La espira que se aleja del alambre

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

El campo que ve la espira. Un alambre largo hace un campo que da vueltas a su alrededor, de módulo ${\mu }_{0}I/(2\pi d)$ a distancia $d$ (está en la nota del campo de un alambre). En el plano del alambre, ese campo es perpendicular a la hoja: con la corriente hacia arriba y la espira a la derecha, por la regla de la mano derecha entra, ⊗. Atraviesa la espira de frente, pero no es uniforme: es más fuerte en el lado cercano que en el lejano.

Qué cambia. La espira se traslada sin girar, así que su área y su ángulo quedan quietos. Si el campo fuera uniforme sería el Ejercicio 12, sin fem. Pero al alejarse, el campo que la atraviesa se debilita, el flujo baja, y hay fem.

Dos caminos. Se puede mirar lado por lado: los dos lados de largo $l$ tienen fem de movimiento, $Blv$, cada uno con el campo de su lugar, y en la espira se restan. O se puede calcular el flujo, sumando tiras donde el campo es parejo, y derivarlo con la ley de Faraday. Tienen que dar lo mismo, y que den lo mismo es el chequeo.

Qué esperar. La fem tiene que crecer con $I$, con $l$ y con $v$; tiene que irse a cero si $w$ se va a cero, porque los dos lados quedarían en el mismo campo; y tiene que achicarse al alejarse.

03 · La resolución

Camino 1, por lados. El lado cercano está a $r$ del alambre y el lejano a $r+w$. Los dos se mueven con $v$ perpendicular a su largo y al campo, y cada uno tiene su fem:

$${\epsilon }_{\text{cerca}}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}lv{\epsilon }_{\text{lejos}}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi (r+w)}lv$$

Los lados de largo $w$ se mueven a lo largo de sí mismos: la fuerza $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ sobre sus cargas es perpendicular al alambre y no las hace circular. Como en el Ejercicio 12, las dos fems empujan hacia el mismo lado y alrededor de la espira se oponen, así que la neta es la diferencia:

$$\epsilon =\frac{{\mu }_{0}Ilv}{2\pi }(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+w})=\frac{{\mu }_{0}Ilwv}{2\pi r(r+w)}$$

Y la corriente es esa fem dividida por la resistencia de la espira:

$$I_{\text{esp}}=\frac{\epsilon }{R}=\frac{{\mu }_{0}Ilwv}{2\pi Rr(r+w)}$$

Camino 2, por el flujo. Se parte la espira en tiras verticales de largo $l$ y ancho $dx$, a distancia $x$ del alambre. En cada tira el campo es parejo, así que su flujo es $B(x)ldx$, y sumando desde el lado cercano hasta el lejano:

$$\Phi (r)={\int }_r^{r+w}\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}ldx=\frac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }\ln \frac{r+w}{r}$$

Lo único que cambia con el tiempo es $r$, que crece a ritmo $dr/dt=v$. Por la regla de la cadena,

$$\frac{d\Phi }{dt}=\frac{d\Phi }{dr}v=\frac{{\mu }_{0}Ilv}{2\pi }(\frac{1}{r+w}-\frac{1}{r})=-\frac{{\mu }_{0}Ilwv}{2\pi r(r+w)}$$

El flujo baja, como se esperaba, y $\epsilon =-d\Phi /dt$ es la misma expresión del camino 1.

El sentido. El flujo entrante baja; por la ley de Lenz, la corriente de la espira hace un campo que también entra, para sostenerlo: circula en sentido horario. Sube por el lado cercano, en el mismo sentido que $I$.

04 · El chequeo

Los dos caminos. Uno resta dos campos puntuales y el otro integra el campo sobre toda el área y deriva: son cuentas distintas, y coinciden. Con números —$I=10$ A, $l=20$ cm, $w=10$ cm, $v=3$ m/s, $r=5$ cm—, el lado cercano está en 40 µT y tiene 24 µV, el lejano está en 13,3 µT y tiene 8 µV, y la diferencia es 16 µV. Derivando el flujo, también 16 µV.

Las unidades. ${\mu }_{0}I$ está en T·m; por $lwv$, que es m³/s, y dividido por $r(r+w)$, que es m², queda T·m²/s: voltios. Dividido por ohmios, amperes.

Los casos límite. Con $w\to 0$ la fem se anula: los dos lados en el mismo campo. Con la espira muy ancha, $w\gg r$, el lado lejano está donde casi no hay campo y queda ${\mu }_{0}Ilv/(2\pi r)$: la $Blv$ del lado cercano sola, como en el Ejercicio 13. Y lejos del alambre, $r\gg w$, cae como $1/r^2$: más rápido que el campo, que cae como $1/r$, porque lo que cuenta es la diferencia entre dos lados.

Lenz, por fuerzas. El lado cercano lleva corriente en el mismo sentido que el alambre, y las corrientes paralelas se atraen: el alambre tira de la espira hacia atrás. La corriente inducida frena el alejamiento, que es lo que tenía que pasar.

05 · Lo que se lleva

Trasladarse en un campo no uniforme sí da fem. Área y ángulo quietos no alcanzan para descartarla: si la espira va hacia donde el campo es distinto, su flujo cambia.

La fem neta es la diferencia entre lados. Cada lado que corta campo aporta su $BLv$, con el campo de su lugar, y los opuestos se restan. Es el camino más corto, y el flujo integrado sirve de chequeo.

El flujo, Faraday y Lenz desde cero están en la nota del flujo magnético y la ley de Faraday.