Tres cargas y el punto P

Es el problema de electrostática del Parcial 2 del 6 de noviembre de 2025. Tiene la forma más común de todas: unas pocas cargas puntuales fijas, un punto donde mirar, y tres preguntas que recorren el bloque en orden —el campo, el potencial y el trabajo—.

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. Cargas puntuales fijas en el vacío. El campo de cada una en $P$ es el de la ley de Coulomb dividido por la carga de prueba, y el total es la superposición de los tres. No hay nada que se mueva ni que se reacomode: ni conductores ni dieléctricos.

Qué esperamos. La carga neta es $-3q+q-q=-3q$, y $P$ está a $5L$ del origen, lejos comparado con el tamaño $L$ del grupo. Visto desde $P$, el grupo se parece bastante a una sola carga $-3q$ en el origen: el campo tiene que apuntar más o menos hacia el origen —abajo y a la izquierda, si $q>0$—, con un módulo del orden de $3kq/(25L^2)$, y el potencial tiene que salir negativo, cerca de $-3kq/(5L)$. Eso es lo que hay que reconocer en el resultado.

Cuál es la llave. El campo es un vector y el potencial es un número. Para (a) cada carga aporta un vector que apunta distinto, y hay que sumarlos por componentes; sumar los tres módulos da un número sin sentido. Para (b) y (c), en cambio, no hace falta ningún vector: el trabajo para traer $q_0$ desde el infinito sólo depende del potencial en $P$, y el potencial de tres cargas es la suma de tres números con signo. El camino por el que se trae la carga no importa.

03 · La resolución

El campo de una carga puntual $q_i$ ubicada en ${\overrightarrow{r}}_i$, en el punto $P$, es

$${\overrightarrow{E}}_i=\frac{k{q}_i}{d^3}\overrightarrow{d},\overrightarrow{d}={\overrightarrow{r}}_P-{\overrightarrow{r}}_i$$

El vector $\overrightarrow{d}$ va de la carga al punto, y $d$ es su módulo. Con el cubo abajo la fórmula ya trae el vector unitario adentro: $\overrightarrow{d}/d^3$ es el unitario sobre $d^2$. Y el signo de $q_i$ se encarga solo del sentido: si es negativa, el vector da vuelta y apunta hacia la carga.

(a) El campo en P. Carga por carga.

1. La $-3q$ del origen. $\overrightarrow{d}=3Lî+4Lĵ$, de módulo $5L$: $${\overrightarrow{E}}_1=\frac{k(-3q)}{125L^3}(3Lî+4Lĵ)$$ $${\overrightarrow{E}}_1=\frac{kq}{L^2}(-\frac{9}{125}î-\frac{12}{125}ĵ)$$
2. La $+q$ en $(0,L)$. $\overrightarrow{d}=3Lî+3Lĵ$, de módulo $3\sqrt{2}L$, y su cubo es $54\sqrt{2}{L}^3$: $${\overrightarrow{E}}_2=\frac{kq}{L^2}\frac{1}{18\sqrt{2}}(î+ĵ)$$ Es positiva, así que empuja a $P$ hacia afuera, en diagonal, hacia arriba y a la derecha.
3. La $-q$ en $(L,0)$. $\overrightarrow{d}=2Lî+4Lĵ$, de módulo $2\sqrt{5}L$, y su cubo es $40\sqrt{5}{L}^3$: $${\overrightarrow{E}}_3=-\frac{kq}{L^2}\frac{1}{20\sqrt{5}}(î+2ĵ)$$

Sumando componente a componente:

La expresión vectorial, exacta y con los decimales:

$${\overrightarrow{E}}_P\approx \frac{kq}{L^2}(-\mathrm{0,0551}î-\mathrm{0,1014}ĵ)$$

