Bitácora · Física 1 · Ejemplo

El par visto de lejos

Práctico 4 · Ejercicio 15 · lejos de +q₁ y −q₂, si las cargas son distintas manda la neta y el campo cae como 1/y²; si son iguales, la neta se cancela y queda un dipolo, que cae como 1/y³ y apunta de costado

El Ejercicio 15 no trae cargas nuevas: retoma las del Ejercicio 5 y pregunta qué pasa lejos de ellas. Por eso el enunciado viene de a dos.

5. Las cargas q₁ y q₂ se ubican en el eje x a distancias a y b del origen, como se muestra en la figura. (a) Encuentre el campo eléctrico E resultante en el punto p, que está sobre el eje y. (b) Evalúe el campo eléctrico en el punto p en el caso especial de que |q₁| = |q₂| y a = b.

15. Considere la distribución de cargas dada en el ejercicio 5. De una expresión para el campo eléctrico para puntos muy lejos de las cargas, esto es r₁, r₂ ≫ a, b.

01 · Antes de hacer cuentas

Qué se ve desde lejos. A una distancia mucho mayor que $a$ y $b$ , las dos cargas están prácticamente en el mismo punto, y por superposición sus campos se suman como si fueran una sola carga de valor $q_{1} - q_{2}$ en el origen. El signo menos es porque la de la derecha es $- q_{2}$ : en la figura, $q_{2}$ nombra el tamaño de la carga y el signo está aparte. Lo esperable, entonces, es un campo que cae como $1 / y^{2}$ y apunta en la dirección radial: hacia arriba si sobra carga positiva, hacia abajo si sobra negativa.

La trampa. El enunciado no dice que $q_{1}$ y $q_{2}$ sean distintas, y el inciso (b) del Ejercicio 5 es justo el caso en que son iguales. Ahí la carga que se ve de lejos es cero, y la respuesta «una carga en el origen» da campo nulo, que es falso. Hay que ir un orden más allá: queda un dipolo, con un campo más débil, que cae como $1 / y^{3}$ . Así que la respuesta tiene dos ramas.

El camino. Escribir el campo exacto en el punto $(0, y)$ —es el inciso (a) del Ejercicio 5— y ver qué sobrevive en cada componente cuando $y ≫ a, b$ . La llave es comparar potencias de $y$ : un término que va como $1 / y^{3}$ es despreciable al lado de uno que va como $1 / y^{2}$ , pero no al lado de cero.

Con cargas distintas, la flecha arranca casi horizontal y, al subir, gira hasta quedar vertical: la componente vertical cae como $1 / y^{2}$ y la horizontal como $1 / y^{3}$ , y la primera termina ganando. Con cargas iguales la componente vertical es cero a cualquier altura, y la flecha se queda horizontal para siempre.

02 · El campo exacto en el eje y

El punto es $(0, y)$ , con $r_{1} = \sqrt{a^{2} + y^{2}}$ y $r_{2} = \sqrt{b^{2} + y^{2}}$ .

El de $+ q_{1}$ , que está en $(- a, 0)$ , sale de ella: apunta de la carga al punto, en la dirección $(a, y) / r_{1}$ , hacia la derecha y hacia arriba. El de $- q_{2}$ , en $(b, 0)$ , entra en ella: apunta del punto a la carga, $(b, - y) / r_{2}$ , hacia la derecha y hacia abajo. Cada uno tiene módulo $k q_{i} / r_{i}^{2}$ , y multiplicado por su dirección unitaria queda un $r_{i}^{3}$ abajo:

\begin{array}{l} E_{x} = \frac{k q_{1} a}{r_{1}^{3}} + \frac{k q_{2} b}{r_{2}^{3}} \\ E_{y} = \frac{k q_{1} y}{r_{1}^{3}} - \frac{k q_{2} y}{r_{2}^{3}} \end{array}

Las componentes horizontales se suman, porque las dos cargas empujan el punto hacia la derecha; las verticales se restan. Esto es exacto, a cualquier altura.

03 · Lejos: cuando sobra carga

Paso 1: las distancias se igualan. Si $y ≫ a, b$ , entonces $r_{1} \approx r_{2} \approx y$ , y cada componente queda con una sola potencia de $y$ :

E_{y} \approx \frac{k (q_{1} - q_{2})}{y^{2}}, E_{x} \approx \frac{k (q_{1} a + q_{2} b)}{y^{3}}

Paso 2: comparar. El cociente entre las dos es $E_{x} / E_{y} \approx (q_{1} a + q_{2} b) / [(q_{1} - q_{2}) y]$ , que se va a cero al crecer $y$ . Si $q_{1} \neq q_{2}$ , la componente horizontal es una corrección y el campo lejano es

\vec{E} \approx \frac{k (q_{1} - q_{2})}{y^{2}} \hat{j}

el de una carga $q_{1} - q_{2}$ en el origen. Hacia arriba si $q_{1} > q_{2}$ , hacia abajo si no.

