El campo adentro del solenoide

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. Un solenoide 30 veces más largo que ancho: el centro está lejísimos de las puntas, y ahí vale la fórmula del solenoide largo que sale de Ampère,

$$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{L}$$

con $N=100$ vueltas y $L=\mathrm{0,3}$ m. El diámetro del tubo no entra en esa fórmula.

El dato llave es el que falta. La fórmula pide la corriente, y el enunciado da una tensión. El puente es la ley de Ohm: la corriente es la tensión sobre la resistencia del bobinado, y esa resistencia sale del cable mismo, de cuánto cobre hay y de qué grosor. Para eso están el diámetro y la sección: no para el campo, para la resistencia. La resistividad del cobre no está en el enunciado; es un dato de tabla, $\rho =\mathrm{1,72}·{10}^{-8}$ Ω·m.

Qué es el transitorio. Al conectar, la corriente no salta de cero a su valor final: el bobinado se opone a que crezca su propio campo (es la ley de Lenz aplicada a la bobina sobre sí misma). Cuando la corriente se estabiliza ya no cambia nada, no hay nada que se oponga, y la bobina es sólo un cable con resistencia. El enunciado pide ese momento, así que alcanza con Ohm.

Un supuesto. La batería es ideal y los cables que la conectan no tienen resistencia: los 0,1 V caen enteros sobre el bobinado.

Qué esperar. Unos metros de cobre de 1 mm² tienen algunas centésimas de ohm, así que 0,1 V empujan un par de amperios. Con 333 vueltas por metro, ${\mu }_{0}nI$ anda por $4\pi ·{10}^{-7}·333·2\approx 8·{10}^{-4}$ T: menos de un militesla.

03 · La resolución

Paso 1: cuánto cable hay. Cada vuelta da una circunferencia del tubo, $\pi D$, y son cien:

$$\ell =N\pi D=100·\pi ·\mathrm{0,01}\text{m}=\mathrm{3,14}\text{m}$$

Hay que separar los dos largos: $\ell$ es el largo del cable estirado, el que entra en la resistencia; $L$ = 30 cm es el largo del tubo, el que entra en el campo.

Paso 2: la resistencia del bobinado. Un cable de largo $\ell$ y sección $A$ tiene $R=\rho \ell /A$, con $A=1$ mm² = ${10}^{-6}$ m²:

$$R=\frac{\mathrm{1,72}·{10}^{-8}·\mathrm{3,14}}{{10}^{-6}}\text{Ω}=\mathrm{0,054}\text{Ω}$$

Paso 3: la corriente, pasado el transitorio.

$$I=\frac{V}{R}=\frac{\mathrm{0,1}\text{V}}{\mathrm{0,054}\text{Ω}}=\mathrm{1,85}\text{A}$$

Paso 4: el campo en el centro. Con la fórmula del solenoide largo:

$$B=\frac{4\pi ·{10}^{-7}·100·\mathrm{1,85}}{\mathrm{0,3}}\text{T}=\mathrm{7,75}·{10}^{-4}\text{T}$$

Adentro del solenoide, $B=\mathrm{0,775}$ mT, a lo largo del eje. El sentido depende de para qué lado está bobinado el cable, que el enunciado no dice: con la mano derecha, los dedos curvados con la corriente de las vueltas, el pulgar da hacia dónde apunta.

04 · El chequeo

Las unidades. ${\mu }_{0}NI/L$ es (T·m/A)·A/m = T. $\rho \ell /A$ es Ω·m·m/m² = Ω.

¿Es largo de verdad? Para un solenoide de largo finito el campo en el centro es el ideal por $L/\sqrt{L^2+D^2}$, que con 30 cm y 1 cm es 0,99944: la fórmula del largo se equivoca en un 0,06 %. Entre las puntas sí cambia: en un extremo el campo cae a la mitad, unos 0,39 mT.

¿Entra el cable? Un alambre de 1 mm² tiene 1,13 mm de diámetro, y 100 vueltas en 30 cm dejan 3 mm por vuelta: cabe en una sola capa, con espacio entre vuelta y vuelta. El enunciado es físicamente posible.

¿Da razonable? 0,775 mT son unas quince veces el campo de la Tierra, que anda por los 50 µT. Es el campo modesto que se espera de un amperio y pico por cien vueltas. El bobinado disipa $V^2/R=\mathrm{0,185}$ W, poco: no se calienta.

Cuánto dura el transitorio. El tiempo característico de una bobina es su autoinductancia sobre su resistencia. Para un solenoide largo la autoinductancia es ${\mu }_0{N}^2\pi {(D/2)}^2/L=\mathrm{3,3}$ µH, y el tiempo da 61 µs. A la milésima de segundo, la corriente ya es la de Ohm.

05 · Lo que se lleva

Si falta la corriente, sale del circuito. Un enunciado que da una tensión y la geometría del cable está pidiendo la resistencia: largo del cable estirado, sección, resistividad, y Ohm.

Dos largos, dos papeles. El largo del cable decide la resistencia; el largo del tubo, la densidad de vueltas. Cruzarlos es el error de este ejercicio.

Con la tensión fija, más vueltas no dan más campo. Cada vuelta suma campo, pero también suma cable, y la corriente baja en la misma proporción. Juntando los cuatro pasos, $N$ se simplifica:

$$B=\frac{{\mu }_{0}VA}{\rho \pi DL}=\mathrm{0,775}\text{mT}$$

Con 50 vueltas pasarían 3,70 A; con 200, 0,925 A; y el campo sería el mismo. Para más campo con la misma batería hace falta cable más grueso o un tubo más angosto. El modelo del solenoide, con el rectángulo de Ampère, está en la nota de la ley de Ampère, y la resistencia de un cable, en la de la corriente y la ley de Ohm.