El circuito RC

Un capacitor descargado se conecta a una batería a través de una resistencia. Si el cable fuera ideal, el capacitor se cargaría de golpe; con la resistencia en el medio no: al principio la carga entra rápido, después cada vez más despacio, y la corriente se va apagando sola hasta que el capacitor queda lleno. Esta nota es esa curva: de dónde sale, qué número la gobierna, y cómo se usa en los problemas donde hay más de una resistencia.

01 · Las piezas

Un capacitor son dos conductores separados por un aislante. Cuando tiene carga $+q$ en una placa y $-q$ en la otra, entre sus bornes hay una tensión

$$V_C=\frac{q}{C}$$

donde $C$ es su capacidad, en faradios. La tensión del capacitor es su carga, medida en voltios: no puede cambiar si no cambia la carga.

Una resistencia $R$ deja pasar una corriente $I$ proporcional a la tensión que tiene entre sus bornes, $V_R=IR$. La batería sostiene entre sus bornes una tensión fija, su fem $\epsilon$. Y la corriente que llega a una placa del capacitor es carga que se le suma: $I=dq/dt$.

Un circuito RC es lo más chico que se puede armar con esto: una resistencia y un capacitor en serie, con una batería (para cargarlo) o sin ella (para descargarlo).

02 · Por qué la corriente se apaga sola

La batería pone $\epsilon$ voltios, y esos voltios se reparten entre la resistencia y el capacitor. Recorriendo la malla en el sentido de la corriente, la ley de las mallas dice que lo que sube en la batería es lo que baja en los otros dos:

$$\epsilon -IR-\frac{q}{C}=0\Rightarrow I=\frac{\epsilon -q/C}{R}$$

Ahí está todo el comportamiento, antes de resolver nada. Cuanto más cargado está el capacitor, más tensión se queda él, y menos le queda a la resistencia. Menos tensión en la resistencia es menos corriente, y menos corriente es que la carga entra más despacio. El capacitor se frena a sí mismo.

Los dos extremos se leen de la misma ecuación. Al cerrar la llave el capacitor está descargado, $q=0$: no se queda con nada, la resistencia recibe los $\epsilon$ voltios enteros, y la corriente es la máxima, $I_0=\epsilon /R$. En ese instante el capacitor se porta como un cable. Mucho después la corriente es cero, porque el capacitor se quedó con toda la tensión: $q/C=\epsilon$, o sea $Q_f=C\epsilon$. Ahí se porta como un corte. La resistencia no aparece en $Q_f$: decide cuánto tarda, no hasta dónde llega.

03 · La carga, paso a paso

Paso 1: la ecuación es sobre la carga. Con $I=dq/dt$ y multiplicando arriba y abajo por $C$:

$$\frac{dq}{dt}=\frac{C\epsilon -q}{RC}$$

Paso 2: mirar lo que falta. $C\epsilon -q$ es la carga que le falta para llenarse; llamémosla $u$. Como $C\epsilon$ es constante, $u$ baja lo que $q$ sube, y la ecuación queda

$$\frac{du}{dt}=-\frac{u}{RC}$$

Lo que falta disminuye a un ritmo proporcional a lo que falta. Es la ley del decaimiento exponencial:

$$u(t)=u(0)e^{-t/RC}$$

Paso 3: volver a la carga. Arranca descargado, así que al principio falta todo: $u(0)=C\epsilon$. Llamando $Q_f=C\epsilon$ a la carga final y $\tau =RC$ a la constante de tiempo:

$$q(t)=Q_f(1-e^{-t/\tau })$$

Paso 4: la corriente es la derivada.

$$I(t)=\frac{dq}{dt}=\frac{\epsilon }{R}{e}^{-t/\tau }$$

Arranca en $\epsilon /R$ y cae a cero, con la misma exponencial que la carga que falta. En tensiones: el capacitor tiene $\epsilon (1-e^{-t/\tau })$ y la resistencia $\epsilon e^{-t/\tau }$: en cada instante suman $\epsilon$, y lo que gana una lo pierde la otra.

04 · La descarga

Ahora el capacitor arranca con carga $Q_0$, o sea con tensión $V_0=Q_0/C$, y se lo cierra sobre la resistencia sola, sin batería. Ahora es él quien empuja la corriente, y la malla dice que su tensión es la de la resistencia: $q/C=IR$. La corriente sale de la placa positiva, así que la carga baja: $I=-dq/dt$. Juntando, $dq/dt=-q/RC$, la misma ecuación del paso 2 pero para la carga misma:

$$\begin{array}{c}q(t)=Q_0{e}^{-t/\tau }\\ I(t)=\frac{V_0}{R}{e}^{-t/\tau }\end{array}$$

Con el mismo $\tau =RC$. La corriente arranca en $V_0/R$, como si el capacitor fuera una batería de $V_0$, y circula al revés que durante la carga. La carga y la descarga son la misma curva: en las dos, la distancia al valor final se achica por el mismo factor $e^{-t/\tau }$.

