Práctico 5 · Ejercicio 4 · dos series en paralelo: reducir hasta un capacitor, desarmar con la regla de lo que se comparte, y en cada fila el chico se lleva 60 de los 90 V
Para el sistema de capacitores (de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha C = 3 µF, 6 µF, 2 µF, 4 µF) mostrados en la figura encuentre:
(a) La capacidad equivalente del sistema.
(b) El voltaje a través de cada uno de los capacitores.
(c) La carga en cada uno de los capacitores.
(d) La energía total almacenada por el grupo.
Recuerde que la energía almacenada en un capacitor se puede escribir como .
Primero, los nodos. Todo lo que está unido por cable es un solo nodo, a un solo potencial. Hay cuatro: el de la izquierda, unido al + de la batería; el de la derecha, unido al −; el punto entre el 3 y el 6, M₁ de acá en adelante; y el punto entre el 2 y el 4, M₂. M₁ toca sólo dos placas, una del 3 y una del 6, y nada más. Lo mismo M₂ con el 2 y el 4.
Después, qué está en serie y qué en paralelo. Como M₁ no tiene otra salida, el 3 y el 6 están en serie. Igual el 2 y el 4. Cada fila va del nodo izquierdo al derecho, así que las dos filas están en paralelo y cada una tiene entre sus puntas los 90 V enteros de la batería. Lo que no hay es un paralelo entre el 3 y el 2, aunque estén uno encima del otro: M₁ y M₂ no están unidos, y sus placas derechas están a potenciales distintos.
Qué esperar. Una serie vale menos que su capacitor más chico: la fila de arriba, menos de 3 µF; la de abajo, menos de 2. El total queda entre 2 y 5 µF. Y en cada fila, el chico se lleva más de la mitad de los 90 V. Las dos filas tienen la misma proporción, uno el doble del otro, así que se van a repartir la tensión igual.
(a) La capacidad equivalente. Se reduce de adentro para afuera. Las dos series, con la fórmula para dos:
Y las dos filas en paralelo se suman:
Es µF exacto. Con ese capacitor solo, la batería movería µC.
(b) y (c), juntos y en el otro orden. El enunciado pide primero las tensiones, pero la que se comparte en una serie es la carga, así que conviene sacar la carga de cada fila primero y las tensiones después. Es el viaje de vuelta: desarmar.
Paso 1: el paralelo comparte la tensión. Cada fila tiene los 90 V, y su carga es la de su equivalente:
Paso 2: cada serie comparte la carga. Los dos capacitores de arriba tienen 180 µC; los dos de abajo, 120 µC. Esa es la respuesta de (c). Y la tensión de cada uno es , que es la respuesta de (b):
| capacitor | carga | tensión | energía |
|---|---|---|---|
| 3 µF, arriba | 180 µC | 60 V | 5,4 mJ |
| 6 µF, arriba | 180 µC | 30 V | 2,7 mJ |
| 2 µF, abajo | 120 µC | 60 V | 3,6 mJ |
| 4 µF, abajo | 120 µC | 30 V | 1,8 mJ |
En cada fila el chico se lleva 60 V y el grande 30: el chico tiene la mitad de capacidad y necesita el doble de tensión para la misma carga. Por eso, aunque las filas tienen cargas distintas, las tensiones salen iguales en las dos.
(d) La energía total. Con el equivalente:
La energía, por el otro camino. La columna de energía de la tabla salió capacitor por capacitor, con de cada uno, sin usar el equivalente. Sumada: mJ. Lo mismo que con el equivalente: la batería no distingue el grupo de un solo capacitor de 3,33 µF.
Las tensiones de cada fila suman 90. V arriba y abajo. Y la carga que movió la batería es la suma de las dos filas: µC, la de (a).
Las unidades. F·V = (C/V)·V = C para la carga, y F·V² = C·V = J para la energía. Con microfaradios y voltios, la carga sale en microcoulombs y la energía en microjoules: 13 500 µJ son 13,5 mJ.
Un caso límite. Si el de 6 µF fuera enorme, la fila de arriba sería casi un 3 µF solo, y el 3 se llevaría casi los 90 V enteros: un capacitor muy grande en serie es casi un cable. Con 6 µF se lleva 60, que va en esa dirección.
Antes de reducir, nombrar los nodos. Es lo que evita juntar en paralelo al 3 con el 2 porque quedaron dibujados uno encima del otro.
De ida se reduce, de vuelta se desarma. Y al desarmar, la regla es una sola: el paralelo comparte la tensión, la serie comparte la carga. Por eso las cargas salen antes que las tensiones, aunque el enunciado las pida al revés.
En serie, el chico se lleva más. La división de la tensión en una serie va con la inversa de la capacidad: el de 3 µF se lleva el doble que el de 6. Es al revés de las resistencias, y el porqué está en la nota de capacitores en serie y en paralelo, que tiene un armador para probarlo.