El dipolo eléctrico

Una molécula de agua no tiene carga: tiene tantos electrones como protones. Y sin embargo dos moléculas de agua se atraen, y un peine frotado desvía un hilo de agua que cae de la canilla. Lo que pasa es que los electrones se quedan más tiempo cerca del oxígeno que de los hidrógenos, y la molécula termina con un lado un poco negativo y el otro un poco positivo. El modelo más simple de eso son dos cargas iguales y opuestas, muy juntas. Vistas desde lejos suman cero, y la primera intuición dice que no deberían hacer campo. Hacen, pero un campo más débil y que se apaga más rápido con la distancia. Esta nota cuenta cuánto y por qué.

01 · Dos cargas opuestas a una distancia d

Un dipolo eléctrico son dos cargas puntuales, $+ q$ y $- q$ , separadas una distancia $d$ . La recta que pasa por las dos es el eje del dipolo. La recta perpendicular al eje que pasa por el punto medio es la mediatriz: todos sus puntos están a la misma distancia de las dos cargas. Las cuentas de esta nota ponen el punto medio en el origen, el eje sobre $x$ , la positiva en $x = d / 2$ y la negativa en $x = - d / 2$ .

No hace falta nada nuevo para calcular lo que hace: cada carga produce su campo de Coulomb, $k q / r^{2}$ , y su potencial, $k q / r$ , y por superposición el total es la suma: de vectores para el campo, de números para el potencial. Lo único que tiene de especial el dipolo es que esas sumas casi se cancelan.

02 · El momento dipolar

El vector que va de la carga negativa a la positiva se llama $\vec{d}$ , y el momento dipolar es

\vec{p} = q \vec{d}, p = q d

Su módulo se mide en $C \cdot m$ y su sentido es de la negativa a la positiva. Ojo con eso: entre las dos cargas el campo va de la positiva a la negativa, o sea al revés que $\vec{p}$ .

¿Por qué juntar $q$ y $d$ en un solo número? Porque de lejos es lo único que se ve. Duplicar la carga y acercar las cargas a la mitad deja el mismo $p$ , y las secciones que siguen muestran que lejos del dipolo el campo y el potencial dependen sólo de $p$ . Para las moléculas se usa una unidad más chica, el debye: $1 D = 3,34 \cdot 10^{- 30} C \cdot m$ . El amoníaco, por ejemplo, tiene 1,47 D.

03 · Sobre el eje

Un punto del eje a distancia $r$ del centro, del lado de la positiva ( $r > d / 2$ ). Está a $r - d / 2$ de $+ q$ y a $r + d / 2$ de $- q$ .

El potencial. Se suman los dos potenciales y se pasa a denominador común. Arriba queda $(r + d / 2) - (r - d / 2) = d$ , y abajo una diferencia de cuadrados:

V = \frac{k q}{r - d / 2} - \frac{k q}{r + d / 2} = \frac{k p}{r^{2} - d^{2} / 4}

El campo. Los dos campos están sobre el eje. El de $+ q$ empuja hacia afuera, hacia $+ x$ ; el de $- q$ tira hacia ella, hacia $- x$ . Gana la positiva, que está más cerca, así que el campo apunta como $\vec{p}$ . Al restar, arriba queda ${(r + d / 2)}^{2} - {(r - d / 2)}^{2} = 2 r d$ :

E = \frac{k q}{{(r - d / 2)}^{2}} - \frac{k q}{{(r + d / 2)}^{2}} = \frac{2 k p r}{{(r^{2} - d^{2} / 4)}^{2}}

Del otro lado, más allá de la negativa, el módulo es el mismo y el campo también apunta como $\vec{p}$ : ahí la que está más cerca es $- q$ , que tira hacia el centro. El potencial, en cambio, cambia de signo: es negativo de ese lado.

