La ley de Ampère

Para el campo eléctrico de una esfera o de un cilindro cargado no hizo falta sumar el aporte de cada pedacito de carga: alcanzó con la ley de Gauss y una superficie bien elegida. Con el campo magnético de una corriente pasa lo mismo. La herramienta se llama ley de Ampère y funciona con la misma lógica: si la simetría deja al campo igual en todo un recorrido, la ley lo despeja en una línea. Lo que cambia es la geometría. Gauss mira una superficie cerrada y cuánto campo la atraviesa; Ampère mira un camino cerrado y cuánto campo corre a lo largo de él.

01 · La circulación: cuánto campo corre a lo largo de un camino

El camino. Se elige una curva cerrada en el espacio: un círculo, un rectángulo, cualquier lazo que vuelva al punto de partida. No es nada material, igual que la superficie gaussiana: es un recorrido imaginario que uno dibuja para hacer la cuenta. Se lo llama camino amperiano, y se lo recorre en un sentido elegido.

El pedacito de camino. Se corta el camino en tramitos cortos. Cada uno es una flechita $d\overrightarrow{l}$: su largo es el del tramito y apunta en el sentido del recorrido.

Lo que se suma. En cada tramito se mira el campo $\overrightarrow{B}$ y se toma sólo su parte a lo largo del camino, multiplicada por el largo del tramito. Eso es el producto escalar $\overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}$: positivo si el campo acompaña al recorrido, negativo si va en contra, cero si lo cruza de costado. Sumando todos los tramitos de la vuelta entera queda la circulación del campo por el camino:

$$\oint \overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}$$

El círculo sobre la integral dice que el camino es cerrado. Es el pariente del flujo: allá se sumaba la parte del campo perpendicular a cada pedazo de superficie; acá, la parte paralela a cada pedazo de camino.

02 · La ley de Ampère

La circulación de $\overrightarrow{B}$ por cualquier camino cerrado depende de una sola cosa: cuánta corriente lo atraviesa.

$$\oint \overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}={\mu }_0{I}_{\text{enc}}$$

$I_{\text{enc}}$ es la corriente encerrada: la que pasa a través de la superficie que tiene al camino como borde, como el agua que pasa por un aro. ${\mu }_0=4\pi ·{10}^{-7}$ T·m/A es la constante magnética, que hace en Ampère el papel que $1/{\epsilon }_0$ hace en Gauss.

El signo. El sentido del recorrido y el signo de la corriente se atan con la regla de la mano derecha: los dedos curvados siguen el recorrido, y la corriente que va hacia donde apunta el pulgar cuenta positiva. La que va al revés resta.

Las corrientes de afuera no suman. Un alambre que pasa por fuera del camino sí pone campo sobre él, pero en un tramo del recorrido lo acompaña y en otro va en contra, y en la vuelta entera se cancela. Es lo mismo que en Gauss con las cargas de afuera: aportan campo, no aportan circulación neta. Por eso la ley vale siempre, con cualquier camino y cualquier corriente.

03 · Cómo se usa: los tres pasos

Que la ley valga siempre no quiere decir que siempre sirva para calcular $B$. Sirve cuando la simetría deja sacar $B$ afuera de la integral. El procedimiento es el de Gauss, palabra por palabra.

un alambre con la corriente saliendo (⊙): B gira antihorario

Paso 1: elegir el camino según la simetría. Tiene que pasar por el punto donde se quiere el campo y tener la forma de las líneas de campo. Alrededor de un alambre recto, o de un cilindro con la corriente a lo largo, las líneas son círculos centrados en el eje, así que el camino es un círculo de radio $r$ centrado ahí.

Paso 2: argumentar que B es constante y tangente. Es el paso que se escribe en el parcial. Visto desde el eje, ningún punto del círculo es distinto de otro: $B$ vale lo mismo en todos. Y el campo de un alambre gira alrededor de él, así que en cada punto del círculo es tangente al camino. Con eso $\overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}=Bdl$ en todo el recorrido, y la integral es $B$ por el largo del camino:

$$\oint \overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}=B·2\pi r$$

Paso 3: contar la corriente encerrada y despejar.

$$B=\frac{{\mu }_0{I}_{\text{enc}}}{2\pi r}$$

Con simetría cilíndrica, ésa es la respuesta para cualquier $r$. De un problema a otro cambia una sola cosa: cuánto vale $I_{\text{enc}}$ para el círculo de radio $r$. El sentido de $B$ lo da la mano derecha: pulgar en la corriente, los dedos curvados dicen hacia dónde gira.

