La espira que se mueve

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué decide si hay fem. La ley de Faraday no mira si la espira se mueve: mira si su flujo cambia. Y el flujo, $BA\cos \theta$, cambia sólo si cambia el campo que la atraviesa, su área o su ángulo. La pregunta en cada ejercicio es cuál de las tres cosas se mueve.

El Ejercicio 12. El enunciado no dice cómo es el campo; se lo lee como el caso de referencia: uniforme, el mismo en todas partes. Y no dice que la espira gire: se traslada. Entonces el campo que la atraviesa es el mismo en todos lados, el área es la misma y el ángulo también. Si no cambia nada, no hay fem, vaya hacia donde vaya.

El Ejercicio 13. Acá el campo tiene borde, y la espira lo está cruzando. El campo y el ángulo no cambian, pero el área que queda adentro de la región, sí: el flujo baja a medida que sale. Es la segunda manera de cambiar el flujo, y es $BLv$ con el ancho en el lugar de $L$.

03 · La resolución

12 (a) Movimiento perpendicular al campo. Con $B$, $A$ y $\theta$ constantes, el flujo es constante y

$$\epsilon =-N\frac{d\Phi }{dt}=0$$

Se puede ver también desde adentro del alambre. Si la espira es rectangular y se mueve en su propio plano, sus dos lados perpendiculares a la velocidad son dos barras que se mueven en un campo, y cada una tiene su fem de movimiento $BLv$. Las dos empujan las cargas hacia el mismo lado —las dos hacia arriba, digamos—, y alrededor de la espira eso es empujar en sentidos opuestos: por un lado la corriente subiría y por el otro también, y en un circuito cerrado eso se anula. Las fems son iguales porque el campo es el mismo en los dos lados.

12 (b) Movimiento paralelo al campo. El flujo sigue igual por la misma razón: $\epsilon =0$. Y acá ni siquiera hay fuerza sobre las cargas, porque $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=0$ con $v$ paralela a $B$: ningún lado tiene fem, no sólo la suma. El resultado no cambia.

13. La espira que sale. Llamemos $x$ al largo de la espira que todavía está adentro de la región. El área con campo es $wx$, con $w=10$ cm, y el campo la atraviesa de frente:

$$\Phi =Bwx\frac{dx}{dt}=-v\Rightarrow |\epsilon |=Bwv$$

Visto por lados, es lo mismo: el lado izquierdo está adentro del campo y tiene su $Bwv$; el derecho ya salió y no tiene nada. No hay con qué cancelar. Despejando,

$$v=\frac{\epsilon }{Bw}=\frac{1\text{V}}{1\text{T}·\mathrm{0,1}\text{m}}=10\text{m/s}$$

El sentido. El enunciado no lo pide, pero la ley de Lenz lo da enseguida. El campo entra en la hoja y el flujo entrante baja; la corriente inducida tiene que hacer un campo que también entre, adentro de la espira, para sostenerlo. Por la regla de la mano derecha, con el pulgar hacia adentro de la hoja los dedos giran en sentido horario. Sale lo mismo con la fuerza sobre las cargas del lado izquierdo: $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, con $v$ hacia la derecha y $B$ entrando, apunta hacia arriba: la corriente sube por la izquierda y baja por la derecha.

04 · El chequeo

Las unidades. $\text{T}·\text{m}·\text{m/s}=\text{T}·{\text{m}}^2/\text{s}=\text{Wb/s}=\text{V}$.

Los dos casos límite del 13. Antes de que el lado derecho llegue al borde, la espira está entera adentro: es el Ejercicio 12, y la fem es cero. Cuando el lado izquierdo termina de salir, está entera afuera: flujo cero y constante, fem cero. La fem de 1 V existe sólo mientras la espira cruza el borde, y no depende de cuánto mide la espira a lo largo: ese dato no está en el enunciado porque no hace falta.

¿Da razonable? 10 m/s son 36 km/h: para sacar un voltio de un solo lado de 10 cm hace falta un tesla, que es un campo grande, y además moverse rápido. La fem de movimiento es chica en escala de laboratorio.

Lo que cuesta. Si la espira tiene resistencia, circula una corriente, y el lado izquierdo, con corriente y adentro del campo, siente una fuerza $IwB$ hacia la izquierda: frena la salida. Es Lenz otra vez. Para mantener los 10 m/s hay que empujar, y ese trabajo es la energía que se disipa en la espira.

05 · Lo que se lleva

Moverse no es cambiar el flujo. La pregunta no es si la espira se mueve, sino si cambia el campo que la atraviesa, su área o su ángulo. En un campo uniforme, trasladarse no cambia ninguno de los tres.

Por lados, la fem neta es la diferencia. Cada lado que corta líneas de campo tiene su $BLv$. Si los dos lados tienen el mismo campo, se cancelan; si uno está afuera, queda el otro entero; si están en campos distintos, queda la diferencia. Ese último caso es la espira que se aleja del alambre.

El flujo, la fem de movimiento y Lenz, con un widget donde se mueve una barra, están en la nota del flujo magnético y la ley de Faraday.