ninguna fórmula empieza con un nexo, con $)$, con la $X$ ni con un numeral. Y por la Proposición 6, dos fórmulas que ocurren a partir de la misma posición son la misma ocurrencia.

• (b) Sea $\phi \ne (\psi \eta \varphi )$ que ocurre en $(\psi \eta \varphi )$ a partir de $i$. No es $i=1$, porque $\phi$ y $(\psi \eta \varphi )$ serían la misma ocurrencia; no es la posición de $\eta$ ni la última, porque ninguna fórmula empieza con nexo ni con $)$. Si $i$ es una posición de $\psi$ y la ocurrencia no terminara dentro de $\psi$, llamando $x$ a los símbolos de $\psi$ antes de $i$, $y$ a los de $\psi$ desde $i$ y $z$ a los de $\phi$ después del final de $\psi$, quedaría $\psi =xy$, $\phi =yz$, $y\ne \epsilon$ y $z\ne \epsilon$, contra la Proposición 6. Igual si $i$ es una posición de $\varphi$. ∎
• (c) y (d) Sea $\phi \ne \neg \psi$ (o $\phi \ne Qv\psi$) que ocurre a partir de $i$. No es $i=1$, por lo mismo; en (d) tampoco es una posición de $v$, porque ahí hay una $X$ o un numeral. Entonces $i$ es una posición de $\psi$, y como $\psi$ llega hasta el final, la ocurrencia sucede en $\psi$. ∎
• (a) Sean $\alpha$ atómica y $\phi$ que ocurre en $\alpha$ a partir de $i$. $\alpha$ no tiene $\neg$, cuantificadores ni nexos, y por lectura única una fórmula no atómica tiene alguno, así que $\phi$ es atómica. Si $\alpha =r(t_1,\dots ,t_n)$, $\alpha$ no tiene $\equiv$ y $\phi =r^{\prime }(s_1,\dots ,s_m)$; los símbolos de nombres de relación de $\alpha$ son los de $r$, seguidos del primer $($, así que $r^{\prime }$ es tramo final de $r$, y como ningún nombre de relación es subpalabra propia de otro, $r^{\prime }=r$, $i=1$ y $\phi =\alpha$. Si $\alpha =(t\equiv s)$, no tiene símbolos de relación y $\phi =(t^{\prime }\equiv s^{\prime })$, que contiene el único $\equiv$ de $\alpha$; si $i>1$, $t^{\prime }$ sería tramo final propio de $t$, contra el Lema 2; luego $i=1$ y $\phi =\alpha$. ∎

Y si ${\phi }_1=\alpha$, la única ocurrencia de ${\phi }_1$ en $\alpha$ es la de $\alpha$ entera, a partir de 1: no hay lugar para otra del mismo largo.

05 · El escarabajo

Prueba. Fijemos ${\phi }_1$, ${\phi }_2$ y $𝐀$ como en el enunciado. Usaremos la Regla de Inducción desde 0. Para cada $k\in \omega$ sea ${\mathrm{Enu}}_k$ el enunciado:

${\mathrm{Enu}}_k$: si $\alpha \in F_k^{\tau }$, ${\phi }_1$ ocurre en $\alpha$ y $\overline{\alpha }$ es el resultado de reemplazar en $\alpha$ una ocurrencia de ${\phi }_1$ por ${\phi }_2$, entonces $𝐀\models \alpha [\overrightarrow{a}]$ si y solo si $𝐀\models \overline{\alpha }[\overrightarrow{a}]$, para cada $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$.

Prueba de que ${\mathrm{Enu}}_0$ es verdadero. Sea $\alpha \in F_0^{\tau }$ en la que ocurre ${\phi }_1$, y $\overline{\alpha }$ como en el enunciado. Por el Lema 8(a) de la Guía 9, ${\phi }_1=\alpha$, y la ocurrencia reemplazada es la de $\alpha$ entera. Entonces $\overline{\alpha }={\phi }_2$, y para cada $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$, $𝐀\models \alpha [\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀\models {\phi }_1[\overrightarrow{a}]$ sii, por hipótesis, $𝐀\models {\phi }_2[\overrightarrow{a}]$, es decir $𝐀\models \overline{\alpha }[\overrightarrow{a}]$.

