Capacitores en serie y en paralelo

Un capacitor suelto se entiende con una sola cuenta: la batería le pone una tensión $V$, y él guarda $Q=CV$. Con varios conectados entre sí, la pregunta es cómo se reparten la carga y la tensión. Hay dos maneras básicas de conectarlos, y cada una fija una de las dos cantidades: en paralelo todos tienen la misma tensión, en serie todos tienen la misma carga. Todo lo demás sale de ahí.

01 · Qué quiere decir en serie y en paralelo

Un nodo. Los cables de un circuito se toman como conductores perfectos, y un conductor en equilibrio tiene el mismo potencial en todos sus puntos. Así que todo lo que está unido por cable, sin nada en el medio, es un solo nodo: un único potencial, por más que en el dibujo el cable dé vueltas. Para clasificar una conexión no se mira el dibujo; se mira a qué nodos va cada placa.

En paralelo. Dos capacitores están en paralelo cuando sus placas van a los mismos dos nodos: una placa de cada uno al nodo A, la otra de cada uno al nodo B.

En serie. Dos capacitores están en serie cuando una placa de uno está unida a una placa del otro y a nada más. El nodo del medio no tiene otra salida: ni otro capacitor, ni la batería, ni una rama que se vaya.

La capacidad equivalente. Un grupo de capacitores entre dos nodos A y B se puede cambiar por un solo capacitor que, conectado a la misma tensión, tome de la batería la misma carga. Su capacidad se llama capacidad equivalente, $C_{\text{eq}}$. Desde la batería no hay forma de distinguir el grupo del equivalente: lo único que la batería ve es cuánta carga tuvo que mover para llegar a su tensión.

La trampa está en el dibujo. Dos capacitores alineados uno arriba del otro no están en paralelo si sus placas van a nodos distintos, y dos capacitores en fila no están en serie si del cable que los une sale una tercera rama. En el Ejercicio 4 el de 3 µF queda justo encima del de 2 µF, y no están en paralelo: los puntos del medio de las dos filas no están unidos.

02 · En paralelo: la misma tensión, las cargas se suman

Las dos placas de arriba están en el nodo A, las dos de abajo en el nodo B. Entonces la diferencia de potencial entre las placas es la misma para los dos: $V_1=V_2=V$. Cada uno guarda la carga que su capacidad le permite a esa tensión, y la batería tuvo que mover las dos:

$$Q=Q_1+Q_2=C_{1}V+C_{2}V=(C_1+C_2)V$$

Dividiendo por $V$, la capacidad equivalente es la suma:

$$C_{\text{eq}}=C_1+C_2+C_3+\cdots$$

La intuición. Para un capacitor de placas, $C={\epsilon }_{0}A/d$. Dos capacitores iguales en paralelo son, a todos los efectos, un capacitor con el doble de área: la placa de arriba de uno y la del otro están al mismo potencial, y da lo mismo que estén pegadas o separadas por un metro de cable. Más área es más lugar para la carga a la misma tensión. Por eso el equivalente en paralelo es más grande que cualquiera de los que lo forman.

Con 3 y 6 µF en paralelo a 12 V: cada uno a 12 V, 36 µC en el de 3 y 72 µC en el de 6, y la batería ve 9 µF con 108 µC. En paralelo, el más grande se lleva más carga; la tensión no se reparte.

03 · En serie: la misma carga, las tensiones se suman

La isla. Mirá las dos placas del medio: la de abajo de $C_1$ y la de arriba de $C_2$, con el cable que las une. Es un conductor, y está aislado: entre cada una de sus placas y la placa de enfrente hay aislante, y no tiene otro cable. Si los capacitores arrancaron descargados, la isla arrancó neutra, y al conectar la batería no tiene por dónde recibir ni perder carga. Su carga neta sigue siendo cero.

Lo que pasa al conectar. La batería mueve una carga $Q$ del nodo B al nodo A: la placa de arriba de $C_1$ queda con $+Q$. Esa carga atrae electrones de la isla hacia la cara de enfrente, que queda con $-Q$. Pero la isla es neutra, así que a la otra punta, la placa de arriba de $C_2$, le queda $+Q$. Y esa carga, a su vez, tiene enfrente los $-Q$ que la batería sacó de B. Los dos capacitores tienen la misma carga, sin importar cuánto valga cada uno.

