El flujo magnético y la ley de Faraday

Un imán quieto al lado de una espira de alambre no hace nada: por fuerte que sea, por la espira no circula corriente. Pero si se lo acerca o se lo aleja, aparece una corriente, y se apaga en cuanto el imán se detiene. Lo que cuenta no es cuánto campo hay, sino que cambie. Esta nota arma la cantidad que hay que mirar —el flujo—, la ley que dice cuánta corriente sale de su cambio —Faraday— y la regla que dice hacia dónde circula —Lenz—.

01 · El flujo: cuánto campo atraviesa la espira

Una espira es un alambre cerrado sobre sí mismo, que encierra una superficie plana de área $A$ . Su normal es una flecha perpendicular a esa superficie: la dirección hacia la que «mira» la espira. Se elige uno de los dos sentidos posibles, y esa elección fija los signos de todo lo que sigue.

El campo magnético $B$ se dibuja con líneas, más juntas donde es más fuerte. El flujo magnético $Φ$ cuenta cuántas de esas líneas pasan a través de la espira. Si el campo es uniforme y forma un ángulo $θ$ con la normal,

Φ = B A \cos θ

y se mide en weber: 1 Wb = 1 T·m². Con $θ = 0$ el campo entra de frente y el flujo es el máximo, $B A$ . Con $θ = 90 °$ el campo corre paralelo a la superficie, ninguna línea la cruza y el flujo es cero, aunque $B$ sea enorme. Lo que cuenta es la sombra de la espira vista desde el campo: $A \cos θ$ . Una espira de 0,02 m² en 0,5 T tiene 0,01 Wb de frente, 0,005 Wb inclinada 60° y nada de canto.

El ángulo de la fórmula es con la normal, no con el plano de la espira. Los enunciados suelen dar el otro —«el campo forma 60° con el plano de la bobina»—, y entonces θ es el complemento: 30°. Los dos están en la figura, y son complementarios siempre.

Si $B$ no es uniforme sobre la espira —cerca de un alambre, por ejemplo—, el flujo se arma sumando: se parte la superficie en tiras donde $B$ sí es parejo, se calcula $B d A$ en cada una y se integra. Es lo que pide la espira que se aleja de un alambre.

02 · Tres maneras de cambiarlo

El flujo es un producto de tres factores, y cada uno se puede mover por su cuenta:

Cambia $B$ . La espira está quieta y el campo crece o baja: se apaga la corriente de un solenoide, se aleja un imán. Es la bobina que abraza al solenoide y la bobina entre los polos de un electroimán.
Cambia el área. Una barra se desliza sobre dos rieles y agranda el circuito, o una espira va saliendo de la región donde hay campo y le queda cada vez menos área adentro.
Cambia el ángulo. La espira gira en un campo fijo: el coseno sube y baja. Es el generador de una usina.

Y hay una cuarta que es las tres a la vez: la espira se mueve hacia donde el campo es distinto. Una espira que se aleja de un alambre ve un campo cada vez más débil, aunque ni su área ni su ángulo cambien. En cambio, una espira que se traslada dentro de un campo uniforme no cambia nada: el mismo $B$ , la misma área, el mismo ángulo. Flujo constante.

03 · La ley de Faraday

Cuando el flujo cambia, en la espira aparece una fem: el mismo empujón alrededor del circuito que da una pila, pero sin pila. Se la llama fem inducida, y vale

ε = - N \frac{d Φ}{d t}

donde $N$ es el número de vueltas: una bobina de $N$ espiras apiladas es $N$ fems iguales en serie. Si la espira tiene resistencia $R$ , circula una corriente $I = ε / R$ , como con una pila.

Lo que entra es el ritmo del cambio, no el flujo. Un flujo enorme y quieto da cero; uno chico que cambia rápido da mucho. Cuando el cambio es parejo —«baja hasta cero en 1 s, en forma lineal»—, la derivada es un cociente: $ε = N Δ Φ / Δ t$ en módulo. Si los 0,01 Wb de antes se apagan en 1 s, una sola espira da 10 mV; si se apagan en una milésima, 10 V.

Con las tres maneras de cambiar el flujo, la derivada del producto da tres términos, uno por cada factor que se mueve:

\frac{d Φ}{d t} = \frac{d B}{d t} A \cos θ + B \frac{d A}{d t} \cos θ - B A sen θ \frac{d θ}{d t}

En los ejercicios del práctico se mueve uno solo por vez, y la fórmula se queda con un término.

04 · La ley de Lenz: hacia dónde circula

El signo menos de Faraday dice el sentido, y se lee así: la corriente inducida crea su propio campo, y ese campo se opone al cambio del flujo. No al flujo: al cambio. Si el flujo crece, la corriente fabrica un campo en contra de $B$ , para frenar la subida; si el flujo baja, fabrica un campo a favor de $B$ , para sostenerlo. La espira es conservadora: quiere que el flujo siga como estaba.