Prueba de que si ${\mathrm{Enu}}_k$ es verdadero entonces ${\mathrm{Enu}}_{k+1}$ lo es. Supongamos que vale ${\mathrm{Enu}}_k$. Sean $\alpha \in F_{k+1}^{\tau }$ en la que ocurre ${\phi }_1$ y $\overline{\alpha }$ el resultado de reemplazar en $\alpha$ una ocurrencia de ${\phi }_1$ por ${\phi }_2$. Si esa ocurrencia es la de $\alpha$ entera, $\overline{\alpha }={\phi }_2$ y se concluye con la hipótesis, como en la base. Supongamos entonces que no lo es; en particular ${\phi }_1\ne \alpha$. Por definición de $F_{k+1}^{\tau }$ hay varios casos.

• Caso $\alpha \in F_k^{\tau }$. Ya que vale ${\mathrm{Enu}}_k$, se da la conclusión.
• Caso $\alpha =({\alpha }_1\eta {\alpha }_2)$, con ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in F_k^{\tau }$. Por el Lema 8(b), la ocurrencia reemplazada sucede en ${\alpha }_1$ o en ${\alpha }_2$. Supongamos que en ${\alpha }_1$, y sea ${\overline{\alpha }}_1$ el resultado de reemplazarla en ${\alpha }_1$ por ${\phi }_2$; entonces $\overline{\alpha }=({\overline{\alpha }}_1\eta {\alpha }_2)$. Como ${\alpha }_1\in F_k^{\tau }$, por ${\mathrm{Enu}}_k$, para cada $\overrightarrow{a}$: $𝐀\models {\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀\models {\overline{\alpha }}_1[\overrightarrow{a}]$. Sea $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$.
  • $\eta =\wedge$: por (3), $𝐀\models ({\alpha }_1\wedge {\alpha }_2)[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀\models {\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$ y $𝐀\models {\alpha }_2[\overrightarrow{a}]$, sii $𝐀\models {\overline{\alpha }}_1[\overrightarrow{a}]$ y $𝐀\models {\alpha }_2[\overrightarrow{a}]$, sii $𝐀\models ({\overline{\alpha }}_1\wedge {\alpha }_2)[\overrightarrow{a}]$.
  • $\eta =\vee$: por (4), $𝐀\models ({\alpha }_1\vee {\alpha }_2)[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀\models {\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$ o $𝐀\models {\alpha }_2[\overrightarrow{a}]$, sii $𝐀\models {\overline{\alpha }}_1[\overrightarrow{a}]$ o $𝐀\models {\alpha }_2[\overrightarrow{a}]$, sii $𝐀\models ({\overline{\alpha }}_1\vee {\alpha }_2)[\overrightarrow{a}]$.
  • $\eta =\to$: por (5), $𝐀\models ({\alpha }_1\to {\alpha }_2)[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀⊭{\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$ o $𝐀\models {\alpha }_2[\overrightarrow{a}]$, sii $𝐀⊭{\overline{\alpha }}_1[\overrightarrow{a}]$ o $𝐀\models {\alpha }_2[\overrightarrow{a}]$, sii $𝐀\models ({\overline{\alpha }}_1\to {\alpha }_2)[\overrightarrow{a}]$.
  • $\eta =\leftrightarrow$: por (6), $𝐀\models ({\alpha }_1\leftrightarrow {\alpha }_2)[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀\models {\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$ y $𝐀\models {\alpha }_2[\overrightarrow{a}]$ se dan las dos o ninguna, sii lo mismo pasa con $𝐀\models {\overline{\alpha }}_1[\overrightarrow{a}]$ y $𝐀\models {\alpha }_2[\overrightarrow{a}]$, sii $𝐀\models ({\overline{\alpha }}_1\leftrightarrow {\alpha }_2)[\overrightarrow{a}]$.
  Si la ocurrencia sucede en ${\alpha }_2$, es lo mismo con $\overline{\alpha }=({\alpha }_1\eta {\overline{\alpha }}_2)$ y ${\mathrm{Enu}}_k$ aplicado a ${\alpha }_2$.
• Caso $\alpha =\neg {\alpha }_1$, con ${\alpha }_1\in F_k^{\tau }$. Por el Lema 8(c), la ocurrencia sucede en ${\alpha }_1$, y $\overline{\alpha }=\neg {\overline{\alpha }}_1$. Para cada $\overrightarrow{a}$, por (7) y ${\mathrm{Enu}}_k$: $𝐀\models \neg {\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀⊭{\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀⊭{\overline{\alpha }}_1[\overrightarrow{a}]$ sii $𝐀\models \neg {\overline{\alpha }}_1[\overrightarrow{a}]$.
• Caso $\alpha =\forall x_i{\alpha }_1$, con ${\alpha }_1\in F_k^{\tau }$. Por el Lema 8(d), la ocurrencia sucede en ${\alpha }_1$, y $\overline{\alpha }=\forall x_i{\overline{\alpha }}_1$. Sea $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$. Por (8), $𝐀\models \forall x_i{\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$ sii para cada $a\in A$, $𝐀\models {\alpha }_1[{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$. Para cada $a$, ${\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})\in A^{𝐍}$, y ${\mathrm{Enu}}_k$ vale para toda asignación: $𝐀\models {\alpha }_1[{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$ sii $𝐀\models {\overline{\alpha }}_1[{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$. Luego lo anterior vale sii para cada $a\in A$, $𝐀\models {\overline{\alpha }}_1[{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$, sii, por (8), $𝐀\models \forall x_i{\overline{\alpha }}_1[\overrightarrow{a}]$.
• Caso $\alpha =\exists x_i{\alpha }_1$, con ${\alpha }_1\in F_k^{\tau }$. Por el Lema 8(d), $\overline{\alpha }=\exists x_i{\overline{\alpha }}_1$. Para cada $\overrightarrow{a}$, por (9), $𝐀\models \exists x_i{\alpha }_1[\overrightarrow{a}]$ sii hay un $a\in A$ con $𝐀\models {\alpha }_1[{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$, sii, por ${\mathrm{Enu}}_k$ en la asignación ${\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})$, hay un $a\in A$ con $𝐀\models {\overline{\alpha }}_1[{\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})]$, sii, por (9), $𝐀\models \exists x_i{\overline{\alpha }}_1[\overrightarrow{a}]$.

