La esfera conductora

01 · Antes de hacer cuentas

El modelo. Es un conductor en equilibrio: toda su carga está en la superficie, adentro el campo es cero, y justo afuera el campo es perpendicular a la superficie. Por eso el enunciado da una densidad superficial, $\sigma$, en C/m², y no una de volumen. Como la esfera está sola, la simetría reparte la carga pareja: $\sigma$ es la misma en toda la superficie.

El dato que muerde. 1,2 m es el diámetro. El radio es $R=\mathrm{0,6}\text{m}$. Usar 1,2 m como radio multiplica el área, la carga y el flujo por cuatro.

El camino. Los tres incisos se encadenan: (a) es área por densidad; (b) es la ley de Gauss con la carga de (a), sin calcular ningún campo; (c) sale de Gauss otra vez, ya sea con una esfera o con un pastillero. Qué esperamos: microcoulombs repartidos en un metro cuadrado y pico dan campos del orden de $\sigma /{\epsilon }_0$: ${10}^{-6}$ sobre ${10}^{-11}$, unos ${10}^5$ o ${10}^6$ N/C. Todo positivo: la carga es positiva, el campo apunta hacia afuera.

02 · La resolución

(a) La carga neta. La carga está toda en la superficie, con la misma densidad en cada metro cuadrado. Es densidad por área, y el área de una esfera es $4\pi R^2$:

$$A=4\pi (\mathrm{0,6}\text{m}{)}^2=\mathrm{4,52}\text{m²}$$ $$Q=\sigma A=(\mathrm{8,1}·{10}^{-6})(\mathrm{4,52})=\mathrm{3,66}·{10}^{-5}\text{C}$$

Son 36,6 µC.

(b) El flujo por la superficie. La superficie de la esfera es cerrada, y la carga que encierra es toda la de (a). Hay un detalle: la carga está sobre esa superficie. Se toma la superficie gaussiana apenas afuera, a un radio un poquito mayor que 0,6 m, para que la carga quede adentro sin ambigüedad. Por Gauss:

$$\Phi =\frac{Q}{{\epsilon }_0}=\frac{\mathrm{3,66}·{10}^{-5}}{\mathrm{8,85}·{10}^{-12}}=\mathrm{4,14}·{10}^6\text{N·m²/C}$$

No hizo falta saber cuánto vale el campo ni hacia dónde apunta: el flujo total por una superficie cerrada sólo depende de la carga encerrada.

(c) El campo justo afuera. Dos caminos, y conviene conocer los dos. El primero usa que el conductor está en equilibrio: justo afuera de la superficie de cualquier conductor,

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{\mathrm{8,1}·{10}^{-6}}{\mathrm{8,85}·{10}^{-12}}=\mathrm{9,15}·{10}^5\text{N/C}$$

perpendicular a la superficie y hacia afuera. El segundo usa la simetría esférica. Con una esfera gaussiana de radio $r$ apenas mayor que $R$, el campo es radial y constante sobre ella, y el flujo de (b) es $E·4\pi r^2$. Haciendo $r\to R$:

$$E=\frac{\Phi }{4\pi R^2}=\frac{\mathrm{4,14}·{10}^6}{\mathrm{4,52}}=\mathrm{9,15}·{10}^5\text{N/C}$$

Que el enunciado llame a la esfera superconductora en este inciso no cambia nada: en equilibrio electrostático cualquier conductor cumple lo mismo, y es la esfera conductora de los incisos anteriores.

Arranca con la esfera gaussiana adentro del conductor: ahí no hay campo y el flujo es cero. Sacala afuera y alejala. El campo cae como $1/r^2$ y el área crece como $r^2$: el producto se queda clavado en el valor de (b), sea la esfera del radio que sea.

03 · El chequeo

Unidades. C/m² por m² da C. C sobre C²/(N·m²) da N·m²/C, que es flujo. C/m² sobre C²/(N·m²) da N/C, que es campo.

Por Coulomb. Afuera, la esfera es una carga puntual en su centro: $kQ/R^2$ con $k=\mathrm{8,99}·{10}^9$ da también $\mathrm{9,15}·{10}^5\text{N/C}$. Es la misma física por otro lado: $kQ/R^2=\sigma 4\pi R^2/(4\pi {\epsilon }_0{R}^2)=\sigma /{\epsilon }_0$, y lo que se verifica es la aritmética.

¿Es razonable? El aire deja de aislar y se vuelve conductor con campos de unos $3·{10}^6\text{N/C}$. Esta esfera está a un 30 % de ese límite: es una esfera muy cargada, pero posible en el aire. El potencial de su superficie, $kQ/R=ER$, es de $\mathrm{5,49}·{10}^5\text{V}$: medio millón de voltios, el orden de un generador de Van de Graaff.

El diámetro. Con 1,2 m tomado como radio, (a) y (b) salen cuatro veces más grandes: 147 µC y $\mathrm{1,66}·{10}^7\text{N·m²/C}$. El campo de (c) sale igual, porque $\sigma /{\epsilon }_0$ no tiene radio. Ése es el inciso donde el error no se nota.

04 · Lo que se lleva

• En un conductor, la carga es superficial: $Q=\sigma ·4\pi R^2$, no $\rho ·\frac{4}{3}\pi R^3$.
• El flujo total sale de Gauss directo, $\Phi =q_{\text{enc}}/{\epsilon }_0$, sin calcular el campo, y es el mismo para cualquier superficie que encierre la esfera.
• Justo afuera de un conductor, $E=\sigma /{\epsilon }_0$: no hace falta el radio. Una lámina aislada daría la mitad.
• Leer si el dato es diámetro o radio antes de escribir la primera fórmula.