04 · Sobre la mediatriz

Un punto de la mediatriz a distancia $r$ del centro está a la misma distancia de las dos cargas, $s = \sqrt{r^{2} + d^{2} / 4}$ . Los dos potenciales son iguales y opuestos:

V = \frac{k q}{s} - \frac{k q}{s} = 0

en toda la mediatriz, a cualquier distancia. El campo no. Los dos campos tienen el mismo módulo, $k q / s^{2}$ . El de la positiva sale de ella y el de la negativa entra en ella, así que sus componentes a lo largo de la mediatriz se cancelan y las paralelas al eje se suman, las dos apuntando de la positiva a la negativa. Cada una vale el módulo por el coseno del ángulo con el eje, $(d / 2) / s$ :

E = 2 \cdot \frac{k q}{s^{2}} \cdot \frac{d / 2}{s} = \frac{k p}{{(r^{2} + d^{2} / 4)}^{3 / 2}}

apuntando al revés que $\vec{p}$ . Es el caso que más sirve para no confundirse: el potencial vale cero y el campo no. El campo no depende del valor de $V$ en un punto, sino de cómo cambia $V$ al moverse: corriéndose de la mediatriz hacia la positiva el potencial sube, y hacia la negativa baja.

05 · De lejos, paso a paso

Las tres fórmulas de arriba son exactas. Lejos del dipolo, $r ≫ d$ , se simplifican, y la simplificación es la que se usa en casi todos los ejercicios.

Paso 1: un número chico. Se llama $x = d / (2 r)$ . Lejos del dipolo es mucho menor que uno: a $r = 10 d$ vale 0,05, y su cuadrado 0,0025.

Paso 2: sacar $r^{2}$ de factor común. En los denominadores, $r^{2} \mp d^{2} / 4 = r^{2} (1 \mp x^{2})$ . Las tres fórmulas exactas quedan como una potencia de $r$ por un factor que sólo depende de $x$ :

\begin{array}{l} V_{eje} = \frac{k p}{r^{2}} \cdot \frac{1}{1 - x^{2}} \\ E_{eje} = \frac{2 k p}{r^{3}} \cdot \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} \\ E_{med} = \frac{k p}{r^{3}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{3 / 2}} \end{array}

Para el campo sobre el eje: ${(r^{2} - d^{2} / 4)}^{2} = r^{4} {(1 - x^{2})}^{2}$ , y la $r$ del numerador se lleva una de las cuatro.

Paso 3: tirar lo chico. Si $x^{2}$ es despreciable frente a 1, los tres factores valen 1 y queda la aproximación dipolar:

V_{eje} \approx \frac{k p}{r^{2}}, E_{eje} \approx \frac{2 k p}{r^{3}}, E_{med} \approx \frac{k p}{r^{3}}

Ni $q$ ni $d$ aparecen sueltos: sólo su producto. Y sobre el eje el campo es el doble que sobre la mediatriz, a la misma distancia.

Paso 4: en cualquier dirección. Si el punto está a distancia $r$ en una dirección que forma un ángulo $θ$ con $\vec{p}$ , la misma cuenta da

V \approx \frac{k p \cos θ}{r^{2}}, E_{r} \approx \frac{2 k p \cos θ}{r^{3}}, E_{θ} \approx \frac{k p sen θ}{r^{3}}

donde $E_{r}$ es la componente que se aleja del dipolo y $E_{θ}$ la perpendicular, en el sentido en que crece $θ$ . Con $θ = 0$ vuelve el eje; con $θ = 90 °$ , la mediatriz, con $V = 0$ .

Lo que falta saber es cuándo «lejos» es lejos. Antes de mirar el widget, una apuesta.

A la distancia de arranque la aproximación del campo sobre el eje se queda corta en un 44 %. Alejándose, la brecha se cierra rápido, pero no tan rápido como uno espera: el 1 % llega recién a 7,06 separaciones sobre el eje. En el gráfico de abajo la caída es una recta de pendiente −2: cada vez que la distancia se multiplica por diez, el error se divide por cien.

