El capacitor y la capacidad

Un tanque de agua guarda más litros cuanto más alto se lo llena, y cuántos litros entran por cada metro de altura lo decide la forma del tanque, no el agua. Un capacitor es lo mismo con cargas: guarda más carga cuanto más voltaje se le pone, y cuánta carga entra por cada voltio lo decide su forma. Ese número es la capacidad. En los circuitos del segundo parcial el capacitor es la pieza que tiene memoria: lo que hace en un instante depende de cuánta carga juntó antes.

01 · Dos conductores, +Q y −Q

Un capacitor son dos conductores separados por un aislante: aire, vacío, un plástico. Los conductores se llaman placas, tengan o no forma de placa. Cargarlo es pasar carga de uno al otro: una batería conectada entre los dos saca electrones de una placa y los empuja a la otra. Una queda con $+ Q$ y la otra con $- Q$ .

La carga neta del capacitor es cero, siempre. Cuando se dice «la carga del capacitor» se habla de $Q$ , la de la placa positiva. Y como la carga se pasó de una placa a la otra, las dos tienen exactamente la misma en módulo.

Cada placa es un conductor en equilibrio, y un conductor en equilibrio tiene el mismo potencial en todos sus puntos. Entonces entre las dos placas hay una diferencia de potencial bien definida, que se escribe $V$ o $Δ V$ y se llama también la tensión del capacitor. La placa positiva es la de potencial más alto. En los circuitos un capacitor se dibuja como dos rayas paralelas, iguales: las dos placas vistas de costado.

02 · La capacidad: C = Q/V

Si se duplica la carga de un capacitor, se duplica su tensión. La razón es la superposición: el campo de una distribución de cargas es la suma de lo que pone cada una, y cada aporte es proporcional a su carga. Si todas las cargas se multiplican por dos, el campo se multiplica por dos en todos lados, y la tensión entre las placas, que es el campo sumado a lo largo de un camino de una a la otra, también. La forma en que la carga se reparte sobre cada placa no cambia: sólo cambia la escala.

Por eso el cociente entre las dos no depende de cuánto se cargó, y tiene nombre:

C = \frac{Q}{V}

Es la capacidad: cuánta carga guarda el capacitor por cada voltio. Depende de la forma y del tamaño de las placas, de cuán lejos están, y del aislante que hay en medio. No depende ni de $Q$ ni de $V$ : un capacitor descargado tiene la misma capacidad que uno cargado, igual que un tanque vacío tiene la misma sección que uno lleno.

La unidad es el faradio, $1 F = 1 C/V$ , y es enorme. Dos placas a 1 mm de distancia necesitarían $1,13 \cdot 10^{8}$ m² para llegar a un faradio: un cuadrado de 10,6 km de lado. Los capacitores de los ejercicios andan por los microfaradios (µF, $10^{- 6}$ F) y los picofaradios (pF, $10^{- 12}$ F).

03 · El capacitor de placas paralelas

Dos placas planas de área $A$ , enfrentadas, a una distancia $d$ . Para sacar su capacidad hay que hacer lo que dice la definición: poner una carga $Q$ , calcular la tensión que produce, y dividir.

Paso 1: el campo. La carga de cada placa se atrae con la de la otra y se va a las caras de adentro, repartida pareja con una densidad $σ = Q / A$ . Con una superficie gaussiana en forma de cajita que atraviesa una placa, la ley de Gauss da el campo justo afuera de un conductor, que entre las placas es todo el campo:

E = \frac{σ}{ε_{0}} = \frac{Q}{ε_{0} A}

con $ε_{0} = 8,85 \cdot 10^{- 12}$ C²/(N·m²), la permitividad del vacío. Es la misma $ε_{0}$ de $k = 1 / (4 π ε_{0})$ .

Paso 2: la tensión. El campo no depende de dónde se lo mida entre las placas: es un campo uniforme, y ahí la tensión es el campo por la distancia:

V = E d = \frac{Q d}{ε_{0} A}

Paso 3: dividir. La carga se cancela, como prometía la sección anterior:

C = \frac{Q}{V} = \frac{ε_{0} A}{d}

Las dos dependencias se entienden sin la fórmula. Con más área, la misma densidad de carga, que da el mismo campo, es más carga en total: $C$ crece con $A$ . Con las placas más cerca, el mismo campo recorre menos camino y da menos tensión: $C$ crece al achicar $d$ . Por eso los capacitores reales son dos hojas larguísimas, separadas por un plástico finito y enrolladas.

Las placas del Ejercicio 5 tienen $A = 7,50$ cm² y $d = 1,19$ mm. Pasado a metros:

C = \frac{8,85 \cdot 10^{- 12} \cdot 7,50 \cdot 10^{- 4}}{1,19 \cdot 10^{- 3}} = 5,58 pF

A 12 V guarda $Q = C V = 66,9$ pC, y el campo entre las placas es $V / d = 10,1$ kV/m. La fórmula supone que el campo es uniforme hasta el borde.