Su módulo es $\mathrm{0,115}kq/L^2$, y apunta abajo y a la izquierda, $\mathrm{61,5}°$ por debajo del semieje $-x$. Para dibujarlo alcanza con eso: una flecha que sale de $P$ hacia el tercer cuadrante, casi el doble de larga en $y$ que en $x$. Con $q<0$ la flecha se da vuelta entera.

a escala: E₁, E₂ y E₃ en gris, el total en azul

(b) El trabajo del agente externo. Un agente que trae $q_0$ despacio, sin darle energía cinética, hace exactamente el trabajo que cambia la energía potencial: $W_{\text{ext}}=q_0(V_P-V_{\infty })$, con $V_{\infty }=0$. El potencial en $P$ se suma como números, con las tres distancias que ya están calculadas:

$$V_P=\frac{k(-3q)}{5L}+\frac{kq}{3\sqrt{2}L}+\frac{k(-q)}{2\sqrt{5}L}$$ $$V_P=\frac{kq}{L}(-\mathrm{0,600}+\mathrm{0,236}-\mathrm{0,224})=-\mathrm{0,588}\frac{kq}{L}$$

Entonces

$$W_{\text{ext}}=q_0{V}_P=-\mathrm{0,588}\frac{kq{q}_0}{L}$$

Con $q$ y $q_0$ del mismo signo, es negativo: el grupo, que en neto es negativo, atrae a la carga de prueba positiva, y el agente no empuja sino que frena para que no llegue acelerada.

(c) El trabajo del campo. El campo hace el trabajo que baja la energía potencial: $W_{\text{campo}}=-\Delta U=-q_0{V}_P$:

$$W_{\text{campo}}=+\mathrm{0,588}\frac{kq{q}_0}{L}$$

Es el mismo número que (b) con el signo cambiado. No es casualidad: si la carga llega a $P$ en reposo, la energía cinética no cambió, y por el teorema del trabajo y la energía los dos trabajos suman cero.

04 · El chequeo

Unidades. $kq/L^2$ son $\text{N·m²/C²}·\text{C/m²}=\text{N/C}$, que es campo. $kq/L$ son voltios, y multiplicado por $q_0$ da joules.

Contra lo que esperábamos. Si toda la carga neta, $-3q$, estuviera en el origen, el campo en $P$ valdría $\mathrm{0,120}kq/L^2$ apuntando hacia el origen, a $\mathrm{53,1}°$ por debajo del semieje $-x$, y el potencial $-\mathrm{0,600}kq/L$. El resultado exacto da $\mathrm{0,115}$, $\mathrm{61,5}°$ y $-\mathrm{0,588}$: cerca, y corrido en la dirección que corresponde, porque la $-q$ de $(L,0)$ tira la flecha un poco más hacia abajo. Si el resultado hubiera salido apuntando hacia arriba, o con el potencial positivo, habría un signo mal puesto.

Los dos trabajos. (b) y (c) suman cero. Si en la hoja suman otra cosa, uno de los dos lleva el signo equivocado.

05 · Lo que se lleva

El campo por componentes, siempre. Para cada carga: el vector que va de la carga al punto, su módulo, el cubo del módulo abajo y el signo de la carga adelante. Con eso no hay que pensar «hacia dónde apunta» carga por carga: el signo lo resuelve.

Para el trabajo, el potencial. Traer una carga desde el infinito cuesta $q_0{V}_P$, sin integrar nada y sin mirar el camino. Es el mismo atajo que en traer una tercera carga.

Agente y campo, signos opuestos. $W_{\text{ext}}=\Delta U$ y $W_{\text{campo}}=-\Delta U$. El parcial pregunta los dos para ver si se distinguen.

Qué evalúa este problema

1. Superponer campos como vectores: armar el vector de cada carga al punto y sumar por componentes.
2. Superponer potenciales como números con signo, y ver que es la cuenta más corta del problema.
3. Pasar del potencial al trabajo: $W_{\text{ext}}=q_0\Delta V$.
4. Distinguir el trabajo del agente del trabajo del campo, que tienen signos opuestos.