En la práctica son tres pasos:

Hacia dónde atraviesa $B$ la espira, y si el flujo crece o baja.
Hacia dónde tiene que apuntar el campo de la corriente inducida adentro de la espira: contra $B$ si crece, con $B$ si baja.
Con la regla de la mano derecha, el sentido de giro que produce ese campo: el pulgar en la dirección del campo que se quiere, y los dedos doblados dan la corriente.

Que tenga que ser así sale de la energía. Si la corriente inducida reforzara el cambio, un flujo que empieza a crecer crearía una corriente que lo haría crecer más, que crearía más corriente: energía de la nada. El signo menos es lo que lo impide, y por eso empujar un imán hacia una espira cuesta trabajo: la espira lo repele.

05 · La fem de movimiento: BLv

Hay un caso que se puede entender sin hablar de flujo. Una barra de metal de largo $L$ se mueve con velocidad $v$ , perpendicular a un campo $B$ que también es perpendicular a la barra. Los electrones de la barra se mueven con ella, así que sienten la fuerza magnética $q \vec{v} \times \vec{B}$ , que apunta a lo largo de la barra y los amontona en una punta. La barra se vuelve una pila de fem

ε = B L v

Es Faraday visto desde adentro del alambre. Si la barra cierra un circuito sobre dos rieles, en cada segundo barre un área $L v$ , el flujo crece a razón de $B L v$ , y la fem de Faraday es la misma. Un lado de 10 cm a 10 m/s en 1 T da 1 V.

Con esto se lee de otra manera la espira que se traslada en un campo uniforme. Sus dos lados perpendiculares a la velocidad son dos barras con la misma $B L v$ , y alrededor de la espira empujan en sentidos opuestos: se cancelan, y la fem neta es cero, como dijo el flujo. Si uno de los dos lados ya salió del campo, o está donde el campo es más débil, la cancelación deja de ser exacta y sobra la diferencia.

Arranca con 0,5 T atravesando de frente una espira de 30 cm por 10 cm: un flujo de 15 mWb, y fem cero. Mové el instante: no pasa nada, porque nada cambia. Ahora dale un ritmo a $B$ y fijate hacia dónde circula la corriente; después llevá el ángulo a 90° y repetí: con el campo paralelo al plano, ¿cuánto vale la fem? Por último dejá $B$ quieto, poné el giro y recorré el tiempo: la fem es máxima donde el flujo pasa por cero, y cero donde el flujo es máximo.

06 · En los ejercicios

El orden es siempre el mismo: escribir el flujo como función del tiempo, ver qué factor se mueve, derivar, multiplicar por $N$ , y recién después Lenz para el sentido. Los errores que más se repiten:

El ángulo con el plano. Si el enunciado dice «con el plano», θ es el complemento. Con 60° en lugar de 30° la fem sale un 42 % más chica, y no hay nada en el número que avise.
El área que no tiene campo. El flujo es el campo por el área donde hay campo. Una bobina ancha alrededor de un solenoide finito sólo junta el flujo del solenoide: afuera de él, $B$ es casi cero.
Confundir campo con cambio. Mucho $B$ no es mucha fem. Una espira que se traslada en un campo uniforme no tiene fem, por fuerte que sea el campo.
Oponerse al campo en vez de al cambio. Si el flujo baja, la corriente inducida refuerza $B$ . La regla es contra el cambio.
Olvidar $N$ . Cada vuelta suma su fem. Con 500 vueltas, olvidarla divide la respuesta por 500.

Para tener a mano

$Φ = B A \cos θ$ , con θ entre $B$ y la normal. En weber, T·m². Campo no uniforme: $Φ = \int B d A$ .
$ε = - N d Φ / d t$ . Sin cambio de flujo no hay fem. Corriente: $I = ε / R$ .
El flujo cambia si cambia $B$ , el área o el ángulo; o si la espira va hacia donde $B$ es distinto.
Lenz: la corriente inducida se opone al cambio del flujo. Flujo que crece: campo inducido contra $B$ . Flujo que baja: a favor.
Barra que se mueve: $ε = B L v$ , con $v$ , $L$ y $B$ perpendiculares entre sí.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2, capítulo 29, «Inducción electromagnética»: la sección 29.2 es la ley de Faraday, con el cálculo del flujo y el ejemplo 29.2, que es la bobina entre los polos del Práctico 6; la 29.3 es la ley de Lenz y la 29.4 la fem de movimiento. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 30, «Ley de Faraday»: secciones 30.1 a 30.3, en el mismo orden.