El campo eléctrico · Física 1

La ley de Coulomb da la fuerza entre dos cargas, y en principio alcanza para todo: con muchas cargas, se suman las fuerzas de a pares. El campo eléctrico no agrega física nueva a eso. Lo que hace es partir la cuenta en dos mitades, y esa partición es la que usan casi todos los ejercicios del práctico.

01 · Por qué inventar el campo

Una carga $Q$ está fija en algún lugar. En un punto $P$ se pone otra carga, chica, $q_{0}$ , y se mide la fuerza que siente. Si se pone el doble de carga, la fuerza se duplica: Coulomb es proporcional a cada una de las dos cargas. Si se le cambia el signo, la fuerza se da vuelta. Lo único que no cambia en ese experimento es el cociente entre la fuerza y la carga que se puso, y ese cociente depende sólo de $Q$ y de dónde está $P$ . Es una propiedad del lugar, no de quien se pone ahí.

Ese cociente es el campo eléctrico en $P$ :

\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_{0}}

La carga $q_{0}$ se llama carga de prueba: es la que se usa para medir, no la que crea nada. Se la piensa positiva, por convención, para que $\vec{E}$ apunte hacia donde ella sería empujada; y chica, para que su propia fuerza no mueva de lugar a las cargas que se están midiendo. El campo es un vector en cada punto del espacio, y se mide en newtons por coulomb, N/C.

La ventaja está en la separación. Unas cargas, las fuentes, crean el campo en todo el espacio; otra carga, puesta en un punto, lo siente. Las dos cosas pasan a ser dos cuentas distintas: primero el campo de las fuentes, que no sabe nada de quién se va a poner después; después la fuerza sobre la carga que se puso. El mismo campo sirve para un electrón, para un protón o para una partícula alfa, sin rehacer nada.

02 · El campo de una carga puntual

Una carga puntual $q$ empuja a la carga de prueba con la fuerza de Coulomb, $k q q_{0} / r^{2}$ , a lo largo de la recta que las une. Dividiendo por $q_{0}$ :

\vec{E} = k \frac{q}{r^{2}} \hat{r}, k = \frac{1}{4 π ε_{0}} = 8,99 \cdot 10^{9}

en N·m²/C². $r$ es la distancia de la carga al punto, y $\hat{r}$ es el versor que va de la carga hacia el punto: un vector de largo uno que sólo dice la dirección. Con $q > 0$ el campo tiene el sentido de $\hat{r}$ y apunta hacia afuera, alejándose de la carga. Con $q < 0$ el signo lo da vuelta y apunta hacia la carga. El módulo es $k | q | / r^{2}$ : a doble distancia, la cuarta parte.

El Ejercicio 1 del práctico pide el campo a 12 cm de una carga de $- 4 \cdot 10^{- 9}$ C. Con la distancia en metros:

E = \frac{(8,99 \cdot 10^{9}) (4 \cdot 10^{- 9})}{{(0,12)}^{2}} = \frac{35,96}{0,0144} = 2,50 \cdot 10^{3}

en N/C, y como la carga es negativa, apunta hacia ella.

03 · Superposición: los campos se suman como vectores

Con varias cargas, cada una crea su campo como si las otras no estuvieran, y el campo total en un punto es la suma de todos:

\vec{E} = \sum_{i} k \frac{q_{i}}{r_{i}^{2}} {\hat{r}}_{i}

La suma es de vectores. En la práctica eso quiere decir componente por componente: se descompone cada campo en $x$ y en $y$ , y se suman por separado las $x$ entre sí y las $y$ entre sí. Lo que no se suma nunca son los módulos.

En el Ejercicio 2 hay tres cargas en fila, separadas 0,5 m: $q_{1} = 1$ µC en $x = 0$ , $q_{2} = - 2$ µC en el medio y $q_{3} = 3$ µC en $x = 1$ m. El campo en la posición de $q_{2}$ lo hacen las otras dos. $q_{1}$ es positiva y está a la izquierda: su campo sale de ella, hacia $+ x$ . $q_{3}$ es positiva y está a la derecha: su campo también sale de ella, hacia $- x$ .

\begin{array}{l} E_{1 x} = + \frac{k (1 \cdot 10^{- 6})}{{(0,5)}^{2}} = + 3,60 \cdot 10^{4} \\ E_{3 x} = - \frac{k (3 \cdot 10^{- 6})}{{(0,5)}^{2}} = - 1,08 \cdot 10^{5} \\ E_{x} = E_{1 x} + E_{3 x} = - 7,19 \cdot 10^{4} \end{array}

en N/C. Gana $q_{3}$ , que tiene el triple de carga a la misma distancia, y el campo en el medio apunta hacia $q_{1}$ . Sumando los módulos daría 1,44·10⁵ N/C, el doble del resultado y para ningún lado en particular.

04 · El campo «en la posición de una carga» es el de las otras

El Ejercicio 2 pide el campo «en la posición de cada carga». Ahí hay una carga, y su propio campo en su propio lugar no tiene sentido: la fórmula de la carga puntual divide por $r^{2} = 0$ . Tampoco hace falta, porque una carga no se empuja a sí misma. El campo que importa en ese punto es el de todas las demás, y es el que, multiplicado por la carga que está ahí, da la fuerza que ella siente.

