El campo de un alambre

En 1820 Ørsted puso una brújula al lado de un cable y cerró el circuito: la aguja giró. No había imanes cerca, sólo cargas moviéndose por el cable. Esa es la idea central de esta unidad: las corrientes crean campo magnético. Y el caso que más toman los parciales es el más simple de todos, un alambre recto y largo. Cuatro de los últimos seis problemas de magnetismo son alambres rectos con sus campos sumados, así que esta nota es la herramienta que más rinde del bloque.

01 · Los términos

La corriente. La corriente $I$ es la carga que pasa por una sección del cable por segundo, en amperios (A). Tiene un sentido: el de las cargas positivas, aunque en un metal lo que se mueve son los electrones al revés.

El campo magnético. El campo magnético $\overrightarrow{B}$ es, como el campo eléctrico, una flecha en cada punto del espacio. La diferencia es a quién empuja: el eléctrico empuja a cualquier carga, el magnético sólo a las que se mueven, y de costado. Se mide en tesla (T). Un tesla es mucho: los campos de esta nota andan por los microtesla (µT, ${10}^{-6}$ T).

La hoja y los dos símbolos. Casi todos los dibujos miran el alambre de punta: el alambre es perpendicular a la hoja y se ve como un puntito. Para decir hacia dónde va la corriente se usan dos símbolos, pensando en una flecha. ⊙ sale de la hoja, hacia quien mira: es la punta de la flecha que viene. ⊗ entra en la hoja: son las plumas de la flecha que se va. Los mismos símbolos sirven para un campo perpendicular a la hoja.

02 · La forma: círculos alrededor del alambre

Las brújulas puestas alrededor de un alambre vertical no apuntan hacia el alambre ni se alejan de él: se acomodan tangentes a círculos centrados en el alambre. Las líneas del campo magnético de un alambre recto son círculos cerrados que lo rodean, sin principio ni fin.

Que sean círculos no es casualidad, es simetría. Visto de punta, el alambre es igual desde todas las direcciones: girarlo no cambia nada, así que el campo a una distancia $d$ tiene que valer lo mismo en todo el círculo de radio $d$. Y no puede apuntar hacia afuera del alambre: un campo magnético nunca sale de un punto ni llega a él, porque no hay «cargas magnéticas» de donde salir. Lo único que queda es dar vueltas.

El sentido: la regla de la mano derecha. Agarrá el alambre con la mano derecha, con el pulgar en el sentido de la corriente. Los otros cuatro dedos se curvan alrededor del alambre en el sentido del campo. Con la corriente saliendo de la hoja (⊙), el pulgar apunta hacia vos y los dedos giran antihorario. Con la corriente entrando (⊗), el pulgar apunta lejos y los dedos giran horario. Es todo lo que hay que recordar: ⊙ antihorario, ⊗ horario.

03 · El módulo: μ₀I/(2πd)

Falta cuánto vale. La herramienta es la ley de Ampère, que es al campo magnético lo que Gauss al eléctrico: una ley que vale siempre y que sólo da el campo cuando la simetría ayuda. Dice que si uno recorre un camino cerrado sumando, tramo a tramo, la componente de $\overrightarrow{B}$ a lo largo del camino por el largo del tramo, el total es ${\mu }_0$ por la corriente que atraviesa el camino:

$$\oint \overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}={\mu }_0{I}_{\text{enc}}$$

La constante ${\mu }_0=4\pi ·{10}^{-7}$ T·m/A es la permeabilidad del vacío: hace en magnetismo el papel que hace $k$ en electrostática.

Paso 1: elegir el camino. Un círculo de radio $d$ centrado en el alambre, en el plano perpendicular a él. Es justo una línea de campo.

Paso 2: lo que dice la simetría. Sobre ese círculo el campo tiene el mismo módulo $B$ en todos lados y apunta a lo largo del círculo. Entonces en cada tramo $\overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}$ es simplemente $Bdl$.

Paso 3: la suma. Como $B$ es el mismo en todo el camino, sale afuera y queda el largo del círculo: $\oint Bdl=B·2\pi d$.

Paso 4: igualar. La corriente que atraviesa el círculo es la del alambre entero, $I$:

$$B·2\pi d={\mu }_{0}I\Rightarrow B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi d}$$

El campo cae como $1/d$, no como $1/d^2$ como el de una carga: al doble de distancia, la mitad de campo. El mismo resultado sale sumando el aporte de cada pedacito del alambre con la ley de Biot–Savart, con una integral más larga; Ampère lo da en cuatro renglones porque la simetría hace todo el trabajo.

Para tener una escala, con ${\mu }_0/(2\pi )=2·{10}^{-7}$ T·m/A: un alambre con 1 A da 20 µT a 1 cm y 2 µT a 10 cm. Con 10 A a 5 cm, 40 µT.

04 · La flecha en un punto

Los ejercicios piden el campo en un punto P concreto, y ahí la forma de círculos se vuelve una receta de cuatro pasos. Es la habilidad de esta nota, y conviene hacerla siempre igual.