Por la Regla de Inducción desde 0, ${\mathrm{Enu}}_k$ vale para todo $k\in \omega$, y como toda fórmula está en algún $F_k^{\tau }$, vale (a). ∎

06 · Lo que hace perder puntos, y lo que se lleva

Lo que hace perder puntos. Fijar $\overrightarrow{a}$ antes de la inducción, o escribir ${\mathrm{Enu}}_k$ sin «para cada $\overrightarrow{a}$»: el caso $\forall$ queda sin hipótesis inductiva, y el enunciado con una sola asignación es falso. Citar el Lema 4(b) o el Lema 5 de la Guía 10: hablan de equivalencia en todas las estructuras, y acá la hipótesis es sobre una. Olvidar el caso en que la ocurrencia reemplazada es $\alpha$ entera. Usar el lema de ocurrencias de la Guía 9 sin enunciarlo. Y escribir los nexos como «similar»: son cuatro renglones, uno por cláusula.

Lo que se lleva. El Ejercicio 9 es este mismo argumento con la estructura también cuantificada, y por eso puede resumir cada caso con el Lema 4(b). El Ejercicio 13 es este con un término en lugar de una fórmula, y la misma razón obliga a cuantificar $\overrightarrow{a}$ adentro. Y la misma cuenta con ${\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})$ es el caso cuantificador del 14 y del 15.

Para tener a mano

1. $𝐀$, ${\phi }_1$, ${\phi }_2$ afuera; $\alpha$, la ocurrencia y «para cada $\overrightarrow{a}\in A^{𝐍}$» adentro de ${\mathrm{Enu}}_k$.
2. El caso $\forall x_i{\alpha }_1$ (y el $\exists$) aplica ${\mathrm{Enu}}_k$ en ${\downarrow }_i^a(\overrightarrow{a})$, no en $\overrightarrow{a}$.
3. Con una sola asignación es falso: en $𝐁$, ${\phi }_1=\mathrm{P}(\mathrm{X}1)$ y ${\phi }_2=(\mathrm{X}1\equiv \mathrm{X}1)$ coinciden en $(1,0,\dots )$, y $\exists \mathrm{X}1(\mathrm{R}(\mathrm{X}1,\mathrm{X}2)\wedge \mathrm{P}(\mathrm{X}1))$ y su reemplazo no.
4. No se cita el Lema 4(b): cada caso del paso se escribe con su cláusula de $\models$.
5. La ocurrencia baja con el Lema 8 de la Guía 9, (a) en la base y (b), (c), (d) en el paso.