04 · El esférico y el cilíndrico

La receta es la misma para cualquier geometría: poner $Q$ , sacar el campo con Gauss, integrarlo para tener la tensión, dividir.

El esférico. Una esfera conductora de radio $a$ con $+ Q$ , adentro de un cascarón conductor concéntrico de radio $b$ con $- Q$ .

Paso 1: el campo. Una esfera gaussiana de radio $r$ entre las dos encierra sólo la carga de la de adentro. El campo es el de una carga puntual en el centro:

E (r) = \frac{k Q}{r^{2}}, a < r < b

Paso 2: la tensión. El campo ya no es uniforme, así que la tensión es su integral de una placa a la otra:

V = \int_{a}^{b} \frac{k Q}{r^{2}} d r = k Q (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) = k Q \frac{b - a}{a b}

Paso 3: dividir.

C = \frac{Q}{V} = \frac{4 π ε_{0} a b}{b - a}

Dos casos límite la vuelven conocida. Si el cascarón se va al infinito, $b \to \infty$ , queda $C = 4 π ε_{0} a$ : una esfera sola también tiene capacidad, y la otra placa es el infinito. Una de 7 cm tiene 7,78 pF. Y si las dos esferas están muy cerca, con $b - a = d$ mucho menor que $a$ , queda $ε_{0} (4 π a^{2}) / d$ : el de placas paralelas, con el área de la esfera. De cerca, una esfera es plana. El Ejercicio 6 está resuelto entero en el capacitor esférico.

El cilíndrico. Un cilindro conductor de radio $a$ adentro de un tubo conductor coaxial de radio $b$ , los dos de largo $L$ : es un cable coaxial. Con la carga por unidad de largo $λ = Q / L$ , Gauss con un cilindro de radio $r$ da el campo de un hilo, y la integral da un logaritmo:

\begin{matrix} E (r) = \frac{λ}{2 π ε_{0} r}, V = \frac{λ}{2 π ε_{0}} \ln \frac{b}{a} \\ C = \frac{2 π ε_{0} L}{\ln (b / a)} \end{matrix}

La capacidad crece con el largo, como la del de placas crece con el área. Con $b = 2 a$ y aire en medio son 80,2 pF por cada metro de cable.

05 · La energía: por qué un medio

Cargar un capacitor cuesta trabajo: cada carga que se pasa de la placa negativa a la positiva es repelida por la positiva y atraída por la negativa. Ese trabajo queda guardado como energía potencial eléctrica, y se recupera al descargarlo: es la que dispara el flash de una cámara.

Paso 1: a mitad de camino. En algún momento de la carga, las placas tienen $\pm q$ , con $q$ entre cero y la carga final $Q$ . La tensión en ese momento es $q / C$ .

Paso 2: un poquito más. Pasar una carga $d q$ más subiéndola esa tensión cuesta $d W = (q / C) d q$ .

Paso 3: sumar todo.

U = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} d q = \frac{Q^{2}}{2 C}

Paso 4: las otras dos formas. Con $Q = C V$ se reemplaza lo que haga falta:

U = \frac{Q^{2}}{2 C} = \frac{C V^{2}}{2} = \frac{Q V}{2}

El medio es lo que hay que entender. Si toda la carga $Q$ subiera la tensión final $V$ de una vez, costaría $Q V$ . Pero la primera carga no cuesta nada, porque el capacitor está descargado y no empuja; la última cuesta $V$ por coulomb. La tensión crece pareja con la carga, y en promedio cada coulomb subió $V / 2$ . Cargar cuesta cada vez más.

La batería, en cambio, sí entrega $Q V$ : empuja cada coulomb con su tensión completa, desde el principio. La otra mitad se va en calor en los cables y las resistencias, y lo sorprendente es que siempre es la mitad, sea grande o chica la resistencia: es el tema de la resistencia no decide cuánto se pierde.

Los cuatro capacitores del Ejercicio 4 equivalen a uno de 3,33 µF, y a 90 V guardan

U = \frac{1}{2} \cdot 3,33 \cdot 10^{- 6} \cdot 90^{2} = 13,5 mJ

06 · La energía vive en el campo

¿Dónde está guardada esa energía? En el de placas paralelas se puede contestar con una cuenta. Reemplazando $C = ε_{0} A / d$ y $V = E d$ :

U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \frac{ε_{0} A}{d} E^{2} d^{2} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} \cdot (A d)

$A d$ es el volumen del espacio entre las placas, que es justo donde hay campo. Entonces la energía por unidad de volumen, la densidad de energía, es

u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}

y la lectura es que la energía no está en las cargas sino en el espacio entre ellas, en el campo eléctrico. La fórmula de $u$ no tiene nada de las placas, y vale para cualquier campo: donde hay campo, hay energía. Para las placas del Ejercicio 5 a 12 V, $u = 4,50 \cdot 10^{- 4}$ J/m³; por el volumen, $8,93 \cdot 10^{- 7}$ m³, dan 402 pJ, lo mismo que $\frac{1}{2} C V^{2}$ .