Paso 5: lo que se tiró. El factor de corrección se aparta de 1 en algo del orden de $x^{2} = d^{2} / (4 r^{2})$ . Medido contra las fórmulas exactas, como porcentaje del valor exacto:

r / d	E en el eje	E en la mediatriz	V en el eje
1	43,8 %	39,8 %	25,0 %
2	12,1 %	9,52 %	6,25 %
3	5,48 %	4,20 %	2,78 %
5	1,99 %	1,50 %	1,00 %
10	0,50 %	0,38 %	0,25 %
20	0,12 %	0,09 %	0,06 %

El potencial es el que mejor anda: su error es exactamente $x^{2}$ , y baja del 1 % justo en $r = 5 d$ . El campo sobre el eje es el peor, porque el factor está al cuadrado: 1 % en $7,06 d$ . Sobre la mediatriz, en $6,13 d$ . Sobre el eje la aproximación da de menos y sobre la mediatriz da de más. En una molécula, donde $d$ es una fracción de nanómetro, cualquier distancia que se pueda medir es «lejos».

06 · Por qué cae como 1/r³ y no como 1/r²

Una carga sola hace un campo que cae como $1 / r^{2}$ . El dipolo son dos cargas, y cada una por separado haría eso. Lo que pasa es que hacen campos opuestos, y desde lejos casi iguales: están casi a la misma distancia. Lo que queda es la diferencia entre el campo de una carga a distancia $r - d / 2$ y a distancia $r + d / 2$ .

Una diferencia entre dos valores muy cercanos de una función es, aproximadamente, la separación por la derivada. La derivada de $1 / r^{2}$ es $- 2 / r^{3}$ , así que

E_{eje} \approx k q \cdot d \cdot \frac{2}{r^{3}} = \frac{2 k p}{r^{3}}

La potencia de más sale de derivar: el dipolo no hace un campo de Coulomb, hace lo que cambia un campo de Coulomb a lo largo de una distancia $d$ . Con el potencial pasa lo mismo un escalón más abajo: $1 / r$ derivado da $1 / r^{2}$ .

El precio de la cancelación se puede medir. Sobre el eje, el cociente entre el campo del dipolo y el que haría $+ q$ sola es $2 d / r$ : a diez separaciones el dipolo hace el 20 % de lo que haría una de sus cargas, y a cien separaciones, el 2 %.

Y la idea sigue. Si un grupo de cargas tiene carga total distinta de cero, de lejos manda ella, y cae como $1 / r^{2}$ . Si la carga total es cero pero el momento dipolar no, manda el dipolo, con $1 / r^{3}$ . Si los dos son cero —por ejemplo $+ q$ , $- 2 q$ , $+ q$ en fila, que son dos dipolos opuestos—, queda el término siguiente, que cae como $1 / r^{4}$ . Eso tiene su propio ensayo: de lejos, sólo queda lo que sobra.

07 · En un campo uniforme: torque y energía

Ahora al revés: el dipolo no hace el campo, lo recibe. En un campo uniforme $\vec{E}$ , sobre la positiva actúa $q \vec{E}$ y sobre la negativa $- q \vec{E}$ . La fuerza neta es cero: el dipolo no se traslada. Pero las dos fuerzas no están sobre la misma recta, y forman un par que lo hace girar. Si $θ$ es el ángulo entre $\vec{p}$ y $\vec{E}$ , cada fuerza tiene brazo $(d / 2) sen θ$ respecto del centro, y el torque total es

\vec{τ} = \vec{p} \times \vec{E}, τ = p E sen θ

Siempre empuja a $\vec{p}$ hacia la dirección de $\vec{E}$ . La energía potencial sale de sumar la de cada carga, $U = q V_{+} - q V_{-}$ , y en un campo uniforme la diferencia de potencial entre las dos cargas es $V_{+} - V_{-} = - E d \cos θ$ :

U = - \vec{p} \cdot \vec{E} = - p E \cos θ

Alineado con el campo, $U = - p E$ : el mínimo, un equilibrio estable. Al revés, $U = + p E$ : también es equilibrio, porque el torque es cero, pero cualquier empujón lo voltea. Llevarlo de alineado a invertido cuesta $2 p E$ . Si el campo no es uniforme, la carga que está donde el campo es más fuerte gana y la fuerza neta deja de ser cero: el dipolo, ya alineado, se va hacia donde el campo es más intenso. Por eso el peine frotado levanta papelitos que no tienen carga: el campo del peine los polariza, los alinea y los atrae.

