Dos capacitores y la constante de tiempo

01 · El enunciado

El enunciado no trae figura: pide dibujarla. Los dos circuitos, con la batería real dibujada como una fem ideal más su resistencia interna $r$ dentro del recuadro punteado:

en serie

en paralelo

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. Es un circuito RC disfrazado: una sola malla, con resistencias y capacitores en fila. La batería real es una fem ideal de 12 V con una resistencia de 1 Ω pegada, y esa resistencia interna está en serie con la de 5 Ω: la corriente que pasa por una pasa por la otra. Para la constante de tiempo son 6 Ω, no 5. Los dos capacitores, sin ninguna resistencia entre ellos, se juntan en uno equivalente con las reglas de los capacitores, que son las de las resistencias al revés.

Qué esperar. En serie la capacidad equivalente es menor que la más chica, menos de 3 µF; en paralelo es la suma, 9 µF. Así que el circuito en paralelo tiene que ser bastante más lento: guarda más carga y la tiene que meter por la misma resistencia. Con ohms y microfaradios, $\tau$ sale en microsegundos.

Qué quiere decir «cargados». El enunciado dice que los capacitores llegan cargados, sin decir con cuánto. La lectura que hace andar el inciso (c) es que se cargaron en este mismo circuito: se los dejó conectados a la batería hasta el régimen estacionario, y recién ahí se cambia la fuente por un cable. Para (a), (b) y (d) no importa: $\tau$ depende de las resistencias y las capacidades, no de la carga que haya.

03 · La resolución

(a) La constante de tiempo. La capacidad equivalente de los dos en serie, y la resistencia de la malla:

$$\begin{array}{c}\frac{1}{C}=\frac{1}{3\text{µF}}+\frac{1}{6\text{µF}}\Rightarrow C=2\text{µF}\\ \tau =(R+r)C=6\text{Ω}·2\text{µF}=12\text{µs}\end{array}$$

(b) El significado. Es el tiempo en que el capacitor recorre el 63 % de lo que le falta. Si se carga desde vacío, a los 12 µs tiene el 63,2 % de su carga final, y la corriente bajó al 36,8 % de la inicial. Con estos números: la carga final es $C\epsilon =2\text{µF}·12\text{V}=24$ µC, la corriente arranca en $12\text{V}/6\text{Ω}=2$ A, y a los 12 µs hay 15,2 µC y pasan 0,736 A. Dicho de otra forma, $\tau$ es lo que tardaría en llenarse si la corriente se quedara en sus 2 A iniciales: $24\text{µC}/2\text{A}=12$ µs. A los cinco $\tau$, 60 µs, ya está cargado a todos los efectos.

(c) Sin la fuente. Primero, cómo quedaron cargados. En el estacionario el capacitor es un corte y no pasa corriente, así que ni la de 5 Ω ni la interna tienen tensión, y los 12 V de la fem quedan enteros sobre los dos capacitores. En serie llevan la misma carga, porque la que salió de una placa de uno entró en la placa del otro: $Q=C\epsilon =24$ µC en cada uno. Las tensiones:

$$V_3=\frac{24\text{µC}}{3\text{µF}}=8\text{V},V_6=\frac{24\text{µC}}{6\text{µF}}=4\text{V}$$

Ahora se saca la fuente (la fem y su resistencia interna, que vienen juntas) y en su lugar va un cable. Queda una malla con la de 5 Ω y los dos capacitores, que empiezan a descargarse a través de ella.

La foto del instante inicial. La tensión de un capacitor no salta, así que justo después del cambio el de 6 µF tiene todavía 4 V. Los dos capacitores son dos baterías de 8 y 4 V en fila, y empujan sobre los 5 Ω una corriente de $12\text{V}/5\text{Ω}=\mathrm{2,4}$ A, al revés que durante la carga.

La foto del final. Mucho después no pasa corriente, así que la resistencia no tiene tensión y los dos capacitores, sumados, tampoco. Por los dos pasó la misma corriente todo el tiempo, así que perdieron la misma carga; arrancaron con la misma, 24 µC, y llegan a cero juntos. Al final el de 6 µF tiene 0 V, y el de 3 µF también.