Paso 3: en cualquier dirección. Nada de esto depende de que el punto esté sobre el eje $y$ . A una distancia $r$ del origen mucho mayor que $a$ y $b$ , en cualquier dirección, las dos cargas se ven en el mismo lugar y

\vec{E} \approx \frac{k (q_{1} - q_{2})}{r^{2}} \hat{r}

con $\hat{r}$ el vector unitario que sale del origen hacia el punto.

04 · Lejos: cuando las cargas son iguales

Con $q_{1} = q_{2} = q$ el resultado de arriba da $E_{y} \approx 0$ , y lo que queda es la componente que antes era corrección.

Paso 4: la horizontal ya no es chica. Con cargas iguales,

E_{x} \approx \frac{k q (a + b)}{y^{3}}

Paso 5: ¿y la vertical, a este orden? Hay que mirar si sobrevive algo de $E_{y}$ que compita con eso. Para eso se aproxima $1 / r_{1}^{3}$ un paso más, con ${(1 + u)}^{n} \approx 1 + n u$ para $u$ chico:

\frac{1}{r_{1}^{3}} = \frac{1}{y^{3}} {(1 + \frac{a^{2}}{y^{2}})}^{- 3 / 2} \approx \frac{1}{y^{3}} (1 - \frac{3 a^{2}}{2 y^{2}})

y lo mismo con $b$ . En $E_{y}$ los dos «1» se cancelan y sobrevive

E_{y} \approx \frac{3 k q (b^{2} - a^{2})}{2 y^{4}}

que va como $1 / y^{4}$ : despreciable al lado de $E_{x}$ . Si además $a = b$ , es cero exacto, por simetría.

Paso 6: reconocer el dipolo. Las dos cargas forman un dipolo de separación $a + b$ y momento

p = q (a + b), \vec{E} \approx \frac{k p}{y^{3}} \hat{i}

El momento $\vec{p}$ va de la negativa a la positiva, o sea hacia $- x$ , y el campo apunta al revés: es la fórmula de la mediatriz, $\vec{E} = - k \vec{p} / y^{3}$ . Si $a \neq b$ , el eje $y$ no pasa por el punto medio del par, pero lejos eso sólo cambia el término de $1 / y^{4}$ . En otra dirección vale la fórmula general del dipolo, con su $2 k p / r^{3}$ sobre el eje $x$ .

05 · El chequeo

Unidades. $k q / y^{2}$ está en N/C. En $k q (a + b) / y^{3}$ sobra un metro arriba y uno abajo: también N/C.

Un límite. Con $q_{2} = 0$ queda una sola carga, y la fórmula da $k q_{1} / y^{2}$ hacia arriba, con una pequeña componente horizontal porque la carga no está en el origen. Correcto.

El caso (b) del Ejercicio 5. Con $| q_{1} | = | q_{2} |$ y $a = b$ , el campo exacto es $2 k q a / {(a^{2} + y^{2})}^{3 / 2}$ , horizontal. Para $y ≫ a$ da $2 k q a / y^{3}$ , que es $k p / y^{3}$ con $p = 2 q a$ . Las dos ramas empalman con lo que ya se sabía.

¿Da razonable? Con $q_{1} = 2 q_{2}$ , $a = b$ y $y = 20 a$ , el campo exacto vale $2,52 \cdot 10^{- 3}$ y la aproximación de la carga neta, $2,50 \cdot 10^{- 3}$ , los dos en unidades de $k q_{2} / a^{2}$ : un 0,7 % de diferencia. El campo está inclinado 8,5° respecto de la vertical, y la tangente de ese ángulo es $(q_{1} a + q_{2} b) / [(q_{1} - q_{2}) y] = 3 / 20$ , como dice el paso 2.

06 · Lo que se lleva

La decisión que enseña el ejercicio es por dónde empezar: antes de expandir nada, sumar las cargas. Si la suma no da cero, la respuesta es la de una carga puntual con esa suma, y lo demás es corrección. Si da cero, la respuesta es un dipolo, y hay que calcular $p = q \cdot separación$ y fijarse si el punto está sobre el eje ( $2 k p / r^{3}$ , a lo largo de $\vec{p}$ ) o de costado ( $k p / r^{3}$ , al revés). Y un enunciado que dice «para puntos muy lejos» sin decir si las cargas son iguales está pidiendo las dos ramas. Es el mismo inciso que trae el Parcial 2 de 2020 con cuatro cargas, y se resuelve igual.