La fuerza entre alambres paralelos

Dos cables paralelos con corriente se empujan, aunque los dos sean eléctricamente neutros. No hace falta una ley nueva para explicarlo: alcanza con juntar dos cosas que ya están. Un alambre crea un campo magnético a su alrededor, y un cable con corriente puesto en un campo magnético siente una fuerza. Cada alambre está sentado en el campo del otro.

01 · Las dos piezas

El campo de un alambre. Un alambre recto y largo con corriente $I$ crea un campo magnético cuyas líneas son círculos centrados en él. A distancia $d$ vale

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi d}$$

con ${\mu }_0=4\pi ·{10}^{-7}$ T·m/A, y apunta perpendicular al radio que va del alambre al punto, girando según la regla de la mano derecha: antihorario si la corriente sale de la hoja (⊙), horario si entra (⊗). De dónde sale todo eso, y cómo se dibuja la flecha, está en el campo de un alambre.

La fuerza sobre un cable. Las cargas que forman una corriente se mueven, y un campo magnético empuja de costado a toda carga que se mueve. Sumado sobre un tramo recto de cable de largo $L$, con $\overrightarrow{L}$ apuntando en el sentido de la corriente, eso da

$$\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{L}\times \overrightarrow{B}$$

El producto vectorial $\times$ da una flecha perpendicular a las dos, al cable y al campo, con el sentido de la mano derecha: los dedos de $\overrightarrow{L}$ hacia $\overrightarrow{B}$, y el pulgar da la fuerza. Si el cable es perpendicular al campo, el módulo es simplemente $ILB$. Esta fuerza tiene su propia nota, la fuerza sobre un cable.

02 · Un alambre en el campo del otro

Dos alambres paralelos a distancia $d$, con corrientes $I_1$ e $I_2$. Mirados de punta, los dos son puntitos en la hoja, y por ahora las dos corrientes salen (⊙).

Paso 1: el campo del 1 donde está el 2. El alambre 2 está a distancia $d$ del 1, así que está metido en un campo $B_1={\mu }_0{I}_1/(2\pi d)$. El radio del 1 al 2 es horizontal, así que el campo es vertical; con $I_1$ saliendo gira antihorario, y a la derecha del alambre eso es hacia arriba.

Paso 2: la fuerza sobre un tramo del 2. El tramo $\overrightarrow{L}$ del alambre 2 apunta saliendo de la hoja, y el campo es perpendicular a él. Los dedos de «sale» hacia «arriba»: el pulgar da hacia la izquierda, hacia el alambre 1. El módulo es $I_{2}L{B}_1$.

Paso 3: por unidad de largo. Los alambres son largos y la fuerza total crece con el tramo que se mire, así que lo que tiene sentido es la fuerza por metro de alambre:

$$\frac{F}{L}=I_2{B}_1=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}$$

Se mide en N/m. Paso 4: lo mismo al revés. El alambre 1 está en el campo del 2, que en el lugar del 1 apunta hacia abajo, y la misma cuenta da una fuerza $I_1{B}_2$ hacia la derecha, hacia el 2. Y $I_1{B}_2=I_1{\mu }_0{I}_2/(2\pi d)$: el mismo número. Los dos se tiran uno hacia el otro con la misma fuerza.

03 · El sentido: al revés que las cargas

De los cuatro pasos sale la regla: corrientes del mismo sentido se atraen; corrientes de sentidos opuestos se repelen. Si una de las dos corrientes se da vuelta, se da vuelta su campo o se da vuelta su $\overrightarrow{L}$, y la fuerza cambia de signo.

Es exactamente lo contrario de lo que pasa con las cargas, donde iguales se repelen y opuestas se atraen, y por eso es la regla que más se da vuelta en un examen. No hay contradicción: son dos mecanismos distintos. Entre cargas, cada una empuja a la otra a lo largo de la recta que las une. Entre corrientes, la fuerza sale de un producto vectorial, que la tuerce un cuarto de vuelta dos veces: el campo es perpendicular al radio, y la fuerza es perpendicular al campo. Dos cuartos de vuelta la dejan otra vez sobre la recta que une los alambres, pero con el sentido elegido por la mano derecha, no por los signos.