Hay otra forma de verlo, que sirve cuando ya se conocen las corrientes: lo que circuló por el cable de $C_1$ no tenía otro camino que seguir hasta $C_2$. Mientras se cargaban pasó la misma corriente por los dos, durante el mismo tiempo, y llevó la misma carga.

La cuenta. Ahora la que se reparte es la tensión. Ir de A a B es cruzar $C_1$ y después $C_2$, así que las dos caídas se suman, y cada una es $Q/C$ con la misma $Q$:

$$V=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2})$$

Y como el equivalente cumple $V=Q/C_{\text{eq}}$, lo que se suman son las inversas:

$$\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots \text{con dos:}{C}_{\text{eq}}=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$$

La intuición. Dos capacitores de placas iguales en serie son un capacitor con más separación. La isla es una lámina de metal en el medio: adentro del metal el campo es cero, y si se la afina hasta que no ocupe lugar, lo que queda son dos placas separadas por $d_1+d_2$. Como $1/C=d/({\epsilon }_{0}A)$, sumar separaciones es sumar inversas. Más separación es menos capacidad: el equivalente en serie es más chico que el más chico.

Con 3 y 6 µF en serie: $3·6/(3+6)=2$ µF, menos que los 3 del más chico.

04 · En serie, el más chico se lleva la mayor tensión

Con la misma carga en los dos, cada tensión es $V_i=Q/C_i$: inversamente proporcional a la capacidad. El capacitor de menos capacidad necesita más tensión para sostener la misma carga, y por eso se lleva la parte más grande. Escrito sin pasar por $Q$, es un divisor de tensión:

$$V_1=V\frac{C_2}{C_1+C_2}{V}_2=V\frac{C_1}{C_1+C_2}$$

Fijate que arriba va el otro. Con 3 y 6 µF en serie a 12 V, la carga es $2\mu \text{F}·12\text{V}=24$ µC en cada uno: 8 V en el de 3 y 4 V en el de 6. El chico se lleva el doble, porque tiene la mitad de capacidad.

Llevado al extremo: 1 µF en serie con 1000 µF a 12 V. El de 1000 µF casi no se nota, el equivalente es 0,999 µF, y el chico se lleva 11,99 V de los 12. Un capacitor enorme en serie se comporta casi como un cable. Es lo que hace peligroso poner en serie un capacitor chico: se come casi toda la tensión, y si está preparado para menos, se rompe.

05 · Al revés que las resistencias

Del secundario viene la regla de las resistencias: en serie se suman, en paralelo se suman las inversas. Con capacitores es exactamente al revés, y conviene saber por qué en vez de memorizar dos tablas.

El porqué está en las definiciones. $R=V/I$ cuenta voltios por amperio: cuánto cuesta hacer pasar algo. $C=Q/V$ cuenta coulombs por voltio: cuánto entra. Una es un costo y la otra una facilidad; tienen el voltio en lugares opuestos de la fracción. En serie lo que se suma siempre son las tensiones, así que se suma lo que tiene la tensión arriba: $R$, y $1/C$. En paralelo lo que se suma son las cargas o las corrientes, así que se suma lo que tiene la tensión abajo: $C$, y $1/R$.

La tensión en serie se la lleva siempre el que más cuesta: la resistencia grande, el capacitor chico.

Arranca con dos capacitores iguales en serie: cada uno se lleva la mitad, 6 V. Antes de mover nada, apostá: si bajás $C_1$ a 2 µF, ¿se lleva más de 6 V o menos? Probalo. Queda en 9 V contra 3: los dos tienen 18 µC, y el de 2 µF necesita el triple de tensión que el de 6 para sostenerlos.

