El dieléctrico que no llena

01 · El enunciado

Un capacitor de placas paralelas, con una separación de placa d, tiene una capacitancia C₀ en ausencia de un dieléctrico. ¿Cuál es la capacitancia cuando entre las placas se inserta una lámina de material dieléctrico con constante dieléctrica k y grosor fd, donde f es una fracción entre 0 y 1?

02 · Antes de hacer cuentas

Qué es. Un capacitor de placas con capacidad $C_{0} = ε_{0} A / d$ vacío, y una lámina de dieléctrico paralela a las placas que ocupa una fracción $f$ de la separación. El resto, $(1 - f) d$ , es aire. El enunciado escribe la constante dieléctrica $k$ ; acá va $κ$ , para no confundirla con la de Coulomb.

Qué esperar. Sin lámina, $f = 0$ , tiene que dar $C_{0}$ . Con la lámina llenando todo, $f = 1$ , tiene que dar $κ C_{0}$ . En el medio, algo entre las dos. Lo que no es obvio es si crece pareja con $f$ , a mitad de camino con media lámina, o de otra forma.

Qué modelo, y el dato llave. Las caras de la lámina son paralelas a las placas, y el campo las cruza de frente. Yendo de una placa a la otra, el campo atraviesa primero un material y después el otro. Esa es la estructura de dos capacitores en serie: la misma carga, y las tensiones que se suman. Es la primera manera de resolverlo. La segunda no usa la palabra «serie»: calcula el campo en cada tramo y lo suma. Que las dos den lo mismo es el chequeo de que la primera está bien planteada.

Lo que el enunciado no dice. Dónde está la lámina: apoyada en una placa, en el medio, más cerca de una. Si el resultado dependiera de eso, faltaría un dato. Las dos maneras van a mostrar que no depende.

03 · La resolución

Primera manera: dos capacitores en serie.

Paso 1: cortar. La cara de la lámina es una equipotencial: el campo es perpendicular a ella. Pegarle una hoja de metal finísima no cambia nada, porque un conductor también es equipotencial, y la hoja tomaría carga $- Q$ de un lado y $+ Q$ del otro, neutra en total. Con la hoja puesta se ve que son dos capacitores, uno detrás del otro, que la comparten.

Paso 2: cada uno. Los dos tienen área $A$ . El de aire tiene separación $(1 - f) d$ ; el de dieléctrico, $f d$ y está lleno, así que lleva $κ$ :

C_{aire} = \frac{ε_{0} A}{(1 - f) d} = \frac{C_{0}}{1 - f}, C_{diel} = \frac{κ ε_{0} A}{f d} = \frac{κ C_{0}}{f}

Los dos son más grandes que $C_{0}$ , porque cada uno tiene las placas más cerca.

Paso 3: en serie. Con la misma carga en los dos, las tensiones $Q / C_{aire}$ y $Q / C_{diel}$ se suman, y por eso se suman las inversas:

\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{aire}} + \frac{1}{C_{diel}} = \frac{1 - f}{C_{0}} + \frac{f}{κ C_{0}}

Paso 4: dar vuelta.

C = \frac{C_{0}}{1 - f + f / κ}

Si la lámina no estaba pegada a una placa, el aire queda en dos huecos, uno arriba y otro abajo, y son tres capacitores en serie. Los dos de aire suman sus inversas, $(d_{1} + d_{2}) / (ε_{0} A)$ , y sólo importa el total de aire, $d_{1} + d_{2} = (1 - f) d$ . La posición no entra.

Segunda manera: el campo tramo por tramo. Ahora sin hablar de capacitores: poner $\pm Q$ en las placas, calcular la tensión, dividir.

Paso 1: el campo en el aire. En los huecos de aire el campo es el de las cargas libres de las placas, sin nada que lo debilite. La ley de Gauss da lo mismo que sin lámina:

E_{0} = \frac{σ}{ε_{0}} = \frac{Q}{ε_{0} A}

Paso 2: el campo en la lámina. Adentro del dieléctrico, las cargas ligadas de sus caras tapan una parte, y el campo es $κ$ veces menor: $E_{0} / κ$ .

Paso 3: la tensión. Los dos campos son uniformes en su tramo, así que cada tramo aporta campo por largo, y los aportes se suman:

V = E_{0} (1 - f) d + \frac{E_{0}}{κ} f d = \frac{Q d}{ε_{0} A} (1 - f + \frac{f}{κ})

Otra vez, sólo entra cuánto aire hay en total, no cómo se reparte.

Paso 4: dividir. Con $Q d / (ε_{0} A) = Q / C_{0}$ :

C = \frac{Q}{V} = \frac{C_{0}}{1 - f + f / κ}

Lo mismo que la primera manera. La primera usó la regla de la serie sin mirar el campo; la segunda miró el campo sin usar la regla. Lo que tienen en común es la física: en la primera, que la misma $Q$ esté en los dos capacitores es lo mismo que, en la segunda, que la misma $σ$ produzca el campo en los dos tramos.

04 · El chequeo

Las unidades. $f$ y $κ$ no tienen unidades, así que el denominador tampoco, y $C$ queda en las de $C_{0}$ .

Los dos extremos. Con $f = 0$ el denominador es $1$ y $C = C_{0}$ : sin lámina, el capacitor vacío. Con $f = 1$ el denominador es $1 / κ$ y $C = κ C_{0}$ : lleno, la fórmula de siempre. En el medio el denominador queda entre $1 / κ$ y $1$ , y $C$ entre $C_{0}$ y $κ C_{0}$ , como se esperaba.

Los otros dos. Con $κ = 1$ la lámina es aire y vuelve $C_{0}$ , para cualquier $f$ . Con $κ \to \infty$ , que es una lámina de metal, queda $C_{0} / (1 - f)$ : un capacitor de aire con las placas a $(1 - f) d$ . El metal no aporta nada más que acortar la distancia.

Un número. Con $κ = 3$ y la lámina ocupando media separación, $C = C_{0} / (0,5 + 0,5 / 3) = 1,5 C_{0}$ . No es el promedio entre $C_{0}$ y $3 C_{0}$ , que sería $2 C_{0}$ : es menos, porque en serie manda el capacitor más chico, el de aire. Con esa carga, la tensión del tramo de aire es $E_{0} (1 - f) d$ sobre el total: el 75 %. Media separación de aire se queda con tres cuartos de la tensión.

05 · Lo que se lleva

Serie o paralelo se decide por el campo. Si el campo, yendo de una placa a la otra, cruza un material y después el otro, los dos son capacitores en serie. Si cada material va de placa a placa, uno al lado del otro, son en paralelo: la misma lámina puesta de canto, cubriendo la mitad del área, da $C_{0} (1 - f + f κ) = 2 C_{0}$ , más que la capa.

Una hoja de metal en una equipotencial no cambia nada. Es el truco que convierte un capacitor raro en dos comunes, y sirve igual para un dieléctrico de dos capas o para un conductor metido entre las placas.

Antes de entregar, los extremos. Una fórmula con un parámetro entre 0 y 1 se chequea en el 0 y en el 1. Si en $f = 0$ no da $C_{0}$ , está mal, aunque no se sepa dónde.

La capa y la columna lado a lado, con un widget donde se mueven $f$ y $κ$ y se ve el campo en cada tramo, están en la nota de los dieléctricos.