04 · El alambre y el cilindro macizo

El alambre. Un alambre fino que lleva $I$: cualquier círculo alrededor lo encierra entero, $I_{\text{enc}}=I$, y

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$

Es el mismo resultado de la nota del campo de un alambre, ahora en una línea. Para tener una escala: 100 A a 2 cm dan 1 mT, unas veinte veces el campo de la Tierra, que anda por los 50 µT.

El cilindro macizo. Ahora el conductor tiene grosor: un cilindro de radio $R$ con la corriente $I$ repartida uniformemente en su sección, o sea con la misma corriente por cada milímetro cuadrado. Hay dos regiones.

Afuera, $r>R$, el círculo encierra toda la corriente y el campo es el de un alambre: ${\mu }_{0}I/(2\pi r)$. Desde afuera no se distingue un cilindro grueso de un alambre fino con la misma corriente.

Adentro, $r<R$, el círculo encierra sólo la corriente que pasa por su propia área. Como está repartida pareja, la fracción es la de las áreas:

$$I_{\text{enc}}=I\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=I\frac{r^2}{R^2}$$

y con el paso 3,

$$B=\frac{{\mu }_{0}I{r}^2/R^2}{2\pi r}=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}$$

Crece lineal con $r$: es cero en el eje, donde el círculo no encierra nada, y en $r=R$ empalma exacto con la fórmula de afuera. El máximo está en la superficie. Con $R=2$ cm y 100 A: 0,5 mT a 1 cm del eje, 1 mT en la superficie y otra vez 0,5 mT a 4 cm.

05 · El cilindro hueco

Un caño: radio exterior $a$, radio interior $b$, y la corriente repartida pareja en el anillo de material entre los dos. Ahora hay tres regiones, y en cada una lo único que hay que pensar es cuánta corriente encierra el círculo.

En el hueco, $r<b$: el círculo no encierra material, $I_{\text{enc}}=0$, y $B=0$. Hay corriente a milímetros, toda alrededor, y su campo adentro se cancela por completo.

En el material, $b<r<a$: encierra la parte del anillo que queda adentro del círculo. El área del anillo entero es $\pi (a^2-b^2)$, y la de la parte encerrada, $\pi (r^2-b^2)$:

$$\begin{array}{c}{I}_{\text{enc}}=I\frac{r^2-b^2}{a^2-b^2}\\ B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}·\frac{r^2-b^2}{a^2-b^2}\end{array}$$

Vale cero en $r=b$ y empalma con la de afuera en $r=a$. Ya no es una recta, pero si el caño es de pared fina se le parece mucho. Con $b=0$ vuelve a ser la del macizo.

Afuera, $r>a$: el de un alambre otra vez. Es el Problema 3 del Parcial 2 de 2024, resuelto entero en el cilindro hueco.

El widget de abajo pone el macizo y el hueco uno al lado del otro.

Arranca con el macizo de 2 cm y el camino afuera, a 4,5 cm: la lectura de $B$ es la misma que la de un alambre. Antes de mover nada, apostá: al meter el camino adentro del conductor, ¿el campo sigue subiendo como $1/r$, se queda quieto o baja? Después traé el camino hasta el eje despacio y mirá la curva. Por último marcá «hueco por dentro» y repetí el viaje: fijate qué pasa al cruzar $b$, y desde dónde el macizo y el hueco dan lo mismo.

Afuera las tres lecturas coinciden: a 4,5 cm el camino encierra los 100 A y no importa cómo estén repartidos. Al cruzar la superficie la corriente encerrada empieza a bajar como el área, más rápido de lo que el $1/r$ la compensa, y el campo cae en línea recta hasta cero. En el hueco el tramo azul del corte desaparece apenas el camino entra al vacío, y $B$ es cero en todo ese tramo.

