La energía potencial eléctrica

Los parciales preguntan casi siempre lo mismo, con tres frases: «el trabajo que debe realizar un agente externo para traer la carga desde el infinito», «el trabajo realizado por el campo eléctrico» y «la energía necesaria para ensamblar el sistema». Las tres son la misma cantidad mirada desde tres lugares, y esta nota es para no confundirlas. La herramienta es el potencial eléctrico; acá se lo multiplica por una carga.

01 · La energía de un par

Una carga $q_{1}$ fija, y otra $q_{2}$ lejísimos, en el infinito. Se trae $q_{2}$ hasta una distancia $r$ de la primera. ¿Cuánto trabajo cuesta?

Qué quiere decir «traerla». Alguien tiene que mover la carga: a ese alguien se lo llama agente externo, porque no es una de las cargas del problema (una mano, una máquina, lo que sea). Y la tiene que mover despacio: en cada punto empuja con una fuerza igual y opuesta a la eléctrica, así que la fuerza neta es cero y la carga no acelera. Llega con la misma energía cinética con la que salió, cero. Todo el trabajo del agente queda guardado como energía potencial, sin que nada se vaya en velocidad.

Con esa condición el trabajo del agente es $q_{2}$ por la diferencia de potencial entre el punto final y el infinito, y como en el infinito el potencial de $q_{1}$ vale cero, queda $q_{2}$ por el potencial que $q_{1}$ pone en ese punto:

U = q_{2} \cdot \frac{k q_{1}}{r} = \frac{k q_{1} q_{2}}{r}

Ésa es la energía potencial eléctrica del par. Es simétrica: daba lo mismo dejar fija $q_{2}$ y traer $q_{1}$ . No es de una carga ni de la otra: es de las dos juntas, de la configuración. Y el signo lo dicen las cargas:

Mismo signo, $U > 0$ . Se repelen, y para acercarlas hubo que empujar: el agente puso energía. Si se las suelta, se separan y esa energía vuelve como velocidad.
Signos opuestos, $U < 0$ . Se atraen, y el agente tuvo que frenar la carga todo el camino para que no se acelerara: recibió energía en vez de ponerla. Para volver a separarlas hay que poner $| U |$ .

Es la misma cuenta que la piedra del primer parcial, con el cero puesto arriba: subir una piedra hasta el infinito cuesta, así que una piedra cerca del suelo tiene energía negativa respecto de allá. Un par de cargas opuestas es una piedra en un pozo.

02 · El trabajo del campo y el del agente externo

En todo movimiento de una carga entre dos puntos hay dos trabajos posibles, y conviene no mezclarlos. El trabajo del campo es el que hace la fuerza eléctrica, la de las otras cargas. El trabajo del agente externo es el que hace quien empuja. Por definición de energía potencial,

W_{campo} = - Δ U = - q Δ V

y por el teorema del trabajo y la energía, la suma de los dos trabajos es lo que cambió la energía cinética: $W_{ext} + W_{campo} = Δ K$ . Si el agente mueve la carga despacio, $Δ K = 0$ , y los dos trabajos son opuestos:

W_{ext} = + Δ U = q Δ V

Para el caso de los parciales, traer $q$ desde el infinito hasta un punto P donde las otras cargas ponen el potencial $V (P)$ , la diferencia de potencial es $V (P) - 0$ y las respuestas son dos renglones:

\begin{matrix} W_{ext} = q V (P) \\ W_{campo} = - q V (P) \end{matrix}

El signo se lee así:

si q·V(P) es	el campo	el agente
positivo	frena la carga: trabajo negativo	empuja: pone energía
negativo	tira de la carga: trabajo positivo	la retiene: recibe energía

En el Ejercicio 16, una carga de 3 mC se trae hasta un punto donde otras dos ponen 1,53·10⁷ V. El agente hace 4,58·10⁴ J y el campo, −4,58·10⁴ J. La cuenta entera está en el ejemplo de la tercera carga.

03 · Un sistema: la suma sobre pares

Con más de dos cargas, la energía del sistema, o energía para ensamblarlo, es el trabajo total del agente para traerlas de a una desde el infinito hasta sus lugares, despacio. Se puede contar paso por paso.

Paso 1: la primera carga es gratis. No hay nada todavía, ni campo ni potencial: traerla no cuesta nada.

Paso 2: la segunda paga su par. Llega al potencial de la primera y cuesta $k q_{1} q_{2} / r_{12}$ .

Paso 3: cada carga nueva paga un par con cada una de las que ya están. La tercera llega al potencial que ponen la primera y la segunda juntas, y por superposición ese potencial es una suma: paga los pares 13 y 23. La cuarta paga 14, 24 y 34, y así.

Al final, cada par se pagó exactamente una vez, cuando llegó la segunda carga de ese par:

U = \sum_{i < j} \frac{k q_{i} q_{j}}{r_{i j}}

La condición $i < j$ es la que impide contar el par 12 y también el 21, que son el mismo. Con $n$ cargas hay $n (n - 1) / 2$ pares: 3 con tres cargas, 6 con cuatro. Y el resultado no depende del orden en que se trajeron, aunque cada paso sí: el total es una suma sobre pares, y los pares no saben quién llegó primero.