05 · La constante de tiempo

La constante de tiempo $\tau =RC$ es un tiempo: un ohm por un faradio es un segundo. Es lo único que la exponencial necesita saber del circuito, y se lee en fracciones de lo que falta:

tiempo	carga: ya tiene	descarga: le queda
τ	63,2 %	36,8 %
2τ	86,5 %	13,5 %
3τ	95,0 %	5,0 %
5τ	99,3 %	0,7 %

Leída de arriba abajo, la tabla dice lo que significa $\tau$: en cada τ, el capacitor recorre el 63 % de lo que le falta. No el 63 % del total cada vez: en el segundo τ recorre el 63 % del 36,8 % que quedaba, y por eso nunca termina del todo. A los efectos prácticos, a los cinco τ ya está: le falta menos del 1 %. Y esto no depende de $R$, ni de $C$, ni de $\epsilon$: esos tres sólo deciden cuánto vale $\tau$ en segundos.

Hay otra lectura, igual de útil. La recta tangente a $q(t)$ en el origen tiene pendiente $I_0=\epsilon /R$, y llega a $Q_f=C\epsilon$ justo en $C\epsilon /(\epsilon /R)=RC$. Así que $\tau$ es lo que tardaría en llenarse si la corriente no se frenara. Más resistencia, menos corriente: tarda más. Más capacidad, más carga para meter: también tarda más.

Para tener una escala, el Ejercicio 13 del práctico: 6 Ω y 2 µF dan $\tau =12$ µs. Con 12 V la corriente arranca en 2 A, la carga final es 24 µC, y a los 12 µs ya entraron 15,2 µC. Con resistencias de ohms y capacidades de microfaradios, todo pasa en microsegundos; con kiloohms, en milisegundos.

Arranca en $t=0$, con 2 kΩ y 100 µF: $\tau =\mathrm{0,2}$ s. Llevá el tiempo hasta la raya de $\tau$ y mirá el porcentaje: la carga llegó a 0,759 mC de 1,2 mC, el 63 %, y la corriente bajó de 6 mA a 2,21 mA, el 37 %. Antes de tocar $R$, apostá: si la duplicás, ¿la carga final sube, baja o queda igual? Después pasá a la descarga con el mismo cursor.

Con 4 kΩ la raya de $\tau$ se corre a 0,4 s y la corriente arranca en la mitad, 3 mA, pero la horizontal de la carga final no se mueve: 1,2 mC, porque $Q_f=C\epsilon$. Y en cualquier instante, el porcentaje de carga que falta y el porcentaje de corriente que queda son el mismo número: las dos curvas son la misma exponencial.

06 · Cuánto tarda en llegar a una fracción

Es la pregunta que más se repite cuando un problema pide la exponencial: cuánto tiempo hasta que la carga (o la tensión, que es lo mismo dividido por $C$) llega a una fracción $f$ de algo. Se despeja con un logaritmo, y lo único delicado es saber de qué es la fracción.

En la carga, una fracción del valor final. $Q_f(1-e^{-t/\tau })=f{Q}_f$, o sea $e^{-t/\tau }=1-f$:

$$t=-\tau \ln (1-f)$$

En la descarga, una fracción del valor inicial. $Q_0{e}^{-t/\tau }=f{Q}_0$:

$$t=-\tau \ln f=\tau \ln \frac{1}{f}$$

Los dos parciales recientes que lo piden caen uno de cada lado. El de 2023 descarga un capacitor hasta la décima parte de su voltaje inicial: $f=\mathrm{0,1}$ en la fórmula de la descarga, $t=\tau \ln 10=\mathrm{2,30}\tau$. El de 2025 carga dos capacitores y pregunta cuándo la carga alcanza un quinto de la total: $f=\mathrm{0,2}$ en la de la carga, $t=\tau \ln (5/4)=\mathrm{0,223}\tau$: un quinto se alcanza muy rápido, porque al principio la carga entra a toda velocidad. La mitad, en las dos, es $\tau \ln 2=\mathrm{0,693}\tau$.

Una fracción de la energía es otra cuenta. La energía guardada es $q^2/2C$, y en la descarga va con $e^{-2t/\tau }$: baja el doble de rápido que la carga. La energía llega a la décima parte en $(\tau /2)\ln 10=\mathrm{1,15}\tau$, la mitad que la carga.

07 · Con varias resistencias: la que ve el capacitor

En los parciales el capacitor casi nunca está solo con una resistencia. Hay dos o tres, a veces dos capacitores, y la pregunta es qué $R$ y qué $C$ van en $\tau$. La receta tiene tres pasos.

Paso 1: la C equivalente. Si hay dos capacitores sin ninguna resistencia entre ellos, se juntan como capacitores: en serie, $1/C=1/C_1+1/C_2$; en paralelo, $C=C_1+C_2$. Es lo que hace el Ejercicio 13 con los de 3 y 6 µF: 2 µF en serie, 9 µF en paralelo.

