La bobina que abraza al solenoide

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué pasa. La corriente del solenoide baja, su campo baja con ella, y el flujo que atraviesa la bobina de afuera baja también. Por la ley de Faraday, en la bobina aparece una fem mientras dura la bajada.

Qué modelo. De las tres maneras de cambiar el flujo, ésta es la primera: cambia $B$, y el área y el ángulo quedan quietos. Los dos ejes coinciden, así que el campo atraviesa la bobina de frente: $\theta =0$.

El dato llave es el área. La tentación es usar la de la bobina, porque es la bobina la que tiene la fem. Pero el flujo es campo por área donde hay campo. Un solenoide largo —30 cm de largo contra 1 cm de diámetro— tiene su campo encerrado adentro, y afuera es casi cero. Vista de frente, la bobina de 2 cm encierra dos cosas: el círculo de 1 cm del solenoide, lleno de campo, y un anillo alrededor que no tiene nada. El anillo no aporta flujo. El área que cuenta es la del solenoide, $\pi {(\mathrm{0,5}\text{cm})}^2$: un cuarto de la de la bobina.

Qué esperar. El campo del solenoide es de cerca de 1 mT, el área es de cerca de ${10}^{-4}$ m², y todo eso se apaga despacio, en un segundo. Veinte vueltas por ${10}^{-7}$ Wb por segundo: unos pocos microvoltios.

03 · La resolución

Paso 1: el campo del solenoide. Es el Ejercicio 10. Las 100 vueltas de 1 cm de diámetro son $100·\pi ·1\text{cm}=\mathrm{3,14}$ m de cobre, que con $\rho =\mathrm{1,72}·{10}^{-8}$ Ω·m y 1 mm² de sección tienen

$$R=\frac{\rho \ell }{S}=\frac{\mathrm{1,72}·{10}^{-8}·\mathrm{3,14}}{{10}^{-6}}=\mathrm{0,054}\text{Ω}$$

Con 0,1 V circulan $I=\mathrm{0,1}/\mathrm{0,054}=\mathrm{1,85}$ A, y el campo adentro es

$$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{L}=\frac{4\pi ·{10}^{-7}·100·\mathrm{1,85}}{\mathrm{0,3}}=\mathrm{0,775}\text{mT}$$

Paso 2: el flujo por una vuelta de la bobina. Con el área del solenoide, $\pi {(\mathrm{0,005})}^2=\mathrm{7,85}·{10}^{-5}$ m²:

$$\Phi =B\pi r_{\text{sol}}^2=\mathrm{0,775}·{10}^{-3}·\mathrm{7,85}·{10}^{-5}=\mathrm{6,09}·{10}^{-8}\text{Wb}$$

El diámetro de la bobina no aparece: mientras abrace al solenoide, cualquier tamaño junta el mismo flujo.

Paso 3: la fem. El campo es proporcional a la corriente, así que si la corriente baja en forma lineal, el flujo también: pasa de $\mathrm{6,09}·{10}^{-8}$ Wb a cero en 1 s, a ritmo constante. La derivada es el cociente, y con las 20 vueltas

$$|\epsilon |=N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=20·\frac{\mathrm{6,09}·{10}^{-8}}{1}=\mathrm{1,22}\text{µV}$$

Es constante durante el segundo que dura la bajada, y cero antes y después.

Paso 4: el sentido. El enunciado no lo pide, pero sale en una línea con la ley de Lenz. El flujo baja, así que la corriente inducida en la bobina hace un campo a favor del que se está yendo: circula en el mismo sentido que la corriente del solenoide. La bobina intenta reemplazarlo.

04 · El chequeo

Las unidades. T·m² es un weber, y un weber por segundo es un voltio: $\text{T}·{\text{m}}^2/\text{s}=\text{V}$.

El área equivocada. Con la de la bobina, $\pi {(1\text{cm})}^2$, sale 4,87 µV: exactamente cuatro veces más, porque el diámetro es el doble. Ese número supone que el anillo entre los dos círculos tiene el mismo campo que el centro, y no tiene nada.

Un caso límite. Si la bobina fuera más chica que el solenoide y estuviera adentro, todo su área estaría en el campo y ahí sí se usaría la de ella. El área que va en el flujo es siempre la más chica de las dos: la de la espira, recortada a donde hay campo.

¿Da razonable? 1,22 µV es muy poco, y tiene que serlo: menos de un milítesla, sobre menos de un centímetro cuadrado, apagado en un segundo entero. Si la corriente se cortara en un milisegundo, la misma bobina daría 1,22 mV: el ritmo manda.

05 · Lo que se lleva

El flujo se cuenta donde hay campo. Antes de escribir $BA$, preguntar en qué parte de la espira hay $B$. Con un solenoide largo la respuesta es «sólo adentro», y el área es la de su sección, sea cual sea el tamaño de la bobina que lo rodea.

Cambio lineal, derivada fácil. «Hasta cero en 1 s, en forma lineal» quiere decir que $d\Phi /dt$ es el flujo inicial dividido por el tiempo, y la fem es constante mientras dura.

El flujo, Faraday y Lenz desde cero, con un widget donde se cambian el campo, el área y el ángulo, están en la nota del flujo magnético y la ley de Faraday.