Con las tres cargas del Ejercicio 2 (1 µC en 0, −2 µC en 0,5 m y 3 µC en 1 m) los pares valen −35,96 mJ, +26,97 mJ y −107,88 mJ, y el sistema tiene $U = - 116,87$ mJ.

Antes de traer la primera, apostá: si armás las tres del Ejercicio 2 en otro orden, ¿cambia el total? Armalas en el orden $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ , desarmá, y probá $q_{3}, q_{2}, q_{1}$ .

En el primer orden los pasos cuestan 0, −35,96 mJ y −80,91 mJ; en el segundo, 0, −107,88 mJ y −8,99 mJ. Ningún paso coincide, y los dos totales dan −116,87 mJ. El paso más caro cambia según quién llega último, porque el último paga sus pares con todas. Lo que no cambia es la suma.

04 · Cómo leer el signo del total

El total del Ejercicio 2 es negativo: armar el sistema le devolvió 0,117 J al agente. Dicho al revés, el sistema está ligado: para desarmarlo, llevando las tres cargas otra vez al infinito, hay que poner 0,117 J. Si se soltaran, no se dispersarían solas.

El del Ejercicio 16 es positivo: tres cargas positivas que se repelen, y cada una costó traerla. Ahí la energía está guardada como en un resorte comprimido: si se soltaran, se alejarían, y los 8,18·10⁴ J del ensamble se convertirían en energía cinética.

Un total cercano a cero no quiere decir que no haya energía en juego: puede ser una suma de pares grandes que se cancelan. Por eso conviene escribir los pares uno por uno antes de sumarlos.

05 · Una carga que se mueve sola

Sin agente externo, sólo actúa el campo, y $W_{campo} = Δ K$ . Como también $W_{campo} = - Δ U$ , lo que se conserva es la suma:

K_{i} + q V_{i} = K_{f} + q V_{f}

Es el mismo balance que una piedra que cae, con $q V$ en el lugar de $m g h$ . La partícula alfa del Ejercicio 6 cruza 26,1 V entre dos placas, partiendo del reposo, y llega con 8,35·10⁻¹⁸ J de energía cinética: lo que bajó su $q V$ . Y la tercera carga del Ejercicio 16, si se la soltara en P con las otras dos fijas, se iría sola hacia el infinito y llegaría allá con 4,58·10⁴ J de energía cinética: exactamente lo que costó traerla.

La ventaja de este camino es que no pide la trayectoria. Con el campo habría que integrar la fuerza punto por punto; con el potencial alcanza con los valores de $V$ en la partida y en la llegada.

06 · En los parciales

Cada frase del enunciado tiene su fórmula, y conviene identificarla antes de calcular:

el enunciado dice	se calcula
trabajo del agente externo para traer q desde el infinito hasta P	q·V(P)
trabajo del campo en ese mismo traslado	−q·V(P)
trabajo para llevar q de A a B	q·(V(B) − V(A))
energía para ensamblar el sistema	la suma sobre pares
cambio de energía al agregar una carga	q·V(P), por las que ya estaban

Y los errores que se repiten:

Contar cada par dos veces. Recorrer «para cada carga, sus pares con todas las otras» cuenta el 12 y el 21. Es el doble del resultado.
Meter la carga que se trae en su propio potencial. $V (P)$ es el de las cargas que ya estaban; la que llega no se cobra a sí misma.
Cambiar el signo de un trabajo por el otro. El del campo es menos el cambio de energía; el del agente, más. Si el campo hace trabajo positivo, el agente hace trabajo negativo.
Usar $r^{2}$ . La energía, como el potencial, va con $1 / r$ .
Perder un signo de carga. Las cargas entran con signo en cada par: el producto $q_{i} q_{j}$ es negativo para un par de signos opuestos.

Para tener a mano

Un par: $U = k q_{1} q_{2} / r$ , con $U = 0$ con las cargas infinitamente separadas. Mismo signo, positiva; opuestos, negativa.
Un sistema: $U = \sum_{i < j} k q_{i} q_{j} / r_{i j}$ , cada par una vez. No depende del orden de armado.
$W_{campo} = - Δ U = - q Δ V$ . Despacio, sin cambiar la cinética: $W_{ext} = + Δ U$ .
Traer $q$ desde el infinito hasta P: $W_{ext} = q V (P)$ y $W_{campo} = - q V (P)$ , con $V (P)$ de las otras.
Total negativo: sistema ligado, desarmarlo cuesta. Total positivo: soltado, se dispersa.
Sola en el campo: $K + q V$ se conserva. No hace falta la trayectoria.

Para leer más

Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 24, sección 24.3, «Potencial eléctrico y energía potencial debidos a cargas puntuales». Sears y Zemansky, volumen 2, capítulo 23, que abre justamente con la energía potencial eléctrica antes de definir el potencial, y tiene ejemplos de ensamble de varias cargas. Alonso y Finn, volumen 2, capítulo 14, la sección de las relaciones energéticas en un campo eléctrico.