Práctico 4 · Ejercicio 4 · en el centro, las cuatro flechas apuntan hacia el lado negativo: lo vertical se cancela de a pares y lo horizontal se suma cuatro veces. Si una carga se aleja, se rompe un par y el campo gira.
Es el ejercicio donde la simetría hace casi todo el trabajo. Antes de escribir una sola componente se puede saber hacia dónde apunta el campo eléctrico en el centro y cuáles de las ocho componentes se van a cancelar; la cuenta queda reducida a una multiplicación. Los incisos (b) y (c) no piden números: piden razonar con lo que dio (a).
Cuatro cargas de igual magnitud q = 3 × 10−6 C están fijas en los vértices de un cuadrado de 0,25 m de lado, de manera tal que en los vértices de la derecha las cargas son negativas y las de los vértices de la izquierda son positivas.
(a) Determinar el campo eléctrico E⃗ en el centro del cuadrado. (b) Explique qué le sucedería a una carga positiva, de la misma magnitud de la de los vértices, si se ubicara en el centro del cuadrado. (c) Explicar qué sucedería si una de las cargas negativas es apartada hacia afuera de su posición en la dirección de la diagonal del cuadrado.
Las cuatro están a la misma distancia. El centro está a media diagonal de cada vértice, no a medio lado. Con lado , la diagonal mide y
Como las cuatro cargas tienen el mismo , los cuatro campos que llegan al centro tienen el mismo módulo. Lo único que cambia entre ellos es hacia dónde apuntan.
Hacia dónde apunta cada uno. El campo de una positiva se aleja de ella; el de una negativa va hacia ella. La positiva de arriba a la izquierda empuja el centro hacia abajo a la derecha. La negativa de abajo a la derecha lo tira… hacia abajo a la derecha. Una positiva y la negativa del vértice opuesto, sobre la misma diagonal, apuntan igual: se suman. Y las dos diagonales dan dos flechas iguales, una hacia abajo a la derecha y otra hacia arriba a la derecha.
Qué se cancela. Dos flechas iguales, una a 45° hacia arriba y otra a 45° hacia abajo: lo vertical se va y lo horizontal se suma. Hay una forma de verlo sin dibujar flechas: el cuadrado es igual a su reflejo en el eje horizontal —arriba y abajo hay las mismas cargas—, así que el campo en el centro no puede preferir subir ni bajar. Entonces es horizontal, hacia la derecha, hacia las negativas.
Qué tamaño esperar. Cuatro flechas iguales con su componente horizontal en el mismo sentido, cada una a 45°: el total es veces una sola. Más de dos, menos de cuatro.
El módulo del campo de cada carga en el centro:
Cada una a 45° de la horizontal, con componentes de módulo N/C. Con x hacia la derecha e y hacia arriba, en unidades de esos N/C:
| Carga | Hacia dónde | ||
|---|---|---|---|
| +q, arriba izq. | se aleja: ↘ | +1 | −1 |
| +q, abajo izq. | se aleja: ↗ | +1 | +1 |
| −q, arriba der. | va hacia ella: ↗ | +1 | +1 |
| −q, abajo der. | va hacia ella: ↘ | +1 | −1 |
| Total | +4 | 0 |
Las dos de arriba se cancelan entre sí en vertical, y las dos de abajo también. En horizontal, las cuatro empujan para el mismo lado:
horizontal, hacia el lado de las negativas. En letras, .
El campo ya está: la fuerza sobre una carga puesta en el centro es , con el sentido del campo porque la carga es positiva:
hacia la derecha. No está en equilibrio: las dos positivas la empujan y las dos negativas la atraen, y las cuatro hacia el mismo lado. Arranca hacia las negativas, acelerando.
Y después. Sobre la recta horizontal que pasa por el centro, la simetría de arriba y abajo sigue valiendo en cada punto, así que la carga no se desvía: avanza por esa recta y pasa entre las dos negativas. Ahí el campo todavía apunta hacia la derecha —las negativas la tiran una hacia arriba y otra hacia abajo, y se cancelan, pero las positivas la siguen empujando—. Recién un poco más allá, a 0,146 m del centro, el campo se da vuelta y empieza a frenarla.
¿La frena del todo? Con potencial se ve sin cuentas. En el centro : dos y dos . En cualquier punto de esa recta a la derecha del centro, cada negativa está más cerca que la positiva que tiene enfrente, así que en todo el camino. La energía cinética que gana es , y nunca vuelve a cero: la carga se frena pero no se detiene, y se va. Todo esto si arranca justo en el centro y sobre la recta; con el menor corrimiento hacia arriba o hacia abajo, la atrae la negativa de ese lado.
La pregunta es qué cambia, no rehacer todo. Supongamos que se aparta la negativa de arriba. Las otras tres no se movieron: sus aportes en el centro siguen siendo exactamente los de la tabla. Cambia sólo uno, y de ese uno hay que preguntarse dos cosas:
Entonces se rompe la cancelación de las dos de arriba: la positiva de arriba sigue tirando hacia abajo con todo, y la negativa que se aleja ya no la compensa. El campo en el centro pierde módulo y gira hacia abajo, hacia la negativa que quedó en su lugar. Si se apartara la de abajo, lo mismo reflejado: giraría hacia arriba.
El caso extremo, con la carga llevada al infinito, quedan tres aportes de la tabla: , y , que suman en unidades de N/C:
El campo pasa de a N/C y gira de 0° a 18,4° por debajo de la horizontal, el ángulo cuya tangente es . Todo alejamiento intermedio cae entre esos dos extremos. Y la carga positiva de (b), si estuviera en el centro, sentiría una fuerza más chica y torcida hacia la negativa que quedó.
Unidades. : N·m²/C² · C / m² = N/C. Y : C · N/C = N.
El factor. El total es veces un aporte: . Entre dos y cuatro, como se esperaba.
Un caso de contraste. Si las cuatro fueran positivas, cada carga tendría enfrente, sobre su diagonal, otra igual que empuja en sentido contrario: el campo en el centro sería cero. Lo que hace que acá no se anule es que las del mismo lado tienen signos iguales y las de vértices opuestos, signos opuestos.
El error que este chequeo agarra. Usar medio lado, 0,125 m, en vez de media diagonal, da cada aporte del doble: sería 0,0156 m² en vez de 0,03125 m².
Primero la simetría, después las componentes. Decidir qué se cancela antes de calcular deja una sola componente por hacer, y la cancelación se justifica con una frase: la configuración es igual a su reflejo.
Positiva de un lado, negativa enfrente: se suman. Una positiva empuja y la negativa opuesta tira, y las dos hacia el mismo lado. Es la misma razón por la que el campo entre las dos cargas de un dipolo es tan intenso.
Un «¿qué pasa si…?» se responde con lo que cambia. Si se mueve una carga, se recalcula su aporte y nada más; las otras quedan como estaban. Mirar qué cancelación se rompe dice hacia dónde gira el campo sin hacer cuentas.
El campo da la fuerza, el potencial da el destino. Para decir que una carga «se va» hizo falta mirar a lo largo del camino, no sólo en el punto de partida.