1. El radio. Trazá el segmento del alambre a P. Su largo es $d$, la distancia real, casi siempre un Pitágoras.
2. La dirección. La flecha de $\overrightarrow{B}$ va en P, perpendicular a ese radio: tangente al círculo que pasa por P.
3. El sentido. De las dos perpendiculares, la que gira como dice la mano derecha: antihorario si la corriente sale, horario si entra.
4. El largo. ${\mu }_{0}I/(2\pi d)$.

Para pasarlo a componentes hay un atajo. Si el radio va del alambre a P con componentes $(\Delta x,\Delta y)$, girarlo un cuarto de vuelta antihorario da $(-\Delta y,\Delta x)$, que es la dirección del campo de una corriente que sale. Sólo falta ajustarle el largo:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi d^2}(-\Delta y,\Delta x)$$

con $I>0$ si sale y $I<0$ si entra: el signo da vuelta la flecha solo. El $d^2$ de abajo no contradice el $1/d$: un $d$ es el de la fórmula y el otro deshace el largo del vector $(-\Delta y,\Delta x)$, que mide $d$.

05 · Varios alambres: se suman flechas

Con varios alambres vale la superposición: el campo en P es la suma de los campos de cada alambre, como si los otros no estuvieran. Pero acá, como con el campo eléctrico y a diferencia del potencial, se suman flechas. El procedimiento: la flecha de cada alambre en P con la receta de arriba, cada una en componentes, y se suman las $x$ por un lado y las $y$ por otro. Nunca se suman los módulos.

El Ejercicio 7 es el caso modelo. Dos alambres a 10 cm, con 1 A en sentidos opuestos, y P a 10 cm arriba del punto medio. La distancia de cada uno a P es $\sqrt{5^2+{10}^2}=\mathrm{11,2}$ cm, y cada uno pone 1,79 µT. Las dos flechas son perpendiculares a radios que se abren en V, así que tienen componentes horizontales opuestas de 1,60 µT, que se cancelan, y verticales de 0,80 µT en el mismo sentido, que se suman: 1,60 µT vertical. Sumando los módulos habría dado 3,58 µT, más del doble. Está resuelto con las flechas dibujadas en dos alambres opuestos y un punto arriba.

Arranca con los dos alambres del Ejercicio 7, A saliendo y B entrando, y P en un lugar cualquiera. Antes de prender la suma, mirá las dos flechas y apostá hacia dónde apunta el total. Después llevá P a 10 cm arriba del medio, a $(0,10)$ cm, y fijate que las componentes horizontales se cancelan. Por último cambiá B a «sale»: la suma se da vuelta y queda horizontal, con 3,20 µT.

Dos cosas para buscar con el punto. Entre dos alambres opuestos los campos se refuerzan: en el medio son 8 µT, el doble de lo que pone cada uno a 5 cm. Y entre dos alambres del mismo sentido hay un punto donde la suma se anula; dónde cae, y por qué siempre del lado de la corriente más chica, es el ensayo del cero.

06 · En los ejercicios

Los errores que aparecen, más o menos en orden de frecuencia:

1. Dibujar $\overrightarrow{B}$ a lo largo del radio. Es el reflejo del campo eléctrico, que sale de la carga. El magnético de un alambre es perpendicular al radio, siempre.
2. Sumar módulos. Dos flechas de 1,79 µT pueden dar 1,60, 3,20 o cero según cómo apunten. Se suman componentes.
3. Usar la distancia equivocada. La $d$ de la fórmula es del alambre al punto, no la horizontal ni la separación entre alambres.
4. Equivocar el ángulo de la componente. La flecha es perpendicular al radio, así que el ángulo que forma con la horizontal es el que el radio forma con la vertical. Dibujar el triángulo antes de escribir un seno.
5. El sentido con ⊗. Horario. Si en un dibujo con dos alambres opuestos las dos flechas salen iguales, hay un error de sentido.

Lo que viene después: la fuerza que un alambre le hace al otro sale de poner uno en el campo del otro, en la fuerza entre alambres paralelos. Y Ampère usado para otras simetrías, como un cilindro hueco o un solenoide, está en la nota de la ley de Ampère.

Para tener a mano

1. Las líneas de campo de un alambre recto son círculos centrados en él. ⊙ sale: antihorario. ⊗ entra: horario.
2. $B={\mu }_{0}I/(2\pi d)$, con ${\mu }_0/2\pi =2·{10}^{-7}$ T·m/A. Cae como $1/d$. 1 A a 1 cm: 20 µT.
3. En un punto: radio del alambre al punto, flecha perpendicular, sentido por la mano derecha, largo por la fórmula.
4. En componentes: $\overrightarrow{B}={\mu }_{0}I(-\Delta y,\Delta x)/(2\pi d^2)$, con $I$ positiva si sale.
5. Varios alambres: se suman las flechas por componentes, nunca los módulos.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2 (14.ª edición), capítulo 28, «Fuentes de campo magnético»: la sección 28.3 deduce este campo con Biot–Savart y trae dos ejemplos, el de un solo alambre y el de dos alambres sumados; la 28.6 es la ley de Ampère. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 29, «Fuentes del campo magnético»: secciones 29.1 (Biot–Savart) y 29.3 (Ampère).