06 · El solenoide

Un solenoide es un cable enrollado en hélice, muchas vueltas apretadas sobre un tubo. Cada vuelta es una espira, y adentro del tubo los campos de todas las vueltas apuntan para el mismo lado, a lo largo del eje. Si el solenoide es largo comparado con su diámetro, adentro el campo es uniforme y afuera es casi cero: es al campo magnético lo que el capacitor de placas es al eléctrico.

arriba la corriente sale (⊙), abajo entra (⊗): adentro, B hacia la derecha

El camino. Las líneas de campo adentro son rectas paralelas al eje, así que el camino es un rectángulo: un lado de largo $h$ adentro, a lo largo del eje, y el lado opuesto afuera.

La circulación. Sobre el lado de adentro $B$ es uniforme y paralelo al recorrido: aporta $Bh$. Los dos lados verticales cruzan el campo de costado adentro, y afuera no hay campo: no aportan. El lado de afuera tampoco. Queda $\oint \overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}=Bh$.

La corriente encerrada. El rectángulo corta la fila de cables de arriba. Si el solenoide tiene $N$ vueltas en un largo $L$, hay $n=N/L$ vueltas por metro, y el lado $h$ deja pasar $nh$ cables, cada uno con $I$: $I_{\text{enc}}=nhI$. Igualando, $h$ se va:

$$B={\mu }_{0}nI=\frac{{\mu }_{0}NI}{L}$$

Que $h$ se vaya dice algo: el resultado no depende de a qué altura del eje se ponga el lado de adentro. El campo es el mismo en todo el interior, no sólo sobre el eje, y tampoco depende del diámetro del tubo. El sentido sale de la mano derecha: los dedos curvados con la corriente de las vueltas, el pulgar apunta como $B$ adentro.

Por qué afuera es cero. Un rectángulo con los dos lados largos afuera no encierra ningún cable, así que el campo afuera vale lo mismo cerca del tubo que lejísimos. Y lejísimos tiene que ser cero. Las líneas que salen por una punta se abren por todo el espacio para volver por la otra, y en un solenoide largo quedan tan diluidas que no se notan.

El Ejercicio 10 es éste: 100 vueltas en 30 cm, con 1,85 A, dan 0,775 mT en el centro. La corriente sale de la resistencia del cobre, y esa cuenta está en el campo adentro del solenoide.

07 · Los errores típicos

1. Poner la corriente total en lugar de la encerrada. Adentro de un conductor, el círculo encierra sólo una parte. Si adentro da $1/r$, se usó la $I$ entera.
2. Olvidarse del hueco en el área. En el caño, la fracción es $(r^2-b^2)/(a^2-b^2)$, no $r^2/a^2$. Las dos áreas son de anillos.
3. Usar Ampère sin simetría. La ley vale con dos alambres, pero un círculo alrededor de uno no tiene $B$ constante encima: el otro lo deforma. Con varios alambres se calcula el campo de cada uno y se suman las flechas, como en la nota del campo de un alambre.
4. Confundir $N$ con $n$. En el solenoide va la cantidad de vueltas por metro. Y la $L$ de ${\mu }_{0}NI/L$ es el largo del tubo, no el del cable con que se lo bobinó.
5. Creer que afuera del macizo el campo depende de $R$. No depende: afuera sólo importan la corriente y la distancia al eje.

Para tener a mano

1. $\oint \overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}={\mu }_0{I}_{\text{enc}}$, con ${\mu }_0=4\pi ·{10}^{-7}$ T·m/A. El signo de la corriente, con la mano derecha.
2. Los tres pasos: camino por simetría; $B$ constante y tangente; contar $I_{\text{enc}}$ y despejar.
3. Simetría cilíndrica: $B={\mu }_0{I}_{\text{enc}}/(2\pi r)$. Afuera, siempre el de un alambre.
4. Macizo adentro: ${\mu }_{0}Ir/(2\pi R^2)$, lineal, máximo en la superficie.
5. Hueco: cero en el hueco; en el material, la fracción $(r^2-b^2)/(a^2-b^2)$ de la corriente.
6. Solenoide largo: $B={\mu }_{0}NI/L$ uniforme adentro, cero afuera.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2, capítulo 28, «Fuentes de campo magnético»: la sección 28.6 presenta la ley de Ampère y la 28.7 la aplica al cilindro macizo, al solenoide y al toroide. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 29: la sección 29.3, «Ley de Ampère», y la 29.4, «Campo magnético de un solenoide».