Entre las dos. La malla nueva tiene 5 Ω y los mismos 2 µF, así que la descarga tiene su propia constante de tiempo, ${\tau }^{\prime }=5\text{Ω}·2\text{µF}=10$ µs, más corta que la de la carga porque se fue el ohm de la interna:

$$V_6(t)=4\text{V}·e^{-t/10\text{µs}}$$

A los 10 µs le quedan 1,47 V; a los 50 µs, menos del 1 %.

Si «cargados» se lee de otra forma. Si los capacitores llegaran cargados de antes, cada uno por su lado y con cargas distintas, la descarga en serie no los vaciaría a los dos: les sacaría la misma carga a ambos hasta que sus tensiones, sumadas por la malla, den cero, y cada uno se quedaría con algo. Con lo que dice el enunciado esa cuenta no tiene números. Y si se entendiera que la resistencia interna queda en el circuito cuando se saca la fem, ${\tau }^{\prime }$ sería 12 µs, pero las dos tensiones pedidas, 4 V al principio y 0 V al final, no cambian: salen de las fotos, que no miran las resistencias.

(d) En paralelo. Los capacitores en paralelo comparten la tensión y suman sus cargas, así que la capacidad equivalente es la suma, y la resistencia de la malla es la misma:

$$\begin{array}{c}C=3\text{µF}+6\text{µF}=9\text{µF}\\ \tau =6\text{Ω}·9\text{µF}=54\text{µs}\end{array}$$

El significado es el mismo: a los 54 µs, el 63 % de la carga final. Esa carga final es $9\text{µF}·12\text{V}=108$ µC: los dos capacitores quedan a 12 V, con 36 µC el de 3 µF y 72 µC el de 6 µF. La corriente inicial es la misma de antes, 2 A, porque al principio los capacitores descargados son cables en cualquier arreglo.

Y sin la fuente: el de 6 µF arranca en 12 V, la corriente de descarga arranca en $12\text{V}/5\text{Ω}=\mathrm{2,4}$ A, la constante de tiempo es $5\text{Ω}·9\text{µF}=45$ µs, y al final los dos quedan en 0 V. Acá no hay ninguna lectura alternativa: en paralelo los dos tienen siempre la misma tensión, y la descarga los lleva a cero sí o sí.

04 · El chequeo

Las unidades. Un ohm por un faradio es un segundo, así que ohms por microfaradios dan microsegundos.

La razón entre los dos τ. Las resistencias son las mismas, así que ${\tau }_{\text{par}}/{\tau }_{\text{serie}}$ tiene que ser la razón de las capacidades, 9/2 = 4,5. Y 54/12 = 4,5.

Un caso límite. Sin resistencia interna, $\tau$ en serie bajaría a $5·2=10$ µs: un 17 % menos. La interna de una batería no es un detalle cuando la resistencia del circuito es de pocos ohms.

La misma corriente de descarga. En serie y en paralelo la descarga arranca en 2,4 A. No es casualidad: en los dos casos los capacitores se cargaron con la misma batería de 12 V, así que alrededor de la malla suman 12 V, y la única resistencia que queda es la de 5 Ω. Lo que cambia es cuánta carga hay detrás de esos 12 V, 24 µC contra 108 µC, y por eso la descarga en paralelo dura 4,5 veces más.

05 · Lo que se lleva

τ es la resistencia de la malla por la capacidad equivalente. La resistencia interna de la batería entra como cualquier otra resistencia en serie; los capacitores sin resistencias entre ellos se juntan como capacitores. En serie la capacidad baja y el circuito es más rápido; en paralelo sube y es más lento.

Las tensiones no necesitan τ. Lo que vale el de 6 µF al cambiar la fuente y lo que vale al final salen de las dos fotos: el capacitor no cambia su tensión de golpe, y al final no pasa corriente. La constante de tiempo sólo dice cuánto tarda en ir de una a otra. Es la idea de el capacitor es un cable y después un corte.

En serie, la carga es la misma; en paralelo, la tensión. Es lo que decidió las tensiones del inciso (c) en cada arreglo, y lo que hace que en serie los dos lleguen a cero juntos.