Y la fuerza sobre cada alambre es la misma aunque las corrientes sean distintas. Con 1 A y 3 A a 10 cm, el de 1 A está en un campo de 6 µT y el de 3 A en uno de 2 µT, y los dos productos dan 6 µN/m. Es la tercera ley de Newton: el de más corriente crea más campo, pero siente menos campo.

04 · Los números

Con ${\mu }_0/(2\pi )=2·{10}^{-7}$ T·m/A, dos alambres con 1 A cada uno a 1 m se atraen con $2·{10}^{-7}$ N por metro: así se definía el amperio hasta 2019. Es una fuerza chiquita. Con 10 A a 1 cm ya son 2 mN/m.

El Ejercicio 9 da la cuenta al revés: dos alambres a 0,5 m se atraen con 320 mN/m, y el de arriba lleva 20 A. La corriente del otro sale de despejar:

$$I_2=\frac{(F/L)2\pi d}{{\mu }_0{I}_1}=\frac{\mathrm{0,32}·\mathrm{0,5}}{2·{10}^{-7}·20}=40000\text{A}$$

Cuarenta mil amperios: es lo que hace falta para que una fuerza tan débil llegue a un tercio de newton por metro. Y como se atraen, las dos corrientes van en el mismo sentido: hacia la derecha.

En el parcial de 2022 las corrientes son opuestas, con $I_1=2I_2$, a 1 m. Con $I_1=1$ A, la fuerza es $2·{10}^{-7}·1·\mathrm{0,5}/1=\mathrm{0,1}$ µN/m, y repulsiva.

Arranca con 1 A y 3 A, los dos saliendo, a 10 cm. Apostá primero; después mirá los dos campos, que son distintos, y las dos fuerzas, que no. Poné $I_2$ negativa: las fuerzas se dan vuelta y los alambres se empujan. Y acercalos a 5 cm: la fuerza se duplica, porque va con $1/d$.

05 · En los ejercicios

Las preguntas son siempre de una de dos formas: dada la configuración, la fuerza; o dada la fuerza, una corriente y su sentido. En las dos el procedimiento es el de la sección 02, y los errores típicos son estos:

1. La regla de las cargas. Mismo sentido, se atraen. Si dudás, hacé los cuatro pasos con la mano derecha: no se puede equivocar.
2. Usar el campo propio. Sobre el alambre 2 actúa el campo del 1, nunca el suyo. Un alambre no se empuja a sí mismo.
3. Creer que el de más corriente empuja más. Las dos fuerzas son iguales y opuestas.
4. Olvidar el «por unidad de largo». La fórmula da N/m. Si piden la fuerza sobre un tramo, se multiplica por su largo.
5. Con tres alambres, sumar números. La fuerza sobre uno es la suma de las de los otros dos, cada par por separado, y se suman como flechas. Es lo que pide el parcial de 2023, en la línea trifásica.

El ejercicio entero, con la fuerza, la corriente que falta y la línea donde se anula el campo, está en dos alambres que se atraen.

Para tener a mano

1. Cada alambre está en el campo del otro, y siente $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{L}\times \overrightarrow{B}$.
2. $F/L={\mu }_0{I}_1{I}_2/(2\pi d)$, en N/m. 1 A y 1 A a 1 m: $2·{10}^{-7}$ N/m.
3. Mismo sentido se atraen; opuestos se repelen. Al revés que las cargas.
4. La fuerza es la misma sobre los dos, aunque las corrientes no lo sean.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2 (14.ª edición), capítulo 28, sección 28.4, «Fuerza entre conductores paralelos», con la definición del amperio y un ejemplo resuelto con dos alambres superconductores. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 29, sección 29.2, «Fuerza magnética entre dos conductores paralelos».