Para saber cómo es el campo lejos de un grupo de cargas no hace falta sumar ningún campo: alcanza con sumar las cargas. Si sobra carga, manda ella y cae como 1/r²; si no sobra, manda el dipolo y cae como 1/r³.
El Parcial 2 de 2020 pone cuatro cargas fijas: en , en , en y en . Uno de los incisos pide «una buena estimación del campo eléctrico para ». El camino largo es escribir los cuatro campos con sus coordenadas, sumarlos y ver qué queda cuando crece. El corto es una línea: . Lejos, el campo es el de una sola carga . Este ensayo defiende que esa línea es la respuesta, dice qué hacer cuando la suma da cero, y mide qué tan lejos hay que estar para que «lejos» sea verdad.
La carga neta de un grupo de cargas es su suma con signo, . Si el grupo cabe en una región de tamaño y se lo mira desde una distancia mucho mayor, todas las cargas están prácticamente a la misma distancia y en la misma dirección. Cada una hace un campo apuntando casi igual, y la superposición se reduce a sumar números:
donde es el vector de módulo uno que apunta desde el grupo hacia el punto. Lo que se tira son dos diferencias: las distancias no son exactamente iguales, y las direcciones tampoco. Las dos son del tamaño de , y se achican al alejarse. Para el Parcial 2020 la respuesta es entonces , apuntando hacia las cargas porque la neta es negativa. Con los datos de ese año, :
No hizo falta un solo vector. La pregunta «¿cómo es el campo lejos?» se contesta sumando cargas.
El atajo tiene un caso en el que parece fallar: cuando la carga neta es cero. El Ejercicio 15 del práctico pone justo eso sobre la mesa, con las dos cargas del Ejercicio 5: a un lado del origen y al otro. Si , sobra carga y vale lo de arriba. Si son iguales, , y el término desaparece entero.
Lo que queda es justamente lo que se había tirado: la diferencia de posiciones. Se mide con el momento dipolar del grupo, la suma de cada carga por su posición:
Para dos cargas a distancia da el de siempre, de la negativa a la positiva. Su campo lejano cae como : vale sobre el eje y sobre la mediatriz. Y otra vez es una suma de números, no de campos: carga por coordenada.
La escalera sigue. Si y también —, y en fila, dos dipolos espalda con espalda—, manda el escalón siguiente, el cuadrupolo, que cae como . Cada escalón es el anterior multiplicado por , y lejos manda siempre el primero que no se anula. Eso es «lo que sobra»: lo primero que la cancelación no alcanzó a borrar.
Con la curva es una sola recta de pendiente −3 de punta a punta. Basta con pasar a para que el extremo derecho se doble a −2. La carga que sobra, por chica que sea, gana. Pero gana lejos: el codo está donde el campo de la neta, , alcanza al del dipolo, , o sea a una distancia del orden de . Con una neta cincuenta veces más chica que cada carga, eso son unas cincuenta separaciones.
La tesis tiene una letra chica, y conviene medirla. Para cada configuración se buscó la menor distancia desde la cual la aproximación queda a menos del 1 % del campo exacto en todas las direcciones, recorriendo 720 direcciones y comparando el vector entero.
| configuración | aproximación | 1 % desde |
|---|---|---|
| par del Ej. 5, q₁ = q₂ | dipolo | 7,06 d |
| Parcial 2020 | carga neta en el origen | 428 d |
| Parcial 2020 | carga neta en el centro de carga | 36,4 d |
| Parcial 2020 | neta y dipolo, en el origen | 11,9 d |
| par del Ej. 5, q₁ = 1,01 q₂ | carga neta en el origen | 20 300 d |
El dipolo puro converge rápido: su error relativo cae como , y a siete separaciones ya está. Las cuatro cargas del 2020, en cambio, tienen carga neta y además un momento dipolar: , de módulo . El dipolo es la primera corrección a la carga neta, y es más grande que ella en relación con su escalón: en la dirección de se lleva una fracción del campo, y esa fracción cae sólo como . Para que baje del 1 % hay que irse a más de 400 separaciones: con , unos 171 metros. A diez separaciones, la estimación con la carga neta todavía se equivoca en un 71 % en la peor dirección.
Ese número depende de dónde se ponga la carga neta. El momento dipolar se mide respecto de un origen, y si el grupo tiene carga neta, correr el origen lo cambia: respecto del punto , el centro de carga, vale cero. Para el 2020 ese punto es , del lado de las dos cargas de , y poniendo ahí la neta el 1 % llega a las 36,4 separaciones. Sumando el término dipolar en vez de esconderlo, a las 11,9.
La última fila es el codo del widget llevado al extremo: con la neta termina mandando, pero recién a veinte mil separaciones queda a menos del 1 %. Antes de eso, lo que se ve es un dipolo. «Lejos» no se mide en separaciones: se mide comparando con .
Cuando un enunciado dice «para », la receta tiene dos pasos y ningún campo:
El error que se cobra es el de hacer la suma vectorial de cuatro campos con sus ángulos, en un punto genérico, para después tirar casi todo al tomar el límite. Es mucho trabajo para llegar al mismo número que una suma de cuatro términos, y deja muchos lugares donde equivocarse con un signo. El otro error es decir que un sistema neutro «no hace campo de lejos»: hace, sólo que más débil.
Lo que queda de esta nota es un orden para mirar: antes de sumar campos, sumar cargas, y si dan cero, sumar cargas por posiciones. El dipolo eléctrico tiene la derivación completa del escalón ; el par visto de lejos hace las dos ramas del Ejercicio 15 con las cuentas a la vista; y las cuatro cargas del 2020 resuelve el problema entero.