07 · Conectada o desconectada: qué se conserva

La pregunta más repetida sobre capacitores es qué pasa si se cambia la geometría con el capacitor cargado: se separan las placas, se mete un aislante. La fórmula de $C$ dice cómo cambia la capacidad. Lo que no dice es qué hacen $Q$ y $V$ , y eso lo decide una sola cosa: si la batería sigue conectada.

Con la batería conectada, se conserva V. La batería sostiene su tensión entre las placas pase lo que pase, y entrega o recibe la carga que haga falta para lograrlo.

Con la batería desconectada, se conserva Q. Las placas quedaron aisladas: la carga no tiene por dónde irse, y la tensión es la que salga de $V = Q / C$ .

El widget arranca con las placas del Ejercicio 5 a 12 V, con la batería conectada. Antes de tocar nada, una apuesta.

Desconectada, la carga se queda en 66,9 pC. La capacidad cae a la mitad, así que la tensión sube a 24 V y la energía, $Q^{2} / 2 C$ con $Q$ fijo, se duplica: de 402 a 803 pJ. El campo no cambia, porque sigue siendo $Q / (ε_{0} A)$ , y el sombreado del widget tampoco: lo que se duplicó es el volumen donde hay campo. Con la batería conectada pasa lo contrario con la energía: la tensión se queda en 12 V, la carga baja a 33,5 pC y la energía, $C V^{2} / 2$ con $V$ fijo, cae a la mitad: 201 pJ.

al pasar de d a 2d	conectada (V fija)	desconectada (Q fija)
C = ε₀A/d	× ½	× ½
V	igual	× 2
Q = CV	× ½	igual
E = V/d	× ½	igual
U	× ½	× 2

De dónde sale la energía que aparece. Las placas tienen cargas opuestas y se atraen, así que separarlas cuesta trabajo. Desconectada, la fuerza no cambia al separarlas (el campo es el mismo) y todo ese trabajo queda en el capacitor: es exactamente la energía que se agregó.

Y adónde va la que desaparece. Conectada, también se hace trabajo al separarlas, y aun así el capacitor pierde energía. La cuenta cierra por la batería: la mitad de la carga, 33,5 pC, vuelve a ella a contramano, y la batería se recarga con $V \cdot Δ Q$ , que es la energía inicial entera, 402 pJ. El capacitor le dio la mitad, 201 pJ, y quien separó las placas la otra mitad.

08 · En los ejercicios

Casi todos los ejercicios con un capacitor solo son la misma secuencia: la geometría da $C$ ; con la tensión, $Q = C V$ ; con las dos, la energía en la forma que más cómoda quede. Si algo cambia a mitad del problema, primero se decide qué se conserva. Los errores que aparecen:

Las unidades. El área viene en cm² y la separación en mm: $7,50 cm² = 7,50 \cdot 10^{- 4} m²$ , no $10^{- 2}$ . Un resultado en faradios enteros es casi siempre esto.
Creer que C depende de Q o de V. $C = Q / V$ es la definición, no una dependencia: si se duplica la carga se duplica la tensión, y el cociente no se mueve.
Olvidarse el medio. $U = Q V / 2$ , no $Q V$ . $Q V$ es lo que entregó la batería.
Conservar lo que no se conserva. Antes de cualquier cuenta: ¿la batería sigue conectada? Si sí, $V$ fija; si no, $Q$ fija. En los circuitos con llave pasa lo mismo, y es la mitad del trabajo del parcial.
Contar la carga de una placa como la del capacitor. Una placa entre otras dos, como la $P_{2}$ del Ejercicio 5, tiene carga en sus dos caras: es la de dos capacitores juntos. El Ejercicio 5 está hecho en cuatro placas paralelas.

Cuando hay varios capacitores, cómo se combinan está en la nota de los capacitores en serie y en paralelo; qué hace un aislante entre las placas, en la de los dieléctricos.

Para tener a mano

Capacitor: dos conductores con $+ Q$ y $- Q$ . $C = Q / V$ , en faradios; depende sólo de la geometría y del aislante.
Placas: $C = ε_{0} A / d$ , de $E = σ / ε_{0}$ y $V = E d$ .
Esférico: $C = 4 π ε_{0} a b / (b - a)$ ; esfera sola, $4 π ε_{0} a$ . Cilíndrico: $C = 2 π ε_{0} L / \ln (b / a)$ .
$U = Q^{2} / 2 C = C V^{2} / 2 = Q V / 2$ : el medio porque la tensión crece mientras se carga.
La energía vive en el campo: $u = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ por unidad de volumen.
Batería conectada: $V$ fija. Desconectada: $Q$ fija.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2 (14.ª edición), capítulo 24, «Capacitancia y dieléctricos»: la sección 24.1 hace las tres geometrías, con el esférico y el cilíndrico como ejemplos 24.3 y 24.4, y la 24.3 la energía y su densidad. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 25, «Capacitancia y materiales dieléctricos»: secciones 25.1, 25.2 y 25.4.