Paso 2: apagar las fuentes. Una batería ideal se reemplaza por un cable: lo que importa para $\tau$ es por dónde puede circular la carga del capacitor, no qué tensión empuja. Si la batería tiene resistencia interna, la resistencia se queda.

Paso 3: mirar desde los bornes del capacitor. Se saca el capacitor y se calcula la resistencia equivalente entre los dos puntos donde estaba, con las reglas de serie y paralelo. Ésa es la $R$ de $\tau =RC$.

En este circuito, con la batería apagada, desde los bornes del capacitor se ven $R_1$ (que ahora llega al otro borne por el cable que dejó la batería) y $R_2$, las dos entre los mismos dos puntos: en paralelo. $R=3\parallel 6=2$ Ω, y $\tau =2\text{Ω}·2\text{µF}=4$ µs. No 9 Ω, que es lo que da sumar todo.

Con $\tau$ en la mano, cualquier corriente o tensión del circuito, sea $x$, va de su valor al cerrar la llave a su valor final con la misma exponencial:

$$x(t)=x_f+(x_0-x_f)e^{-t/\tau }$$

Y los dos extremos salen sin exponencial: al cerrar la llave el capacitor descargado es un cable (la corriente por $R_1$ es $12/3=4$ A y por $R_2$, cortocircuitada, nada); al final es un corte (pasan $12/9=\mathrm{1,33}$ A por las dos resistencias y el capacitor queda con la tensión de $R_2$, 8 V). Es tan cierto que tiene su propio ensayo: el capacitor es un cable y después un corte.

Apagar no es lo mismo que desconectar. El parcial de 2023 tiene un puente de cuatro resistencias (1, 8, 4 y 2 Ω) con un capacitor de 1 µF en la diagonal, y pide la descarga después de desconectar la batería. Desconectada, la rama de la batería queda abierta: desde el capacitor se ven dos caminos, 1 + 8 = 9 Ω y 4 + 2 = 6 Ω, en paralelo, que dan 3,6 Ω y $\tau =\mathrm{3,6}$ µs; a la décima parte llega en 8,29 µs. Si en cambio la batería se reemplazara por un cable, el cable uniría los vértices de arriba y de abajo, y la cuenta sería $(1\parallel 4)+(8\parallel 2)=\mathrm{2,4}$ Ω. El cable es para la batería que sigue en el circuito; la que se saca, se saca.

08 · Los errores típicos

1. Sumar todas las resistencias para τ. La $R$ de $\tau$ es la que ve el capacitor con las fuentes apagadas, y casi nunca es la suma de todas: en el circuito de la sección 07 es 2 Ω, no 9.
2. Confundir «llega a» con «le queda». Llegar a un quinto en la carga es $-\tau \ln \mathrm{0,8}$; quedarle un quinto en la descarga es $-\tau \ln \mathrm{0,2}$. Son 0,223 τ contra 1,61 τ.
3. Creer que la resistencia cambia la carga final. $Q_f=C{V}_f$, y $V_f$ sale del circuito con el capacitor cortado. La resistencia en serie con el capacitor sólo decide cuánto tarda.
4. Las unidades. Ω por µF da µs; kΩ por µF da ms. Un $\tau$ de 12 da cosas muy distintas según de cuáles sea.
5. Tratar como cable una batería desconectada. Apagarla es reemplazarla por un cable; desconectarla es abrir su rama. Cambia la $R$ que ve el capacitor.
6. Mezclar fracciones de carga y de energía. La tensión va con la carga; la energía, con su cuadrado, y llega a una fracción en la mitad de tiempo.

Para tener a mano

1. Malla: $\epsilon -IR-q/C=0$. Cuanto más cargado, menos tensión le queda a la resistencia y menos corriente pasa.
2. Carga: $q=C\epsilon (1-e^{-t/\tau })$, $I=(\epsilon /R)e^{-t/\tau }$. Descarga: $q=Q_0{e}^{-t/\tau }$, con la corriente al revés.
3. $\tau =RC$: 63 % de lo que falta en cada τ; listo a los 5τ. Es lo que tardaría si la corriente no se frenara.
4. Fracción $f$: carga, $t=-\tau \ln (1-f)$; descarga, $t=-\tau \ln f$.
5. Varias resistencias: la $R$ que se ve desde los bornes del capacitor, con las baterías ideales hechas cable (y las desconectadas, abiertas).
6. Cualquier magnitud: $x=x_f+(x_0-x_f)e^{-t/\tau }$, con $x_0$ del capacitor como cable (o fuente) y $x_f$ del capacitor como corte.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2 (14.ª edición), capítulo 26, «Circuitos de corriente directa», sección 26.4, «Circuitos R-C»: la carga y la descarga con la misma ecuación de malla y el significado de la constante de tiempo. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 27, «Circuitos de corriente directa», sección 27.4, «Circuitos RC».