Por eso el campo de la sección anterior no cuenta a $q_{2}$ , y la fuerza sobre ella sale de una multiplicación:

F_{2 x} = q_{2} E_{x} = (- 2 \cdot 10^{- 6}) (- 7,19 \cdot 10^{4}) = + 0,144

en newtons, hacia $+ x$ . Es lo mismo que daría sumar las dos fuerzas de Coulomb sobre $q_{2}$ : la atrae $q_{3}$ hacia la derecha más fuerte de lo que la atrae $q_{1}$ hacia la izquierda.

05 · F = qE, y el signo de q

Despejando la definición, una carga $q$ puesta donde hay un campo $\vec{E}$ siente

\vec{F} = q \vec{E}

El signo de $q$ va adentro de la cuenta y decide el sentido. Con $q > 0$ la fuerza apunta como el campo; con $q < 0$ , al revés. El módulo es $| q | E$ en los dos casos.

En el Ejercicio 1, un electrón puesto a 12 cm de la carga de $- 4$ nC siente una fuerza de módulo $(1,6 \cdot 10^{- 19}) (2,50 \cdot 10^{3}) = 4,0 \cdot 10^{- 16}$ N. El campo apunta hacia la carga; el electrón es negativo, así que la fuerza apunta al revés, alejándolo. Se puede verificar sin campo: dos cargas negativas se repelen.

En el Ejercicio 4, en el centro de un cuadrado con dos cargas positivas a la izquierda y dos negativas a la derecha, el campo vale $2,44 \cdot 10^{6}$ N/C y apunta hacia las negativas. Una carga de $+ 3$ µC puesta ahí siente $(3 \cdot 10^{- 6}) (2,44 \cdot 10^{6}) = 7,32$ N hacia ese mismo lado; una de $- 3$ µC sentiría lo mismo hacia el otro. La carga que se pone no cambia el campo del lugar: el campo es de las fuentes.

Arranca con una sola carga, y la flecha azul es la de la sección 02. Prendé $q_{2}$ con el mismo valor que $q_{1}$ y buscá con la sonda un lugar donde la flecha azul desaparezca: las dos punteadas tienen que quedar iguales y opuestas. Después dale a $q_{2}$ el signo contrario y volvé a buscar. Al final poné una carga negativa en la sonda y mirá hacia dónde la empuja el campo.

06 · Cómo se usa en los ejercicios

El camino es casi siempre el mismo, y conviene hacerlo en este orden:

Un dibujo con las cargas, el punto y un par de ejes.
Para cada carga fuente: el módulo $k | q_{i} | / r_{i}^{2}$ , con $r_{i}$ en metros, y la dirección según el signo: sale de las positivas, entra en las negativas. La flecha se dibuja.
Cada flecha, en componentes. Con geometría simétrica, muchas componentes se cancelan de a pares y se ve antes de calcular.
Se suman las componentes $x$ por un lado y las $y$ por el otro. El módulo y el ángulo, si los piden, salen al final.
Si piden la fuerza sobre una carga que está en ese punto: $\vec{F} = q \vec{E}$ , con el signo de $q$ .

El signo, una sola vez. Hay dos maneras correctas de llevar el signo de las fuentes: usar $| q_{i} |$ en el módulo y decidir el sentido mirando el dibujo, o usar $q_{i}$ con su signo en la fórmula vectorial y dejar que la cuenta lo dé vuelta. Mezclarlas lo cuenta dos veces y deja el campo de una carga negativa apuntando hacia afuera.

Las unidades. Los centímetros y los nanocoulomb del enunciado se pasan a metros y coulomb antes de entrar a la fórmula. Con la distancia en centímetros, el resultado sale diez mil veces más chico, porque va al cuadrado.

El campo no es la fuerza. El campo existe aunque no haya nada en el punto; la fuerza aparece cuando se pone una carga. Un punto donde $\vec{E} = 0$ es un punto donde cualquier carga quedaría en equilibrio, sea cual fuere su signo. Esa pregunta, dónde se anula el campo de dos cargas, es la del Ejercicio 10.

Para tener a mano

$\vec{E} = \vec{F} / q_{0}$ , con $q_{0}$ una carga de prueba positiva y chica. Separa quien crea el campo, las fuentes, de quien lo siente. Se mide en N/C.
Carga puntual: $E = k | q | / r^{2}$ , sale de las positivas y entra en las negativas. $k = 8,99 \cdot 10^{9}$ N·m²/C².
Superposición: el campo total es la suma vectorial, componente por componente. Nunca la suma de los módulos.
El campo en la posición de una carga es el de las demás.
$\vec{F} = q \vec{E}$ : una carga negativa se mueve al revés que el campo.
Del práctico: a 12 cm de $- 4$ nC, $2,50 \cdot 10^{3}$ N/C hacia la carga; en el medio de las tres cargas en fila, $- 7,19 \cdot 10^{4}$ N/C y una fuerza de $+ 0,144$ N.

Para leer más

Serway y Jewett, Física para ciencias e ingeniería, volumen 2, capítulo 22, secciones 22.4 y 22.5. Sears y Zemansky, Física universitaria, volumen 2, capítulo 21, secciones 21.4 y 21.5, con la superposición trabajada sobre varios arreglos de cargas.