Bitácora · Física 1 · Ejemplo

El dipolo del amoníaco

Práctico 4 · Ejercicio 17 · una molécula neutra a 52 nm todavía hace potencial: 16,3 µV sobre el eje de su dipolo, unas 1700 veces menos que un electrón solo a la misma distancia

17. La molécula de amoníaco NH₃ tiene un dipolo eléctrico permanente igual a 1,47 D, donde 1 D (1 debye) = 3,34·10⁻³⁰ C·m. Calcule el potencial eléctrico de una molécula de amoníaco a 52 nm a lo largo del eje del dipolo (considere V = 0 en el infinito). Recuerde los cálculos de potencial de un dipolo sobre puntos alejados sobre el eje.

01 · Antes de hacer cuentas

El modelo. La molécula es neutra, pero sus electrones pasan más tiempo cerca del nitrógeno que de los hidrógenos: queda un extremo algo negativo y otro algo positivo. Eso es un dipolo eléctrico, y el dato que lo resume es su momento dipolar $p$ , que el enunciado da en debye. No hace falta saber cuánta carga hay en cada extremo ni a qué distancia están: lejos, el potencial depende sólo del producto.

¿Es «lejos»? La molécula mide del orden de una décima de nanómetro, y el punto está a 52 nm: unas quinientas veces su tamaño. La aproximación dipolar sobre el eje se aparta del valor exacto en una fracción ${(d / 2 r)}^{2}$ , que acá es menos de una millonésima. Se puede usar sin culpa.

Qué esperar. Un número muy chico. El momento de 1,47 D equivale a una carga $\pm e$ separada sólo $p / e \approx 0,031 nm$ , así que desde 52 nm las dos cargas se cancelan casi del todo. Un electrón solo, a 52 nm, haría $k e / r \approx 27,7 mV$ ; el dipolo tiene que dar bastante menos, en microvoltios. Y un signo: positivo del lado hacia el que apunta $\vec{p}$ , el de los hidrógenos, y negativo del lado del nitrógeno.

02 · La resolución

Paso 1: el momento en unidades del SI.

p = 1,47 \times 3,34 \cdot 10^{- 30} C \cdot m = 4,91 \cdot 10^{- 30} C \cdot m

Paso 2: el potencial sobre el eje. Para dos cargas $\pm q$ a distancia $d$ y un punto del eje a distancia $r$ del centro, del lado de la positiva, la suma de los dos potenciales da

V = \frac{k q}{r - d / 2} - \frac{k q}{r + d / 2} = \frac{k p}{r^{2} - d^{2} / 4}

con $p = q d$ . Ya tiene incorporado $V = 0$ en el infinito, porque cada $k q / r$ lo tiene. Con $r ≫ d$ , el $d^{2} / 4$ del denominador no pesa:

V \approx \frac{k p}{r^{2}}

Es lo que pide recordar el enunciado, y es la razón por la que no hace falta conocer $q$ ni $d$ .

Paso 3: los números. Con $r = 52 nm = 5,2 \cdot 10^{- 8} m$ , $r^{2} = 2,704 \cdot 10^{- 15} m^{2}$ :

V = \frac{8,99 \cdot 10^{9} \times 4,91 \cdot 10^{- 30}}{2,704 \cdot 10^{- 15}} V = 1,63 \cdot 10^{- 5} V

O sea 16,3 µV, positivo si el punto está del lado de los hidrógenos y $- 16,3 µV$ del lado del nitrógeno. El enunciado dice «a lo largo del eje» sin elegir lado, así que la respuesta completa es el módulo con esa aclaración.

03 · El chequeo

Unidades. $N \cdot m^{2} / C^{2} \times C \cdot m / m^{2} = N \cdot m / C = J / C = V$ .

Contra lo esperado. El cociente con el potencial de un electrón solo es $(k p / r^{2}) / (k e / r) = p / (e r) = 5,9 \cdot 10^{- 4}$ : el dipolo hace unas 1700 veces menos. Es la separación efectiva, 0,031 nm, dividida por la distancia, 52 nm. Microvoltios, como se esperaba.

La aproximación. Si se arma el dipolo con $\pm e$ a 0,031 nm y se suman los dos potenciales sin aproximar, el resultado coincide con $k p / r^{2}$ en las primeras siete cifras. Aun suponiendo las cargas separadas 0,1 nm, todo el tamaño de la molécula, la diferencia es de una parte en un millón.

Cómo escala. $V \propto 1 / r^{2}$ : a 5,2 nm, diez veces más cerca, serían 1,63 mV, cien veces más. Una carga suelta ganaría sólo un factor diez.

04 · Lo que se lleva

Este ejercicio es la aproximación dipolar en su versión más directa, y la decisión que enseña está en el primer paso: reconocer que «lejos» está garantizado por los números —un punto a quinientos tamaños de molécula— y entonces usar $k p / r^{2}$ sin buscar las cargas. Lo demás es convertir el debye y no olvidarse de elevar al cuadrado. Si el punto estuviera sobre la mediatriz, la respuesta sería cero, y si pidieran el campo sobre el eje, $2 k p / r^{3}$ . Las tres fórmulas, con su derivación, están en el dipolo eléctrico.