Práctico 5 · Ejercicio 12 · lo que se conserva al cerrar la llave es la carga, no la energía; el final es de igual tensión, y la resistencia se lleva tres cuartos de la energía sin que su valor importe.
Considere la siguiente situación: una carga Q es depositada en un capacitor de capacidad C, el cual se conecta en un circuito (ver figura) con una llave abierta y un capacitor de capacidad 3C (inicialmente sin carga). La llave se cierra y el circuito después de un cierto tiempo llega al equilibrio.
En términos de Q y C encuentre:
(a) El voltaje entre las placas de cada capacitor.
(b) La carga en cada capacitor.
(c) La energía final almacenada en cada capacitor.
(d) La energía disipada por la resistencia.
Qué se conserva. Al cerrar la llave, la placa de arriba de , el cable y la placa de arriba de forman un solo conductor. Las cargas se pueden mover adentro de él, pero no pueden salir: para eso tendrían que cruzar el aislante de alguno de los dos capacitores. Ese conductor tenía y va a seguir teniendo , repartida entre las dos placas. Lo mismo, con , abajo. La carga se conserva; la energía no, porque mientras la carga se reparte pasa corriente por , y la resistencia la convierte en calor.
Cómo es el final. «Llega al equilibrio» quiere decir que ya no pasa corriente. Sin corriente, la resistencia no tiene tensión, y entonces las placas de abajo están al mismo potencial; las de arriba ya lo estaban, unidas por un cable. Los dos capacitores terminan con la misma tensión. Esa es la condición que falta, y no tiene nada que ver con la energía.
Qué esperar. Si la tensión es la misma y , el de capacidad triple se queda con el triple de carga: tres cuartos de . La tensión final tiene que ser bastante menor que la de arranque, , porque la misma carga ahora ocupa cuatro veces más capacidad. Y como no aparece en ninguna de las dos condiciones, no puede aparecer en el resultado.
La tentación. Plantear «se conserva la energía» como segunda ecuación. Da un resultado con las tensiones opuestas, que no es un equilibrio; se ve en el chequeo.
(a) La tensión. Con en y en , las dos condiciones son
Reemplazando y en la primera, :
en los dos capacitores. Es lo mismo que si la carga estuviera en un solo capacitor de : al final están en paralelo, comparten placas de arriba y de abajo, y las capacidades se suman.
(b) Las cargas.
Suman , como tenía que ser.
(c) Las energías finales. Con para cada uno:
En total . El grande guarda el triple que el chico: misma tensión, triple capacidad.
(d) La energía disipada. No hace falta saber nada de la corriente: lo que falta es lo que se fue.
Los tres cuartos de la energía inicial, para cualquier . Una resistencia más grande hace la corriente más chica, pero el reparto dura más, y las dos cosas se compensan exactamente: la cuenta con la integral de y la medición para siete resistencias están en la resistencia no decide cuánto se pierde.
Y el transitorio, de yapa. El enunciado no lo pide, pero es la otra mitad del capítulo. Justo al cerrar la llave las cargas todavía no se movieron: sigue con y es una fuente de , y , vacío, no tiene tensión: es un cable. Toda la tensión cae en , y la corriente arranca en . Al final, los dos capacitores son cortes y no pasa nada.
En la malla la misma corriente pasa por los dos, que para el transitorio están en serie: la capacidad que ve es , y la constante de tiempo es .
Las unidades. es C/F = V. es C·(C/F) = C·V = J.
Con números. Con µF y µC: arranca con 12 V y 144 µJ. Termina con 3 V en los dos, 6 µC en el de 2 µF y 18 µC en el de 6 µF, que guardan 9 y 27 µJ. Faltan 108 µJ: los tres cuartos de 144.
Los casos límite. Con un segundo capacitor de capacidad en vez de , se pierde la fracción , que da 3/4 con . Si , el segundo no recibe nada y no se pierde nada. Si , se lleva toda la carga, la tensión cae a cero y se pierde todo. Con dos iguales, la mitad.
Qué daba con energía. Si se hubiera pedido que la energía final fuera , junto con , la solución no trivial es y : tensiones de y , opuestas. Con tensiones distintas pasa corriente, así que no es un equilibrio. La energía no puede conservarse y a la vez llegar a igual tensión.
Dos capacitores que se conectan: carga e igual tensión. Primero, qué conductores quedan aislados y con cuánta carga; después, que al final no pasa corriente y por eso las tensiones se igualan. Con esas dos condiciones sale el estado final sin mirar la resistencia.
La energía es la última cuenta, no la primera. Lo disipado es la diferencia entre la energía de antes y la de después. Nunca entra como dato para encontrar las cargas.
Paralelo al final, serie durante. El mismo par de capacitores comparte tensión en el equilibrio y comparte corriente en el transitorio. Para las cargas finales se suman las capacidades; para , se combinan en serie.
El mismo razonamiento, con una batería en la malla y un capacitor que arranca cargado, está en el capacitor cargado en serie. El transitorio entero, en el circuito RC.