08 · En los ejercicios

El dipolo aparece de tres maneras en el práctico y los parciales:

Dos cargas que pueden no ser iguales y la pregunta por el campo lejos. Primero se suman las cargas: si no dan cero, manda la neta; si dan cero, es un dipolo. Es el par visto de lejos, el Ejercicio 15.
Una molécula con su momento en debye y un punto a una distancia enorme comparada con su tamaño: la aproximación dipolar directa. Es el dipolo del amoníaco, el Ejercicio 17.
Una «buena estimación» del campo para $r ≫ d$ de un grupo de cargas, como en el Parcial 2 de 2020: las cuatro cargas y la roja. Otra vez, primero se suman las cargas.

Los errores que más se repiten:

Dibujar $\vec{p}$ de la positiva a la negativa. Va de la negativa a la positiva.
Confundir la separación. Muchos libros ponen las cargas en $\pm a$ , y entonces $p = 2 q a$ , no $q a$ .
Usar $2 k p / r^{3}$ en la mediatriz o $k p / r^{3}$ en el eje: el 2 va en el eje.
Usar la aproximación a una distancia comparable con $d$ . A $2 d$ el campo sobre el eje ya tiene un 12 % de error.
Concluir que un sistema neutro no hace campo, o que donde $V = 0$ también $E = 0$ . La mediatriz desmiente las dos cosas.

Para tener a mano

Dipolo: $+ q$ y $- q$ a distancia $d$ . Momento $\vec{p} = q \vec{d}$ , de la negativa a la positiva, en $C \cdot m$ ; $1 D = 3,34 \cdot 10^{- 30} C \cdot m$ .
Exactos. En el eje: $V = k p / (r^{2} - d^{2} / 4)$ y $E = 2 k p r / {(r^{2} - d^{2} / 4)}^{2}$ , a lo largo de $\vec{p}$ . En la mediatriz: $V = 0$ y $E = k p / {(r^{2} + d^{2} / 4)}^{3 / 2}$ , al revés que $\vec{p}$ .
Lejos ( $r ≫ d$ ): $V \approx k p \cos θ / r^{2}$ ; en el eje $E \approx 2 k p / r^{3}$ , en la mediatriz $E \approx k p / r^{3}$ . Error del orden de $d^{2} / (4 r^{2})$ : menos del 1 % desde 7,06 d en el eje, 6,13 d en la mediatriz y 5 d para el potencial.
Cae una potencia más rápido que una carga porque es la diferencia de dos campos de Coulomb casi iguales: separación por derivada.
En un campo uniforme: fuerza neta cero, $\vec{τ} = \vec{p} \times \vec{E}$ , $U = - \vec{p} \cdot \vec{E}$ ; estable alineado, y darlo vuelta cuesta $2 p E$ .

Para leer más

Sears-Zemansky, vol. 2 (14.ª ed.), sección 21.7, «Dipolos eléctricos»: el campo, el par de torsión y la energía, con el mismo dibujo de las dos fuerzas. Serway-Jewett, vol. 2: el ejemplo 22.6 calcula el campo sobre la mediatriz, el ejemplo 24.4 el potencial y su límite lejano (con las cargas en $\pm a$ ), y la sección 25.6 trata el dipolo en un campo. Alonso-Finn, vol. 2, capítulo 14, «Dipolo eléctrico»: la forma vectorial del campo y la energía de interacción entre dos dipolos.