Después pasá a dos en paralelo con los mismos valores: ahora los dos tienen 12 V, y es la carga la que se reparte, 24 y 72 µC. Por último elegí uno, y después dos en paralelo, con los tres en 6 µF. Son tres capacitores iguales y no se reparten igual: el de adelante se lleva 8 V y los otros dos, 4 V cada uno. El par en paralelo vale 12 µF, el doble que el de adelante, y en la serie el que más vale se lleva menos.

06 · Reducir y después desarmar

Casi todos los ejercicios de capacitores combinados se hacen igual, en dos viajes.

De ida: reducir. Se busca un par que esté claramente en serie o en paralelo, se lo cambia por su equivalente, y se redibuja. Se repite hasta que queda un solo capacitor conectado a la batería. Con ese, $Q=C_{\text{eq}}V$ da la carga que movió la batería.

De vuelta: desarmar. Se recorren los dibujos al revés. Cada vez que un equivalente se abre en sus partes, se usa la regla de lo que comparten: si eran una serie, cada parte tiene la misma carga que el equivalente, y su tensión es $Q/C$; si eran un paralelo, cada parte tiene la misma tensión, y su carga es $CV$.

En el Ejercicio 4, arriba hay 3 y 6 µF en serie y abajo 2 y 4 µF en serie, y las dos filas están en paralelo con la batería de 90 V.

1. Las series: arriba, $3·6/9=2$ µF; abajo, $2·4/6=\mathrm{1,33}$ µF.
2. El paralelo: $2+\mathrm{1,33}=\mathrm{3,33}$ µF. La batería mueve $\mathrm{3,33}·90=300$ µC.
3. Desarmar el paralelo: cada fila tiene los 90 V. Arriba, $2·90=180$ µC; abajo, $\mathrm{1,33}·90=120$ µC.
4. Desarmar cada serie: arriba, 180 µC en los dos, así que 60 V en el de 3 y 30 V en el de 6; abajo, 120 µC en los dos, 60 V en el de 2 y 30 V en el de 4.

La resolución completa, con el chequeo, está en el ejemplo de los cuatro capacitores.

07 · En los ejercicios

Los errores que aparecen:

1. Sumar como resistencias. En serie se suman las inversas. Si el equivalente de una serie da más grande que alguno de sus capacitores, está mal.
2. Repartir la tensión al revés. En serie, el más chico se lleva más. Un chequeo rápido: $C_1{V}_1$ tiene que dar lo mismo que $C_2{V}_2$.
3. Ponerle a cada capacitor la carga total. Los 300 µC del Ejercicio 4 no están en ningún capacitor: son la suma de las dos filas. En serie la carga se comparte; en paralelo se reparte.
4. Clasificar por el dibujo. Serie y paralelo se deciden por los nodos, no por cómo quedaron dibujados. Si del cable entre dos capacitores sale otra rama, no están en serie.
5. Capacitores cargados de antes. El argumento de la isla pide que arranque neutra. Si uno de los capacitores ya tenía carga cuando se armó el circuito, la isla no es neutra y la regla de «la misma carga» deja de valer: hay que plantear la conservación de la carga en la isla con lo que tenía. Es lo que pasa en el capacitor cargado en serie.

Para tener a mano

1. Paralelo: las mismas dos tensiones; $C_{\text{eq}}=C_1+C_2+\cdots$, más grande que cualquiera. La carga se reparte en proporción a $C$.
2. Serie: la misma carga, porque la isla del medio es neutra; $1/C_{\text{eq}}=1/C_1+1/C_2+\cdots$, más chico que el más chico. Con dos, $C_1{C}_2/(C_1+C_2)$.
3. En serie, $V_i=Q/C_i$: el más chico se lleva la mayor tensión. Al revés que las resistencias.
4. Paralelo es más área; serie es más separación.
5. El método: reducir hasta uno, $Q=C_{\text{eq}}V$, y desarmar con «serie comparte $Q$, paralelo comparte $V$».

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2, capítulo 24, «Capacitancia y dieléctricos», sección 24.2, «Capacitores en serie y en paralelo»: la misma deducción, con la advertencia de que en serie las tensiones sólo son iguales si las capacidades lo son. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 25, «Capacitancia y materiales dieléctricos», sección 25.3, «Combinaciones de capacitores».